高三数学（理数）总复习练习专题二十四 不等式选讲 22页

‎1．(2015·山东，5，易)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，1)‎ C．(1，4) D．(1，5)‎ ‎【答案】　A　由|x－1|－|x－5|<2‎ ‎⇒ 或 或 ‎⇒x<1或1≤x<4或∅⇒x<4.故选A.‎ ‎2．(2015·浙江，14，难)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．‎ ‎【解析】　由图知当x2＋y2≤1时，6－x－3y>0，即|6－x－3y|＝6－x－3y.‎ 如图，直线2x＋y－2＝0将圆x2＋y2＝1分成了两部分：‎ ‎①在阴影区域内的(x，y)满足2x＋y－2≥0，‎ 即|2x＋y－2|＝2x＋y－2.‎ 此时|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝(2x＋y－2)＋(6－x－3y)＝x－2y＋4，‎ 利用线性规划可知在点A处取得最小值3.‎ ‎②在阴影区域外的(x，y)满足2x＋y－2≤0，‎ 即|2x＋y－2|＝－(2x＋y－2)，‎ 此时|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝－(2x＋y－2)＋(6－x－3y)＝8－3x－4y，‎ 利用线性规划可知在点A处取得最小值3.‎ 综上，当x＝，y＝时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值为3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎3．(2015·江苏，21D，10分，中)解不等式x＋|2x＋3|≥2.‎ 解：原不等式可化为 或 解得x≤－5或x≥－.‎ 综上，原不等式的解集是 .‎ ‎4.(2015·课标Ⅰ，24，10分)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，即x＞4，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 综上，f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，‎ f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎1．(2014·安徽，9，中)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A．5或8 B．－1或5‎ C．－1或－4 D．－4或8‎ ‎【答案】　D　①当a＝2时，f(x)＝3|x＋1|≥0，显然不成立．‎ ‎②当a<2时，－1<－，‎ f(x)＝ ‎③当a>2时，－1>－，‎ f(x)＝ 在②③两种情况下， f (x) min＝ f ＝‎ ＝3，解得a＝－4或8. ‎ ‎2．(2014·广东，9，易)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．‎ ‎【解析】　当x≤－2时，不等式等价于－2x－1≥5，解得x≤－3；‎ 当－21时，不等式等价于2x＋1≥5，解得x≥2.‎ 综上，不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ ‎【答案】　(－∞，－3]∪[2，＋∞)‎ ‎3．(2014·湖南，13，中)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________．‎ ‎【解析】　∵|ax－2|<3，∴－10时，－0)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)<5，求a的取值范围．‎ 解：(1)证明：由a>0，得f(x)＝＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2，所以f(x)≥2.‎ ‎(2)f(3)＝＋|3－a|.‎ 当a>3时，f(3)＝a＋，‎ 由f(3)<5得30时，－≤x≤，得a＝2.‎ ‎(2)记h(x)＝f(x)－2f ＝|2x＋1|－2|x＋1|，‎ 则h(x)＝ 所以当x≤－1时，h(x)＝1；‎ 当－10，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．‎ ‎(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.‎ ‎2．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)零点分区间法 零点分区间法的一般步骤 ‎①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；‎ ‎②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；‎ ‎③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ ‎④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(2013·辽宁，24，10分)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎【解析】　(1)当a＝2时，‎ f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；‎ 当21，所以|4x－2a|≤2，‎ 解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，‎ 所以解得a＝3.‎ ‎【点拨】　解(1)时将不等式转化为f(x)＋|x－4|≥4后，注意分类讨论；解(2)的关键是构造辅助函数h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)进行求解．‎ ‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎(2012·课标全国，24，10分)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－3时，‎ f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当25；‎ 当－2≤x<时，y＝－x＋3>；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥；‎ 故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.‎ ‎∵不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，∴≥a2＋a＋2.‎ 解得－1≤a≤，故a的取值范围为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎ 求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法 求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：‎ 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．‎ 综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．‎ ‎2．(2014·湖南长沙模拟，13)不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是________．‎ ‎【解析】　依题意，不等式|x－1|<4－|x＋2|等价于 或 或 解得－0，‎ 则有 或或 解得x<－2或x>3.‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．‎ ‎(2)由对数函数的性质知，‎ f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥1＝log22，‎ ‎∴不等式f(x)≥1等价于不等式|x＋1|＋|x－2|≥2＋m.‎ ‎∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，而不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，‎ ‎∴m＋2≤3，故m的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎7．(2015·河北石家庄模拟，24，10分)设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.‎ ‎(1)解不等式f(x)<－1；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|‎ ‎＝ 故由不等式f(x)<－1可得x>3或 解得x>.‎ ‎(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，‎ 即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，‎ 在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．‎ 故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，‎ 求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．‎ ‎8．(2015·吉林长春模拟，24，10分)已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解：(1)∵ ‎≥＝＝4，‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，‎ 即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|小于等于的最小值．‎ 由(1)可知，的最小值为4，‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．‎ 解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2，2]．‎ ‎1．(2015·课标Ⅱ，24，10分，中)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab＞cd，则＋＞＋；‎ ‎(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．‎ 证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.‎ 因此＋>＋.‎ ‎(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 由(1)得＋>＋.‎ ‎②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是 ‎(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd ‎＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|<|c－d|.‎ 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎2．(2015·湖南，16Ⅲ，6分，中)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，‎ 则由a2＋a<2及a>0得00，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.‎ ‎(2)(2015·江苏苏州质检，21D，10分)已知函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，求证：|f(x)|≤.‎ 证明：(1)因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，所以(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy，当且仅当x＝y＝1时，“＝”成立．‎ ‎(2)因为－1≤x≤1，‎ 所以0＜|x|≤1，0＜x2≤1.‎ 又因为|a|≤1，‎ 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|‎ ‎≤|a(x2－1)|＋|x|‎ ‎≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|‎ ‎＝－＋≤.‎ 考向2　利用基本不等式、柯西不等式求最值 ‎(1)(2013·湖南，10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．‎ ‎(2)(2014·课标Ⅰ，24，10分)若a>0，b>0，且＋＝.‎ ‎①求a3＋b3的最小值；‎ ‎②是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．‎ ‎【解析】　(1)由柯西不等式(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2得3(a2＋4b2＋9c2)≥36，所以a2＋4b2＋9c2≥12，当且仅当a＝2b＝3c＝2时，a2＋4b2＋9c2取得最小值12.‎ ‎(2)①由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎②不存在a，b，使得2a＋3b＝6.理由如下：‎ 由①知，2a＋3b≥2≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.‎ ‎ 利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 ‎(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．‎ ‎(2)在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．‎ ‎(2015·福建厦门一模，21(3)，7分)已知函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝m－2|x－11|，若2f(x)≥g(x＋4)恒成立，实数m的最大值为t.‎ ‎(1)求实数m的最大值t；‎ ‎(2)已知实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值为，求a的值．‎ 解：(1)由题意可得g(x＋4)＝m－2|x＋4－11|＝m－2|x－7|，‎ 若2f(x)≥g(x＋4)恒成立，‎ 则2|x＋3|≥m－2|x－7|，‎ 即m≤2(|x＋3|＋|x－7|)．‎ 而由绝对值三角不等式可得2(|x＋3|＋|x－7|)≥2|(x＋3)－(x－7)|＝20，‎ ‎∴m≤20，故m的最大值t＝20.‎ ‎(2)实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，由柯西不等式可得 ·‎ ‎≥ 即a×1≥(x＋y＋z)2，∴x＋y＋z≤.‎ 又∵x＋y＋z的最大值是＝1，‎ ‎∴＝1，∴a＝1.‎ ‎1．(2015·陕西渭南模拟，15(A))已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是________．‎ ‎【解析】　由柯西不等式得 ‎(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2‎ ‎∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.‎ ‎∵2a＋2b＋c＝8，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.‎ ‎【答案】　 ‎2．(2015·江苏南京模拟，21D，10分)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.‎ 证明：因为x，y，z都是为正数，‎ 所以＋＝≥，‎ 同理，可得 ＋≥，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得＋＋≥＋＋.‎ ‎3．(2015·辽宁锦州一模，24，10分)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎(2)由柯西不等式，得 ‎[42＋()2＋22]·‎ ‎≥ ‎＝(x＋y＋z)2，‎ 即25×1≥(x＋y＋z)2.‎ ‎∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.‎ ‎∴x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．‎ ‎4．(2015·黑龙江大庆二模，24，10分)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.‎ 解：(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.‎ ‎∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，‎ ‎∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．‎ 若m≥1，①当x<0时，得x≥，≤x<0；‎ ‎②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；‎ ‎③当x>1时，得x≤，1n，‎ ‎∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.‎ ‎∵<，‎ ‎∴an<＋＋＋…＋ ‎＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.‎ 综上得