数学卷·2018届辽宁省沈阳市铁路实验中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 16页

‎2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）‎ ‎3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（　　）‎ A．S2013＞0，且S2014＜0 B．S2013＜0，且S2014＞0‎ C．a2013＞0，且a2014＜0 D．a2013＜0，且a2014＞0‎ ‎6．已知Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S6+S10+S15等于（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．6‎ ‎7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎8．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎9．已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．2 D．‎ ‎10．下列命题中正确的是（　　）‎ ‎①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；‎ ‎②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；‎ ‎③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎11．不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，] B．（﹣1，2] C．[2，3） D．（﹣，]‎ ‎12．设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．已知关于x的不等式ax2+3ax+a﹣2＜0的解集为R，则实数a的取值范围　　．‎ ‎14．等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，则a3+a4+a5+a6+a7+a8=　　．‎ ‎15．已知正实数x，y满足xy=1，则（+y）（+x）的最小值为　　．‎ ‎16．已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，17题10分，18～22每题12分，总计70分）‎ ‎17．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎18．已知，求：‎ ‎（Ⅰ）z=的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）z=x2+y2﹣8x﹣2y+17的最小值．‎ ‎（III）求z=|x﹣2y+1|的取值范围．‎ ‎19．解关于x的不等式：．‎ ‎20．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．‎ ‎（Ⅰ）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；‎ ‎（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？‎ ‎（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？‎ ‎21．已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足bn•an=3（1﹣），求数列{bn}的前n和．‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Tn；‎ ‎（3）求满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整数n的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】总经理于基本不等式求解表达式的最值即可．‎ ‎【解答】解：xy=x•2y≤=，当且仅当x=，时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）‎ ‎【考点】不等关系与不等式；角的变换、收缩变换．‎ ‎【分析】从不等式的性质出发，注意不等号的方向．‎ ‎【解答】解：由题设得0＜2α＜π，0≤≤，‎ ‎∴﹣≤﹣≤0，‎ ‎∴﹣＜2α﹣＜π．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵S3=a2+10a1，a5=9，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．‎ 可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．‎ 可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（　　）‎ A．S2013＞0，且S2014＜0 B．S2013＜0，且S2014＞0‎ C．a2013＞0，且a2014＜0 D．a2013＜0，且a2014＞0‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵﹣a2013＜a1＜﹣a2014，‎ ‎∴a2013+a1＞0，a1+a2014＜0，‎ ‎∴S2013=‎ S2014=＜0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S6+S10+S15等于（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．6‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】相邻两项依次结合，能求出S6+S10+S15的值．‎ ‎【解答】解：相邻两项依次结合，得：S6=3×（﹣1）=﹣3，‎ S10=5×（﹣1）=﹣5，‎ S15=7×（﹣1）+15=8，‎ ‎∴S6+S10+S15=（﹣3）+（﹣5）+8=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：‎ Sk+2=（k+2）2，Sk=k2‎ ‎∴Sk+2﹣Sk=24转化为：‎ ‎（k+2）2﹣k2=24‎ ‎∴k=5‎ 故选D ‎　‎ ‎8．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；基本不等式．‎ ‎【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+）min≥7，将不等式2x+配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a的最小值．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，‎ ‎∴（2x+）min≥7，‎ ‎∵x＞a，‎ ‎∴y=2x+=2（x﹣a）++2a≥+2a=4+2a，当且仅当，即x=a+1时取等号，‎ ‎∴（2x+）min=4+2a，‎ ‎∴4+2a≥7，解得，a≥，‎ ‎∴实数a的最小值为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．2 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于3，建立条件关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎∵ax﹣y+2=0过定点A（0，2），‎ ‎∴ax﹣y+2≥0表示直线ax﹣y+2=0的下方，‎ ‎∴a＞0，则由图象可知C（2，0），‎ 由，解得，‎ 即B（2，2+2a），‎ 则△ABC的面积S=，‎ 故a=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题中正确的是（　　）‎ ‎①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；‎ ‎②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；‎ ‎③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的性质；等比数列的性质．‎ ‎【分析】①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；‎ ‎②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…为等差数列；‎ ‎③利用等比数列an=（﹣1）n，判断选项是否正确；‎ ‎④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故错；‎ ‎②设等差数列an的首项为a1，公差为d，‎ 则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，‎ 同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，‎ ‎∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），‎ ‎∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，此选项正确；‎ ‎③设an=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，‎ ‎∴此数列不是等比数列，此选项错；‎ ‎④因为an=Sn﹣Sn﹣1=（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）=Aqn﹣Aqn﹣1=（Aq﹣1）×qn﹣1，‎ 所以此数列为首项是Aq﹣1，公比为q的等比数列，则Sn=，‎ 所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，] B．（﹣1，2] C．[2，3） D．（﹣，]‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】该题实质上是二次函数的区间根问题，已知M⊆[1，4]，首先分类讨论①M=∅，得出△＜0，解出a的范围；②M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，然后综合①②的情况求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：设f（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2），‎ ‎∵M⊆[1，4]有两种情况：‎ ‎①M=∅，此时△＜0；‎ 当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]；‎ ‎②其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围 当△=0时，a=﹣1或2；‎ 当a=﹣1时M={﹣1}⊈[1，4]；‎ 当a=2时，m={2}⊆[1，4]．‎ 当△＞0时，a＜﹣1或a＞2．‎ 设方程f（x）=0的两根x1，x2，且x1＜x2，‎ 那么M=[x1，x2]，M⊆[1，4]‎ ‎∴1≤x1＜x2≤4，‎ ‎∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，‎ 即，解得2＜a≤，‎ 综上讨论知，当M⊆[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据分式的意义将分式进行化简，结合斜率的意义，得到的最小值是，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：z===1+2•，‎ 若z=的最小值为，‎ 即1+2•的最小值为，‎ 由1+2•=，得的最小值是，‎ 作出不等式组对应的平面区域，即的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率的最小值是，‎ 由图象知BD的斜率最小，由得，‎ 即B（3a，0），‎ 则=，即3a+1=4，则3a=3，‎ 则a=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．已知关于x的不等式ax2+3ax+a﹣2＜0的解集为R，则实数a的取值范围　（﹣，0]　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a=0，不等式等价为﹣2＜0，满足条件，‎ 若a≠0，则要使不等式恒成立，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 综上：（﹣，0]，‎ 故答案为：（﹣，0]‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，则a3+a4+a5+a6+a7+a8=　63　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的定义和性质求出a3=1，公比q=2，再由等比数列的前n项和公式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，‎ ‎∴a2•a3=a1•a4=，‎ ‎∴+==3=2（a2+a3），‎ ‎∴a2+a3=．‎ 解得a2=，a3=1，故公比q=2．‎ ‎∴a3+a4+a5+a6+a7+a8 ==63，‎ 故答案为：63‎ ‎　‎ ‎15．已知正实数x，y满足xy=1，则（+y）（+x）的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将（+y）（+x）展开，出现，注意到乘积为xy=1，是定值，故直接利用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：依题意，（ +y）（+x）=1+++1≥2+2=4，‎ 当且仅当x=y=1时取等号．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎16．已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=2，‎ ‎∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，‎ 当且仅当y=2x=2时取等号．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，17题10分，18～22每题12分，总计70分）‎ ‎17．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．‎ ‎（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，‎ ‎∴2p+q=3，①‎ 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，‎ ‎∴3+25p+5q=25p+8q，②‎ 联立①②求得 p=1，q=1‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n ‎∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．已知，求：‎ ‎（Ⅰ）z=的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）z=x2+y2﹣8x﹣2y+17的最小值．‎ ‎（III）求z=|x﹣2y+1|的取值范围．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出平面区域，分别有目标函数的几何意义求取值范围．‎ ‎【解答】解：由已知得到平面区域如图：（Ⅰ）由z=的几何意义是过点（﹣1，﹣2）与区域内的点连接的直线的斜率所以，与B连接的直线斜率最小，与A连接的直线斜率最大，所以z=的取值范围是[]；‎ ‎（Ⅱ）z=x2+y2﹣8x﹣2y+17=（x﹣4）2+（y﹣1）2表示区域内 的点到（4，1）的距离的平方，所以最小值是与直线2x﹣y﹣5=0的距离的平方，（）2=，所以最小值为．‎ ‎（III）z=|x﹣2y+1|的几何意义表示区域内的点到直线x﹣2y+1=0的距离的倍，因为直线穿过区域，所以最小值为0，点C到直线的距离最大，所以最大值为，所以z=|x﹣2y+1|的取值范围是[0，10]．‎ ‎　‎ ‎19．解关于x的不等式：．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】转化分式不等式一侧为0，对x的系数是否为0，因式的根的大小讨论，分别求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：原不等式化为…‎ 当m=0时，原不等式化为﹣x﹣1＞0，解集为（﹣∞，﹣1）； …‎ 当m＞0时，原不等式化为，又，‎ 所以原不等式的解集为； …‎ 当m＜0时，原不等式化为，‎ 当时，即﹣1＜m＜0，所以原不等式的解集为；‎ 当时，即m=﹣1，所以原不等式的解集为∅；‎ 当时，即m＜﹣1，所以原不等式的解集为；…‎ 综上所述，当m=0时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）；‎ 当m＞0时，原不等式的解集为；‎ 当﹣1＜m＜0时，原不等式的解集为；‎ 当m=﹣1时，原不等式的解集为∅；‎ 当m＜﹣1时，原不等式的解集为； …‎ ‎　‎ ‎20．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．‎ ‎（Ⅰ）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；‎ ‎（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？‎ ‎（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；基本不等式．‎ ‎【分析】第一问较简单，别忘记写定义域；第二问用到基本不等式的性质注意能否取到“=”；第三问在求函数的单调区间时可以用导数求，也可以用函数单调性的定义求解，都能得到y在（0，25]上是单调递减函数；再求出函数最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵矩形的宽为：米，‎ ‎∴= 定义域为{x|0＜x＜150}；‎ ‎（Ⅱ）y=‎ 当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米，‎ ‎∴长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小． ‎ ‎（Ⅲ）法一：y=（0＜x≤25），∵‎ ‎∴当0＜x≤25时，x+30＞0，x﹣30＜0，x2＞0∴y'＜0∴y在（0，25]上是单调递减函数 ‎ ‎∴当x=25时，，此时，长为25米，宽为米 所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小． ‎ 法二：设，0＜x1＜x2≤25，‎ 则 =；‎ ‎∵0＜x1＜x2≤25，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，x1x2﹣900＜0∴f（x2）﹣f（x1）＜0，‎ ‎∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在（0，25]上是单调递减函数；‎ ‎∴当x=25时，‎ 此时，长为25米，宽为米 所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．‎ ‎　‎ ‎21．已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足bn•an=3（1﹣），求数列{bn}的前n和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）观察数列的递推公式，利用递推公式即可求出数列通项．‎ ‎（Ⅱ）求出数列{bn}的通项，利用公式法和错位相减法 求出数列{bn}的前n和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，即，‎ ‎∴=+=，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴bn==2n﹣，‎ ‎∴Sn=b1+b2+…bn=（2+4+…+2n）‎ ‎=，‎ 令，则，‎ 两式相减得：‎ ‎=1+…+‎ ‎=﹣‎ ‎=2（1）﹣，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Tn；‎ ‎（3）求满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整数n的值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由已知条件得Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），从而an+1=4an，由此推导出数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．从而=22n﹣1．‎ ‎（2）由log2an==2n﹣1，能求出数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，令＞，能求出满足条件的最大正整数n的值为1．‎ ‎【解答】解：（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），‎ ‎∴an+1=4an，∵a1=2，a2=8，‎ ‎∴a2=4a1，‎ ‎∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．‎ ‎∴=22n﹣1．‎ ‎（2）由（1）得：log2an==2n﹣1，‎ ‎∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an ‎=1+3+…+（2n﹣1）‎ ‎==n2．‎ ‎（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）‎ ‎=（1﹣）（1﹣）…（1﹣）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 令＞，解得：n＜‎ 故满足条件的最大正整数n的值为1．‎ ‎　‎