数学卷·2017届上海市黄浦区高三上学期期终调研测试（2017 8页

黄浦区2016-2017学年度第一学期高三年级期终调研测试 数 学 试 卷 2017年1月 ‎（完卷时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[‎ ‎1. 若集合，则∩ ． ‎ ‎2. 抛物线的准线方程是___ ______．‎ ‎3. 若复数满足（为虚数单位），则_________． ‎ ‎4. 已知，，则的值为 　 ．‎ ‎5. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________．‎ ‎6. 若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是 ．‎ ‎7. 已知向量()，，若，则的最大值为 ．‎ ‎8. 已知函数是奇函数，且当时，．若函数是的反函数，则 ． ‎ ‎9. 在数列中，若对一切都有，且，则的值为 　 .‎ ‎10. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为 ． ‎ ‎11．已知点分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点作的平行线，它与椭圆在第一象限部分交于点，若，则实数的值为 ．‎ ‎12. 已知为常数)，，且当时，总有，则实数的取值范围是 ．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题 有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．若，则“”是“”的 （ ）‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎ ‎14．关于直线及平面，下列命题中正确的是 （ ）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ ‎ C．若，则 D．若，则 ‎15．在直角坐标平面内，点的坐标分别为，则满足为非零常数）的点的轨迹方程是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎16．若函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数是区间I上的“H函数”.对于命题：①函数是上的“H函数”；②函数是上的“H函数”．下列判断正确的是　　　 （　 ）‎ ‎ A．①和②均为真命题 　　　　　　　 B．①为真命题，②为假命题 ‎ C．①为假命题，②为真命题 　 D．①和②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，^ 底面，且与底面所成的角为． ‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．‎ 已知双曲线以为焦点，且过点．‎ ‎（1）求双曲线与其渐近线的方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且(为坐标原点)．求直线的方程．‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．‎ 现有半径为、圆心角为的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件，如图所示．其中分别在上，在上，且，，．记，五边形的面积为．‎ ‎（1）试求关于的函数关系式；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得．‎ ‎（1）判断是否属于集合，并说明理由；‎ ‎（2）若属于集合，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求证：对任意实数，都有． ‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知数列,满足（…）．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若且，则数列中第几项最小？请说明理由；‎ ‎（3）若（n=1,2,3,…），求证：“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．‎ 高三数学参考答案与评分标准 一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）‎ ‎1. ；　2. ；　3.；　4.；　5. ；　6. 10； ‎ ‎7. ；　 8. ；　　9.；　10. 200；　11.； 12. ．‎ 二、选择题：（每题5分）‎ ‎13.A 14. C 15. C 16. B ‎ 三、解答题：（共76分）‎ ‎17．解：（1）因为平面，所以为与平面所成的角，‎ 由与平面所成的角为，可得， ……………………………2分 因为平面，所以，又，可知，‎ 故． ……………………………6分 ‎（2）设为棱的中点，连，由分别是 棱的中点，可得∥，所以与的夹 角为异面直线与所成的角． ………………8分 因为平面，所以，，‎ 又，，‎ ‎，‎ 所以， ……………………………12分 故异面直线与所成的角为． ……………………………14分 ‎18．解：（1）设双曲线的方程为，半焦距为，‎ 则，，， ……………2分 所以，‎ 故双曲线的方程为．　　　　　　　　　 ……………………………4分 双曲线的渐近线方程为．　　　　　　　 ……………………………6分 ‎（2）设直线的方程为，将其代入方程，‎ 可得　　　（） ……………………………8分 ‎， 若设， ‎ 则是方程（）的两个根，所以， ‎ 又由，可知， ……………………………11分 ‎ 即， 可得，‎ 故，解得，‎ 所以直线方程为．　　　　　 　　 　　 　…………………………14分 ‎19．解：（1）设是中点，连，由，可知,,‎ ‎，，又,,，可得△≌△，‎ 故，可知， …………2分 又,,所以,故 ‎，在△中，有，‎ 可得 ………5分 所以 ‎ ………8分 ‎（2） ……………10分 ‎(其中) ……………………12分 当，即时，取最大值1．‎ 又，所以的最大值为． ……………14分 ‎20．解：（1）当时，方程 ……2分 此方程无解，所以不存在实数，使得，‎ 故不属于集合．　　　　　　　　　　 ……………………………4分 ‎（2）由属于集合，可得 方程有实解 有实解有实解，………7分 若时，上述方程有实解；‎ 若时，有，解得，‎ 故所求的取值范围是．　　　 ……………………………10分 ‎（3）当时，方程 ‎ ‎， ………………12分 令，则在上的图像是连续的， ‎ 当时，，，故在内至少有一个零点；‎ 当时，，，故在内至少有一个零点；‎ 故对任意的实数，在上都有零点，即方程总有解，‎ 所以对任意实数，都有． ………………………16分 ‎21．解：（1）由，可得，故是等差数列．‎ 所以 ‎　　　 ……………………………4分 ‎（2）‎ ‎ ……………………………6分 由，‎ ‎， ……………………………8分 故有， ‎ 所以数列中最小，即第8项最小．　　　　 　 ……………………………10分 法二：由， ……………………………5分 可知 ‎ ……………………………8分　‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 所以数列中的第8项最小． ……………………………10分 ‎（3）若数列为等差数列，设其公差为，‎ 则为常数，‎ 所以数列为等差数列． ……………………………12分 由（…），可知（…）． ………………13分 若数列为等差数列且（n=1,2,3,…），设的公差为，‎ 则（n=1,2,3,…）， ………………15分 又，故，‎ 又，，故， …………17分 所以，故有，所以为常数．‎ 故数列为等差数列． ‎ 综上可得，“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 …………………18分