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- 2021-06-10 发布
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南开中学2020届高三数学统练(5)
一、选择题
1.设命题,则为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为,即本题的正确选项为C.
2.设x、y、z为正数,且,则
A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y
C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z
【答案】D
【解析】
令,则,,
∴,则,
,则,故选D.
点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:)分别为,,,且,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/)分别为,,,且.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由,,所以
,故;同理,
,故.因为,故.故最低费用为.故选B.
4.已知函数,函数为奇函数,则函数的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
试题分析:为奇函数,,,,,则的两根为,,所以,的极小值为.又,,存在,使.综上,函数的零点个数为,故应选B.
考点:函数的零点和导数的有关知识的运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先求出函数的解析表达式,运用题设中的是奇函数,求出函数解析式中的参数
的值,进而运用导数求得函数的两个极值点,通过计算分析算得和,,从而判定函数的零点在区间内.从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何判定函数的图象的走向,这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用.
5.设函数,其中 ,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设,,问题转化为存在唯一的整数使得满足,求导可得出函数的极值,数形结合可得且,由此可得出实数的取值范围.
【详解】设,,
由题意知,函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,
,当时,;当时,.
所以,函数的最小值为.
又,
直线恒过定点且斜率为,
故且,解得,故选D.
【点睛】本题考查导数与极值,涉及数形结合思想转化,属于中等题.
6.设函数满足则时,( )
A. 有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
【详解】函数满足,
,令,
则,
由,得,令,
则
在上单调递减,在上单调递增,
的最小值为.
又在单调递增,
既无极大值也无极小值,故选D.
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则,属于难题.
求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”,联想到函数,再结合条件判断出其单调性,进而得出正确结论.
7.若函数为奇函数,则使不等式成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用为奇函数,求出,由此求出该函数的定义域,不等式,即,由在区间s递减,可得的取值范围.
【详解】由函数为奇函数,可得.
即:,,则,
所以,,得,解得.
①当时,函数的定义域为,定义域不关于原点对称,不合乎题意;
②当时,,由,解得,该函数的定义域为,定义域关于原点对称,且满足,函数为奇函数.
对于函数,内层函数在上单调递增,外层函数在上单调递增,
所以,函数在上单调递增.
所以,函数在上单调递减,且,
由得,,解得.
故选:B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式,综合性大,属于中档题型.
8.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有
A. 18个 B. 16个
C. 14个 D. 12个
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:由题意,得必有,,则具体的排法列表如下:
,01010011;010101011,共14个
【点睛】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来,常常会达到岀奇制胜的效果.
9.已知f(x)为偶函数,且在上为增函数,,满足不等式的x取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性的关系,将不等式转化为,即可得到结论.
【详解】解:由题意:f(x)为偶函数,且在上为增函数,,可得f(x) 在上为减函数,且,等价于,即,
则,解得:或,
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.
二、填空题(共6小题:共30分)
10.对于复数,若,则__________.
【答案】
【解析】
,,故答案为.
11.在二项式的展开式中,的系数为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值,然后求解的系数即可.
【详解】结合二项式定理通项公式有:,
令可得:,则的系数为:.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件,即、均为非负整数,且,如常数项指数为零、有理项指数为整数等));第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
12.已知,,,则的值为______.
【答案】6.
【解析】
【分析】
令,可得为奇函数, ,且,可得的值.
【详解】解:令,可得为奇函数,且,
由,可得,
,可得,可得,
由为奇函数,可得,故,
故答案为:6.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题,相对不难.
13.已知函数,若函数f(x)在处取得极大值,则实数a的取值范围是______.
【答案】.
【解析】
【分析】
求出函数的导数,讨论a的取值范围,得到函数的单调区间,结合函数的最大值,可得a的取值范围.
【详解】解:由,可得,
设,,
当,,,函数单调递增,
当,,,函数单调递增;
,,函数单调递减;
由f(x)在处取得极大值,可得,
当时,单调递增,当,,单调递减;
当,,单调递增,所以f(x)在处取得极小值,与题意不符;
当时,即,可得:在单调递增,所以当,
,当,,即f(x)在单调递减,在单调递增,所以f(x)在处取得极小值,与题意不符;
当时,即,在单调递增,在单调递减,
所以当,,单调递减,与题意不符;
当,即可,当,,函数单调递增;
当,,函数单调递减,所以f(x)在处取得极大值,符合题意,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题,综合性大,属于难题.
14.给出下列结论:
①已知函数是定义在上的奇函数,若,则;
②函数的单调递减区间是;
③已知函数是奇函数,当时,,则当时,;
④若函数的图象与函数的图象关于直线对称,则对任意实数都有.
则正确结论的序号是_______________________(请将所有正确结论的序号填在横线上).
【答案】①③
【解析】
①正确,根据函数是奇函数,可得 ,而,所以 ;②错,根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为;③ 正确,奇函数关于原点对称,所以可根据的解析式,求得 的解析式;④,根据对数函数的定义域,不能是任意实数,而需,由,所以正确的序号是①③.
【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质,综合性比较高,选项②错的比较多,涉及复合函数单调区间的问题,谨记“同增异减”,同时函数的定义域,定义域是比较容易忽视的问题,做题时要重视.
15.已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想,属于能力型考题.从研究入手,令,从而使问题加以转化,通过绘制函数图象,观察得解.
【详解】使得,
使得令,则原不等式转化为存在,由折线函数,如图
只需,即,即的最大值是
【点睛】对于函数不等式问题,需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
三、解答题(共5小题:共65分)
16.设的内角,,的对边分别为,,,,且为钝角. (1)证明:; (2)求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解;(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数值域即可.
试题解析:(Ⅰ)由及正弦定理,得,∴,
即,
又为钝角,因此,
故,即;
(Ⅱ)由(1)知,
,∴,
于是
,
∵,∴,因此,由此可知的取值范围是.
考点:正弦定理、三角变换,二次函数有关知识和公式的应用.
17.如图,是边长为的正方形,平面平面,,,,.
(1)求证:面面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得二面角的大小为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
【详解】试题分析:(1)由平面平面,可推出,再根据是正方形,可推出平面,从而可证平面;(2)根据题设条件建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,即可求出直线与平面所成角的正弦值;(3)点在线段上,设,,求出平面的法向量,根据二面角的大小为,即可求出.
试题解析:(1)证明:∵,,,
∴.
∵
∴
又∵是正方形
∴
∵,,
∴平面.
又∵
∴ .
(2)解:因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,
,,
设平面的法向量为,,即,,则
∴.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
(3)解:点在线段上,设,,则,
设平面的法向量为,则
,即,
令则, ,整理得:
解得:, 此时.
18.设数列的前n项和为.已知.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求的前n项和.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用数列前项和与通项的关系求解;
(Ⅱ)结合第(Ⅰ)问的结果,利用关系式求出数列的通项公式,并结合其通项的结构特征,采用错位相减法求其前n项和.
【详解】(Ⅰ)因为,所以,,故
当时,此时,即
所以,
(Ⅱ)因为,所以,
当时,
所以,
当时,
,
所以,两式相减,得
所以,
经检验,时也适合,
综上可得:.
【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系,特殊数列的求和问题,关键在于运用错位相减法进行数列求和,注意考虑的情况,属于中档题.
19.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间;
(2)根据存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定,令,得到两个极值点是方程的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.
详解:(1)的定义域为,.
(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.
(ii)若,令得,或.
当时,;
当时,.所以在单调递减,在单调递增.
(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于
,
所以等价于.
设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.
所以,即.
点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
20.设函数x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存极值点x0,且f(x1)= f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(Ⅲ)设a>0,函数g(x)= |f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数,再根据导函数零点是否存在,分类讨论;(Ⅱ)由题意得,计算可得.再由及单调性可得结论;(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,可分三种情况研究:①;②;③.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.
(2)当时,令,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,
由题意,得,即,
进而.
又,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足,且,因此,所以.
(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况讨论:
(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此
,
所以.
(2)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,
所以在区间上的取值范围为,因此
.
(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,,
所以在区间上的取值范围为,因此
.
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
【考点】导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);
(2)求导函数f ′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0的解集;
(4)由f ′(x)>0(f ′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单调区间.
2.由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为f ′(x)≥0(或f
′(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是否可以取到.