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  • 2021-06-10 发布

天津市南开中学2020届高三上学期数学统练(5)试题

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南开中学2020届高三数学统练(5)‎ 一、选择题 ‎1.设命题,则为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为,即本题的正确选项为C.‎ ‎2.设x、y、z为正数,且,则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令,则,,‎ ‎∴,则,‎ ‎,则,故选D.‎ 点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.‎ ‎3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:)分别为,,,且,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/)分别为,,,且.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由,,所以 ‎,故;同理,‎ ‎,故.因为,故.故最低费用为.故选B.‎ ‎4.已知函数,函数为奇函数,则函数的零点个数为( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:为奇函数,,,,,则的两根为,,所以,的极小值为.又,,存在,使.综上,函数的零点个数为,故应选B.‎ 考点:函数的零点和导数的有关知识的运用.‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先求出函数的解析表达式,运用题设中的是奇函数,求出函数解析式中的参数 的值,进而运用导数求得函数的两个极值点,通过计算分析算得和,,从而判定函数的零点在区间内.从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何判定函数的图象的走向,这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用.‎ ‎5.设函数,其中 ,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,,问题转化为存在唯一的整数使得满足,求导可得出函数的极值,数形结合可得且,由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设,,‎ 由题意知,函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数, ‎ ‎,当时,;当时,.‎ 所以,函数的最小值为.‎ 又,‎ 直线恒过定点且斜率为,‎ 故且,解得,故选D.‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值,涉及数形结合思想转化,属于中等题.‎ ‎6.设函数满足则时,( )‎ A. 有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数满足,‎ ‎,令,‎ 则,‎ 由,得,令,‎ 则 在上单调递减,在上单调递增,‎ 的最小值为.‎ 又在单调递增,‎ 既无极大值也无极小值,故选D.‎ 考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则,属于难题.‎ 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”,联想到函数,再结合条件判断出其单调性,进而得出正确结论.‎ ‎7.若函数为奇函数,则使不等式成立的的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用为奇函数,求出,由此求出该函数的定义域,不等式,即,由在区间s递减,可得的取值范围.‎ ‎【详解】由函数为奇函数,可得.‎ 即:,,则,‎ 所以,,得,解得.‎ ‎①当时,函数的定义域为,定义域不关于原点对称,不合乎题意;‎ ‎②当时,,由,解得,该函数的定义域为,定义域关于原点对称,且满足,函数为奇函数.‎ 对于函数,内层函数在上单调递增,外层函数在上单调递增,‎ 所以,函数在上单调递增.‎ 所以,函数在上单调递减,且,‎ 由得,,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式,综合性大,属于中档题型.‎ ‎8.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有‎2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意,得必有,,则具体的排法列表如下:‎ ‎,01010011;010101011,共14个 ‎【点睛】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来,常常会达到岀奇制胜的效果.‎ ‎9.已知f(x)为偶函数,且在上为增函数,,满足不等式的x取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性的关系,将不等式转化为,即可得到结论.‎ ‎【详解】解:由题意:f(x)为偶函数,且在上为增函数,,可得f(x) 在上为减函数,且,等价于,即,‎ 则,解得:或,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.‎ 二、填空题(共6小题:共30分)‎ ‎10.对于复数,若,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,,故答案为.‎ ‎11.在二项式的展开式中,的系数为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值,然后求解的系数即可.‎ ‎【详解】结合二项式定理通项公式有:,‎ 令可得:,则的系数为:.‎ ‎【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件,即、均为非负整数,且,如常数项指数为零、有理项指数为整数等));第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎12.已知,,,则的值为______.‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,可得为奇函数, ,且,可得的值.‎ ‎【详解】解:令,可得为奇函数,且,‎ 由,可得,‎ ‎,可得,可得,‎ 由为奇函数,可得,故,‎ 故答案为:6.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题,相对不难.‎ ‎13.已知函数,若函数f(x)在处取得极大值,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,讨论a的取值范围,得到函数的单调区间,结合函数的最大值,可得a的取值范围.‎ ‎【详解】解:由,可得,‎ 设,,‎ 当,,,函数单调递增,‎ 当,,,函数单调递增;‎ ‎,,函数单调递减;‎ 由f(x)在处取得极大值,可得,‎ 当时,单调递增,当,,单调递减;‎ 当,,单调递增,所以f(x)在处取得极小值,与题意不符;‎ 当时,即,可得:在单调递增,所以当,‎ ‎,当,,即f(x)在单调递减,在单调递增,所以f(x)在处取得极小值,与题意不符;‎ 当时,即,在单调递增,在单调递减,‎ 所以当,,单调递减,与题意不符;‎ 当,即可,当,,函数单调递增;‎ 当,,函数单调递减,所以f(x)在处取得极大值,符合题意,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题,综合性大,属于难题.‎ ‎14.给出下列结论:‎ ‎①已知函数是定义在上的奇函数,若,则;‎ ‎②函数的单调递减区间是;‎ ‎③已知函数是奇函数,当时,,则当时,;‎ ‎④若函数的图象与函数的图象关于直线对称,则对任意实数都有.‎ 则正确结论的序号是_______________________(请将所有正确结论的序号填在横线上).‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎①正确,根据函数是奇函数,可得 ,而,所以 ;②错,根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为;③ 正确,奇函数关于原点对称,所以可根据的解析式,求得 的解析式;④,根据对数函数的定义域,不能是任意实数,而需,由,所以正确的序号是①③.‎ ‎【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质,综合性比较高,选项②错的比较多,涉及复合函数单调区间的问题,谨记“同增异减”,同时函数的定义域,定义域是比较容易忽视的问题,做题时要重视.‎ ‎15.已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想,属于能力型考题.从研究入手,令,从而使问题加以转化,通过绘制函数图象,观察得解.‎ ‎【详解】使得,‎ 使得令,则原不等式转化为存在,由折线函数,如图 只需,即,即的最大值是 ‎【点睛】对于函数不等式问题,需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.‎ 三、解答题(共5小题:共65分)‎ ‎16.设的内角,,的对边分别为,,,,且为钝角. (1)证明:; (2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解;(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数值域即可.‎ 试题解析:(Ⅰ)由及正弦定理,得,∴,‎ 即,‎ 又为钝角,因此,‎ 故,即;‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,‎ ‎,∴,‎ 于是 ‎,‎ ‎∵,∴,因此,由此可知的取值范围是.‎ 考点:正弦定理、三角变换,二次函数有关知识和公式的应用.‎ ‎17.如图,是边长为的正方形,平面平面,,,,.‎ ‎(1)求证:面面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(3)在线段上是否存在点,使得二面角的大小为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)由平面平面,可推出,再根据是正方形,可推出平面,从而可证平面;(2)根据题设条件建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,即可求出直线与平面所成角的正弦值;(3)点在线段上,设,,求出平面的法向量,根据二面角的大小为,即可求出.‎ 试题解析:(1)证明:∵,,,‎ ‎∴. ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵是正方形 ‎∴‎ ‎∵,,‎ ‎∴平面. ‎ 又∵‎ ‎∴ . ‎ ‎(2)解:因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,, ‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,,即,,则 ‎ ‎∴. ‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎(3)解:点在线段上,设,,则,‎ 设平面的法向量为,则 ‎,即,‎ 令则, ,整理得:‎ 解得:, 此时.‎ ‎18.设数列的前n项和为.已知.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,求的前n项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用数列前项和与通项的关系求解;‎ ‎(Ⅱ)结合第(Ⅰ)问的结果,利用关系式求出数列的通项公式,并结合其通项的结构特征,采用错位相减法求其前n项和.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为,所以,,故 当时,此时,即 所以,‎ ‎(Ⅱ)因为,所以,‎ 当时,‎ 所以,‎ 当时,‎ ‎,‎ 所以,两式相减,得 所以,‎ 经检验,时也适合,‎ 综上可得:.‎ ‎【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系,特殊数列的求和问题,关键在于运用错位相减法进行数列求和,注意考虑的情况,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ 分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间;‎ ‎(2)根据存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定,令,得到两个极值点是方程的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.‎ 详解:(1)的定义域为,.‎ ‎(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.‎ ‎(ii)若,令得,或.‎ 当时,;‎ 当时,.所以在单调递减,在单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于 ‎,‎ 所以等价于.‎ 设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.‎ 所以,即.‎ 点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.‎ ‎20.设函数x∈R,其中a,b∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)存极值点x0,且f(x1)= f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;‎ ‎(Ⅲ)设a>0,函数g(x)= |f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数,再根据导函数零点是否存在,分类讨论;(Ⅱ)由题意得,计算可得.再由及单调性可得结论;(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,可分三种情况研究:①;②;③.‎ 试题解析:(Ⅰ)解:由,可得.‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.‎ ‎(2)当时,令,解得,或.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎ 极小值 ‎ 单调递增 ‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.‎ ‎(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,‎ 由题意,得,即,‎ 进而.‎ 又,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足,且,因此,所以.‎ ‎(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况讨论:‎ ‎(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此 ‎,‎ 所以.‎ ‎(2)当时,‎ ‎,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此 ‎.‎ ‎(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,‎ ‎,,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此 ‎.‎ 综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.‎ ‎【考点】导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 ‎【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤:‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);‎ ‎(2)求导函数f ′(x);‎ ‎(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0的解集;‎ ‎(4)由f ′(x)>0(f ′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单调区间.‎ ‎2.由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为f ′(x)≥0(或f ‎ ′(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是否可以取到.‎

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