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- 2021-06-10 发布
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函数的应用（3）
1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若a>b>c,且f(1)=0,是否存在m∈R,使得f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.
(2)若对x1,x2∈R,且x10对x∈R成立；②若f(x)有且只有一个零点，则g(x)必有两个零点；
③若方程f(x)=0有两个不等实根，则方程g(x)=0不可能无解。
30、定义[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[-1,5]=-2,[2.1]=2,[3]=3,记x=[x]+{x}。设函数f(x)=x3+5tanx,则函数g(x)={f(x)}+{f(-x)}的值域为 。
31、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数．① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
已知函数与是定义在上的函数．（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若方程有解，求实数的取值范围．
32、设函数是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；（2）（文）当时，试判断函数单调性并求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
（理）若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若f(1)＝，且g(x)＝a 2x＋a - 2x－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
33、集合A是由具备下列性质的函数组成的：① 函数的定义域是；
② 函数的值域是；③ 函数在上是增函数，试分别探究下列两小题：
（1）判断函数及是否属于集合A？
并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对于任意的恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
34、设（为实常数）． （2）当时，证明：不是奇函数；
（3）设是实数集上的奇函数，求与的值；
（4）当是实数集上的奇函数时，证明对任何实数、，都有成立．
35、已知函数，，
（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
36、设，，函数，
（1）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；
（2）若对任意，都有成立，试求时，的值域；
（3）设 ，求的最小值．
37、若，，，为常数，且
（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，且,若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．
38、已知函数是偶函数，a为实常数。（1）求b的值；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（2）当a=1时，是否存在（）使得函数在区间 上的函数值组成的集合也是，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间(m0，若h(x)同时也是g(x)、r(x)在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
（3）试判断h(x)能否为任意一个二次函数，并证明你的结论。
1、 (1)因为f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0且c<0.因为f(1)=0,所以1是f(x)=0的一个根,
由根与系数的关系知另一根为.因为a>0且c<0,所以<0<1.又a>b>c,b=-a-c,所以-2<<-.
假设存在这样的m,由题意,则a(m-1)=-a<0,所以+3>-2+3=1.
因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(m+3)>f(1)=0, 存在这样的m使f(m+3)>0.
(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x)是二次函数.因为g(x1)·g(x2)=
=-[f(x1)-f(x2)]2≤0,又因为f(x1)≠f(x2),g(x1)·g(x2)<0,所以g(x)=0有两个不等实根,且方程g(x)=0的根必有一个属于(x1,x2).
(3)由f(0)=0得c=0,所以f(x)=ax2+bx.由f(x)=x,得方程ax2+(b-1)x=0,解得x1=0,x2=,
又由f(f(x))=x得af2(x)+bf(x)=x.所以a[f(x)-x+x]2+b[f(x)-x+x]=x.所以a[f(x)-x]2+2ax[f(x)-x]+ax2+b[f(x)-x]+bx-x=0.
所以[f(x)-x][af(x)-ax+2ax+b+1]=0,即[f(x)-x][a2x2+a(b+1)x+b+1]=0.所以f(x)-x=0或a2x2+a(b+1)x+b+1=0.(*)
由题意(*)式的解为0或或无解,当(*)式的解为0时,可解得b=-1,经检验符合题意;
当(*)式的解为时,可解得b=3,经检验符合题意;当(*)式无解时,Δ=a2(b+1)2-4a2(b+1)<0,即a2(b+1)(b-3)<0,
所以-1f(4－x)∴x2＋2x<4－x，即x2＋3x－4<0 ∴，∴不等式的解集为{x|}．
（2）（理）…单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。 不等式化为
恒成立， ，解得。 (3)∵f(1)＝，，即∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.令t＝f(x)＝2x－2－x，由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去综上可知m＝2.
33、解：（1）函数不属于集合A.
因为的值域是.…在集合A中.
因为：①函数的定义域是；②的值域是[-2，4）；③函数在上是增函数.
（2）
· 不等式对任意恒成立.
34、解：（1），，，所以，因此，不是奇函数；
（2）是奇函数时，，即对任意实数成立． 化简整理得，这是关于的恒等式，所以
所以（舍）或 ．
（3），因为，所以，，从而；而对任何实数成立； 所以对任何实数、c都有成立．
35、解：（Ⅰ）当时，，若，，则在上单调递减，不符题意。
故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。 （4分）
（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足，即且，
此时，时，有最大值。又取最小值时，，依题意，有，则，
∵且，∴，得，此时或。
∴满足条件的实数对是。 （9分）
（Ⅲ）当实数对是时， （14分）
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，，
此时，，
故
36、 解：（1），因为，二次函数图像开口向上，且恒成立，故图像始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标，当且仅当：， 解得：
（2）对任意都有，所以图像关于直线对称，
所以，得． 所以为上减函数．
；．故时，值域为．
（3）令，则（i）当时，，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．[来源:Z。xx。k.Com]
综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为．
37、解：（Ⅰ）恒成立;
（*）因为,
所以，故只需（*）恒成立.综上所述，对所有实数成立的充要条件是.
（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为. ………6分
2°如果.
（1）当时.，
当，因为，所以，故=.
当，因为，所以，故=.
因为，所以，所以即.
当时，令，则，所以，
当时，，所以=;
时，，所以=.
在区间上的单调增区间的长度和
=.
（2）当时.，
当，因为，所以，故=.当，因为，所以，故=.因为，所以，所以.
当时，令，则，所以，
当时， ，所以=;
时，，所以=;
在区间上的单调增区间的长度和=.
综上得在区间上的单调增区间的长度和为.
38、解：(1)由已知可得，，且函数的定义域为D=．
又是偶函数，故定义域D关于原点对称．于是，b=0(．
又对任意 因此所求实数b=0．
（2）由(1)可知， ． 由的图像，可知：
又，∴在区间上是增函数。∴有 即方程， ∵，∴不存在正实数m,n，满足题意。 (3) 由(1)可知， ．的图像，知
因在区间上的函数值组成的集合也是，故必有．
①当时，有，
即方程，有两个不相等的正实数根，因此，
解得． ②当时，有，
化简得， 综上，
39、解：（1）而∴
（2）设，，则∴
∴ ∴ 则当时，
∴
（3）在③中令，得 ∴
∴ （Ⅰ）对，总存在，满足由（2）及（Ⅰ）得：
又∴综上所述，对任意，恒成立
40、（1）当a=1,b=2时，h(x)=mx2+(m+n)x+2n为偶函数，则m+n=0, h()=0
（2）由题意，设h(x)=m(x2+ax)+n(x+b)=k(x+b)+t(2x2+3x-1)则m=2t,am+n=kb+t,nb=kb-t,得所以
（3）令h(x)=Ax2+Bx+C= m(x2+ax)+n(x+b)得：A=m,am+n=B,C=nb,所以n=B-aA=C/b
所以当B-aA=C/b时才成立，即h(x)不能为任意一个二次函数
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