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- 2021-06-10 发布
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小题专项集训(十三) 立体几何(二)
(时间:40分钟 满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共50分)[来源:学科网][来源:Z。xx。k.Com]
1.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x++,则x的值为 ( ).
A. B. C. D.0
解析 由四点共面的充要条件,知x++=1,因此x=.
答案 A
2. (2011·辽宁)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( ).
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD[来源:学,科,网Z,X,X,K]
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正确;AB∥DC,DC⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,B正确;由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.
答案 D
3.点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为,则点M的坐标是 ( ).
A.(0,0,±2) B.(0,0,±3)
C.(0,0,±) D.(0,0,±1)
解析 设M为(0,0,z),直线l的一个单位方向向量为s0=
,故点M到直线l的距离d== =,解得z=±3.
答案 B
4.在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为( ).
A.- B.-
C. D.
解析 如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则=(-1,1,0),=,若异面直线DE与AC所成的角为θ,cos θ=|cos〈,〉|=.
答案 D
5.(2011·全国)已知二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于 ( ).
A. B. C. D.1
解析 ∵=++,∴||2=||2+||2+||2,
∴||2=2.在Rt△BDC中,BC=.
∵面ABC⊥面BCD,过D作DH⊥BC于H,则DH⊥面ABC,
∴DH的长即为D到平面ABC的距离,
∴DH===.故选C.
答案 C
6.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB
=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为 ( ).
A. B.
C. D.
解析 以A为坐标原点,AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=AB=AC=2,则=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),=(0,-1,2),所以·=0,所以QP与AM所成角为.
答案 D
7.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为 ( ).
解析 以D为原点,DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图:
设M(x,y,0),设正方形边长为a,则
P,C(0,a,0),
则|MC|=,
|MP|= .
由|MP|=|MC|得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.
答案 A
8.如图所示,在四面体P-ABC中,PC⊥面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角B-AP-C的余弦值为 ( ).
A. B.
C.- D.
解析 如图所示,作BD⊥AP于D,作CE⊥AP于E.设AB=1,则易得CE=,EP=,PA=PB=,可以求得BD=,ED=.因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·,
所以·=-,所以cos〈,〉=-.故选C.
答案 C
9.(2013·南通一模)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 ( ).
A.EF至多与A1D、AC之一垂直
B.EF与A1D、AC都垂直
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析 设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC,故选B.
答案 B
10.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为
( ).
A.60° B.70° C.80° D.90°
解析 不妨设PM=a,PN=b,如图所示,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,因为∠BPM=∠BPN=45°,所以PE=a,PF=b,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b=--+=0,所以⊥,所以二面角α-AB-β的大小为90°.
答案 D
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=________.
解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),
∴(c-a)·(2b)=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2(1-x)=-2,解得x=2.
答案 2
12.(2013·徐州模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.
解析 如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件A(1,0,0),E,B(1,1,0),C(0,1,0),=,=(-1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.
cos θ=|cos〈,〉|==.
答案
13.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________.[来源:学科网]
解析 如图,以点A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F.
∴=(0,0,2),=,=.[来源:Zxxk.Com]
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z).则
即解得
取z=1,则平面DEF的一个法向量为n=(2,0,1).
设PA与平面DEF所成的角为θ,则sin θ=|cos〈,n〉|=
=,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
答案
14.已知:如图,△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M、N、D分别是SC、AB、BC的中点,则A到平面SND的距离为________.
解析 建立如图的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1),∵n·=0,n·=0,
∴,∴,∴n=(2,1,1).∵=(0,0,2).
∴A到平面SND的距离为==.
答案
15.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,则二面角B1-A1C-C1的大小是________.
解析 如图所示,以B为原点O,OA,OC,OB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),
设AC的中点为M,M的坐标为(1,1,0),连接BM
,由题意,知BM⊥AC,BM⊥CC1,又AC∩CC1=C,所以BM⊥平面A1C1CA,即=(1,1,0)是平面A1C1CA的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),由题意,得=(-2,2,-2),=(-2,0,0),所以令z=1,得x=0,y=1,所以n=(0,1,1).设法向量n与的夹角为φ,二面角B1-A1C-C1的大小为θ,显然θ为锐角,所以cos θ=|cos φ|==,解得θ=.
答案