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- 2021-06-10 发布
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高一年级数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由补集的定义即可得到结果.
【详解】由补集的定义可得,.
故选:C.
【点睛】本题考查集合的补集,属基础题.
2.如图所示,可表示函数图象的是( )
A. ① B. ②③④ C. ①③④ D. ②
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可.
【详解】由函数定义可知,对定义域内的任何一个变量x,存在唯一的一个变量y与x对应.
则由定义可知①③④,满足函数的定义,但②不满足,因为图象②中,当x>0时,一个x对应着两个y,所以不满足函数取值的唯一性,所以能表示为函数图象的是①③④.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断,要求学生了解:一对一,多对一是函数关系,一对多不是函数关系,属基础题.
3.计算:的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
,故选C.
4.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在数轴上作出集合与,根据交集的定义可得出集合.
【详解】由题意,在数轴上作出集合、,如图所示:
由图象可知,,故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集运算,考查计算能力,属于基础题.
5.设函数f(x)=则f(f(3))=( )
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】,
,故选D.
【此处有视频,请去附件查看】
6.下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件,要从这两个方面进行判断,这两个方面可以借助于图象,也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.
【详解】选项A中,设函数,,函数偶函数,不符合题意;
选项B中,设函数,,则函数为非奇非偶函数,选项B不符合题意;
选项C中,函数的定义域为,则为非奇非偶函数,选项C不符合题意;
选项D中,是单调递增且满足,则是奇函数,符合条件.
故选:D.
【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性,注意它们的判定方法,属基础题.
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图知几何体是一个组合体,上面是一个直径为2的球,下面是一个棱长为2的正方体,求出两个几何体的体积再求和即可得到结果.
【详解】由三视图知几何体是一个组合体,如图:
上面是一个直径为2的球,则球的体积是,
下面是一个棱长为2的正方体,则体积是,
几何体的体积是.
故选:C.
【点睛】本题考查由三视图还原几何体,解题的关键是看出几何体中各个部分的数据,注意不同三视图的长宽高之间的关系,属基础题.
8.函数的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令2x-3=1得x=2, ,故过点, 故选D.
9.函数存在零点的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
函数是在R上的连续函数,分别求出和,判断是异号即可求得结果.
【详解】函数是在R上的连续函数,
,,
则,
由函数零点的存在性定理可知,函数在区间内一定存在零点.
故选:B.
【点睛】本题考查函数零点的存在性定理的应用,注意仔细审题,认真计算,属基础题.
10.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
,,得解。
【详解】,,,所以,故选D
【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法。
11. 函数y=f(x)在R上为减函数,且f(3a)<f(-2a+10),则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,-2)
B. (0,+∞)
C. (2,+∞)
D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
【答案】C
【解析】
因为函数y=f(x)在R上为减函数,且f(3a)<f(-2a+10),所以3a>-2a+10,
即a>2.
考点:利用单调性求参数范围.
12.已知偶函数在区间上单调递增,则满足的的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据单调性,将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系,注意偶函数对应的函数的对称情况.
【详解】因为偶函数是在上递增,则在递减,且;又因为,根据单调性和奇偶性有:,解得:,
故选:A.
【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题,难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题,除了可以直接分析问题,还可以借助图象来分析,也可以高效解决问题.
【此处有视频,请去附件查看】
二、填空题(本大题共4小题,共12分)
13.已知函数,且此函数图像过点,实数的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
将点坐标代入函数解析式,解方程求得的值.
【详解】将点坐标代入函数解析式得.
故填:.
【点睛】本小题主要考查点在函数图像上的运用,考查函数解析式的求法,属于基础题.
14.长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为__________.
【答案】
【解析】
长方体的体对角线长为球的直径,则 , ,则球的表面积为.
15.设为定义在上的奇函数,当时,,则= .
【答案】
【解析】
试题分析:因为奇函数,所以.
考点:函数奇偶性的应用.
16.已知函数有4个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得函数与函数有4个交点,结合图象可得实数a的取值范围.
【详解】由题意可得,方程有4个根,
等价于函数与函数有4个交点,如图所示:
结合图象可得,
故答案为:.
【点睛】本题考查了零点的存在性及其个数判断,也考查了函数与方程的思想,解答的关键是运用数形结合的思想进行分析判断,属中档题.
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
17.设,,,求,.
【答案】,.
【解析】
【分析】
先求出集合B的补集,再求出和即可得到本题结果.
【详解】由于,,
,
则,.
【点睛】本题考查了集合的交并补运算,注意检查,属基础题.
18.化简求值:
(1) ; (2)
【答案】(1);(2)5.
【解析】
【分析】
(1)根据指数的运算性质和根式的定义计算即可;
(2)根据对数的运算性质计算求解即可.
【详解】(1);
(2).
【点睛】本题考查指数和对数的运算性质,要求熟记公式,注意认真计算,属基础题.
19.证明函数在上是增函数.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
设,则,结合假设可判断符号,再根据函数单调性的定义即可证明结论.
【详解】设,则,
,,,,
,,
故函数在上是增函数.
【点睛】本题考查的是函数单调性的证明问题,在解答时要根据函数单调性的定义,先在所给的区间上任设两个数并规定大小,然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系,结合定义即可获得问题的解答,属中档题.
20.已知函数是指数函数.
(1)求的表达式;
(2)判断的奇偶性,并加以证明
(3)解不等式:.
【答案】(1)(2)见证明;(3)
【解析】
【分析】
(1)根据指数函数定义得到,检验得到答案.
(2) ,判断关系得到答案.
(3)利用函数单调性得到答案.
【详解】解:(1)∵函数指数函数,且,
∴,可得或(舍去),∴;
(2)由(1)得,
∴,∴,∴是奇函数;
(3)不等式:,以2为底单调递增,
即,
∴,解集为.
【点睛】本题考查了函数的定义,函数的奇偶性,解不等式,意在考查学生的计算能力.
21.已知函数的图象过点.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1) 是奇函数,理由见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)∵的图像过,代入后得到,这样可化简为,依据奇函数的定义可判断其为奇函数.(2)不等式
可化简为,从而不等式的解为.
【详解】解析:(1)∵的图象过点,∴,解得,∴ 的定义域为.∵,∴是奇函数.
(2)∵,∴,∴,
∴,∴,解得.
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和证明,以及不等式的解法,注意运用定义法和指数函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.