高中数学选修2-2公开课课件2_3 数学归纳法 28页

2.3 　数学归纳法 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁？ 我不是四毛！我是小明！ 不完全归纳 猜：四毛！ 完全归纳 ？ 1. 了解数学归纳法的原理 . 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . （重点、难点） 探究点 数学归纳法的原理与定义 问题 1: 口袋中有 4 个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法 . 完全归纳法 （ 1 ）求出数列前 4 项 , 你能得到什么猜想？ （ 2 ）你的猜想一定是正确的吗？ 猜想数列的通项公式为： 解 : 不完全归纳法 从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法 验证 : 逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数都成立？ 数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？ 多米诺骨牌 数学归纳法的第一步：先证明 n 取第一个值时命题成立 . 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张 . 数学归纳法的第二步：假设当 n=k 时命题成立， 并证明当 n=k+1 时命题也成立 . 相当于多米诺骨牌第 k 张倒后第 k+1 张是否也会跟着倒 . 1. 第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题 . 2. 共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况 . 多米诺骨牌与我们要解决的问题 2 有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述 2 ，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第 k 块倒下，则相邻的第 k+1 块也倒下 . 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题 2 猜想的结论吗？ 猜想数列的通项公式为 证明 : (1) 当 猜想成立 . (2) 那么 , 当 根据 (1) 和 (2) ，猜想对于任何 都成立 . 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1. （归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0  N * ) 时命题成立 . 2. （归纳递推）假设当 n=k( k≥n 0 ， k  N * ) 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立 . 这种证明方法叫做 数学归纳法 . 若 n = k ( k ≥ n 0 ) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立 . 验证 n=n 0 时命题成立 . 命题对从 n 0 开始所有的正整数 n 都成立 . 归纳奠基 归纳递推 数学归纳法： 两个步骤 一个结论 缺一不可 例 1 用数学归纳法证明 证明： （ 1 ）当 n=1 时， 左边 =1 2 =1, 右边 = 1 等式成立 (2) 假设当 n=k( ) 时等式成立 , 即 那么 , 当 n=k+1 时 即当 n=k+1 时等式也成立 . 根据 (1) 和 (2), 可知等式对任何 都成立 . 即n=k+1时等式成立 . 所以等式对一切自然数 均成立 . 【 总结提升 】 问题 1 ：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下： 证明： 假设 n=k 时等式成立，即 那么 上述证法是正确的吗？为什么？ 结论 1 ： 第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无 . 问题 2 ：乙同学用数学归纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么？ 结论 2 ： 在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 计算 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，根据计算结果，猜想 S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明 . 例 2 已知数列 ， ， ， … ， … ， ， 解： 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n+1, 于是可以猜想 下面我们用数学归纳法证明这个猜想 . (1) 当 n=1 时， 猜想成立 . (2) 假设 n=k 时 , 猜想成立，即 那么 所以，当 n=k+1 时 , 猜想也成立 . 例 3 求证 : ( n+1)(n+2)…(n+n)=2 n • 1• 3•… •(2n-1) 1. 已知三角形内角和为 180 ° ， 四边形的内角和为 360° ，五边形的内角和为 540° ，于是有：凸 n 边 形的内角和为 (n-2)·180° ，若用数学归纳法证 明，第一步验证 n 取第一个正整数时命题成立，则 第一个正整数取值为 __________ 3 2. 用数学归纳法证明 （ a≠1 ），在验证 n=1 等式成立时 ，左边应取的项 是 __________. 3. 用数学归纳法证明 :(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1) 时，在证明 n=k+1 时：左边代数式 为 ， 共有 项，从 k 到 k+1 左边需要增乘的代 数式为 _______________. [(k+1)+1] •[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)] k+1 证明 : (1) 当 n=1 时 , 左边 = , (2) 假设 n=k(k∈N*) 时原等式成立 ，即 右边 = 此时，原等式成立 . 那么 n=k+1 时 , 这就是说，当 n=k+1 时 , 命题也成立 . 由 (1)(2) 知 , 对一切正整数 n, 原等式均正确 . 5. 是否存在常数 a 、 b, 使得等式 : 对一切正整数 n 都成立 , 并证明你的结论 . 点拨 : 对这种类型的题目 , 一般先利用 n 的特殊值 , 探求出待定系数 , 然后用数学归纳法证明它对一切正整数 n 都成立 . 解 : 令 n=1,2, 并整理得 以下用数学归纳法证明 : (2) 假设当 n=k 时结论正确 , 即 : 则当 n=k+1 时 , 故当 n=k+1 时 , 结论也正确 . 根据 (1) 、 (2) 知 , 对一切正整数 n, 结论正确 . (1) 当 n=1 时 , 由上面解法知结论正确 . 1. 数学归纳法的一般步骤： 若 n = k ( k ≥ n 0 ) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立 . 验证 n=n 0 时命题成立 . 命题对从 n 0 开始所有的正整数 n 都成立 . 归纳奠基 归纳递推 两个步骤 一个结论 缺一不可 2. 应用数学归纳法要注意以下几点： （1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的 . （2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法 . （3）n 0 是使命题成立的最小正整数，n 0 不一定取 1 ，也可取其他一些正整数 . （4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法 . 如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐；如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨 .