江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试卷 9页

文科数学试卷 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（每小题5分，共60分)‎ ‎1．复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图所示，边长为的正方形是某一个图形的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知两变量和的一组观测值如下表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为,则（ ）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图．如果输入，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 ‎ 上，其中 ，则的最小值是（ ）‎ A．9 B．‎4 ‎C． D．8‎ ‎7．若a，b是异面直线，则与a，b都平行的平面 A．不存在 B．有无穷多个 C．有且仅有一个 D．不一定存在 ‎8．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则； B．若，则；‎ C．若，则； D．若，则 ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．2‎ C． D．‎ ‎10．空间四边形中，，，分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为（ ）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎11．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（ ）‎ A．斛 B．斛 C．斛 D．斛 ‎12．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（每小题5分，共20分)‎ ‎13．‎ 已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为______.‎ ‎14．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在原正方体中，CN与BM所成的角度为 ．‎ ‎15．平面平面，点，点，直线AB，CD相交于点P，已知，，，则___________．‎ ‎16．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有______填上所有正确命题的序号 ‎， ，‎ 截面PQMN， 异面直线PM与BD所成的角为．‎ 三、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分)‎ ‎17．如图，，且都为垂足 ‎.求证：.‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ABC＝，M是棱AC的中点，‎ 且AB＝BC＝BB1＝1.‎ ‎（1）求证：AB1平面BC1M ‎（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小．‎ ‎19．如图，长方体的侧面是正方形．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离．‎ 满意 不满意 合计 男顾客 ‎50‎ 女顾客 ‎50‎ 合计 ‎20．某商场为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客均对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面不完整的列联表：‎ ‎（1）根据已知条件将列联表补充完整；‎ ‎（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）对，都有，求实数的取值范围.‎ ‎22．年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：‎ 企业成立年份 ‎2019‎ ‎2018‎ ‎2017‎ ‎2016‎ ‎2015‎ 企业成立年限 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 倒闭企业数量（万家）‎ ‎5.28‎ ‎4.72‎ ‎3.58‎ ‎2.70‎ ‎2.15‎ 倒闭企业所占比例 ‎21.4%‎ ‎19.1%‎ ‎14.5%‎ ‎10.9%‎ ‎8.7%‎ ‎（1）由所给数据可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）建立关于的回归方程，预测年成立的企业中倒闭企业所占比例.‎ 参考数据：，，，，‎ 相关系数，样本的最小二乘估计公式为，‎ 文科数学参考答案 ‎1-6DBCDCCBDBBBA ‎13． 14．60° 15．34或2. 16．‎ ‎17．见解析 ‎【详解】‎ ‎ ,所以.‎ 同理,,又,‎ ‎ 平面.‎ 又平面,‎ ‎.‎ ‎18．（1）证明见解析（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OM．‎ ‎∵O为B‎1C的中点，M为AC的中点，∴OM∥AB1. ‎ 又∵AB1平面BC1M，OM平面BC1M，‎ ‎∴AB1∥平面BC‎1M．. ‎ ‎（2）解：∵AB＝BC＝BB1＝1，∠ABC＝，D是棱AC的中点 与所成的角即为与所成角，‎ 设，则在中，‎ 由余弦定理知： ‎ 又因为异面直线所成角取值范围为：‎ 与的夹角为 ‎ ‎（或在△OBM中证明△OBM为正三角形也可）‎ ‎19．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图1，在长方体中，‎ 平面， ‎ 又平面，‎ ‎． ‎ 四边形是正方形，‎ ‎． ‎ 又，平面． ‎ ‎（2）解：如图2，设点到平面的距离为．‎ 由题知，，‎ 在长方体中，‎ 平面，且， ‎ ‎， ‎ 在中，，，，‎ ‎， ‎ ‎，，‎ 点到平面的距离为． ‎ ‎20．（1）列联表见解析；（2）有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）如表 满意 不满意 合计 男顾客 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 女顾客 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 合计 ‎100‎ ‎40‎ ‎140‎ ‎（2）， ‎ ‎， ‎ 故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．‎ ‎21．（1）（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 令或，解得或，‎ 所以解集为.‎ ‎（2）当时，恒成立，即恒成立，即，‎ 当时，恒成立，即恒成立，所以，‎ 当时，恒成立，即，所以，‎ 综上：.‎ ‎22．（1）详见解析；（2）；预测年成立的企业中倒闭企业所占比例为 ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据及参考数据可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 由可得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为与的相关系数近似为，说明与的相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎（2）由题意，‎ 再结合（1）中数据可得，‎ 则，‎ 所以关于的回归方程为；‎ 当时，，‎ 所以预测年成立的企业中倒闭企业所占比例为.‎