数学理卷·2018届福建省华安一中高二下学期期末考试（2017-07） 12页

‎2016-2017学年高二下学期期末考理科数学试卷 ‎（时间：120分钟 总分：150分）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知随机变量若则（　　）‎ A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977‎ ‎3．若n=，则（x﹣）n的展开式中常数项为（　　）‎ A． B． ﹣ C． D． ﹣‎ ‎4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（　　）‎ A． P1+P2 B． P1P2 C． 1﹣P1P2 D． 1﹣（1﹣P1）（1﹣P2）‎ ‎5．随机变量ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25，则n=（　　）‎ A． 60 B． 55 C． 50 D． 45‎ ‎6．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（　　）‎ A． 288 B． 480 C． 600 D． 640‎ ‎7．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是( 　)‎ A. B. C. D. ‎8．已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（　　）‎ A． 2n B． 3n C． n2 D． nn ‎9．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是(　)‎ A．0.146 2 B．0.153 8 C．0.996 2 D．0.853 8‎ ‎10．已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎12.已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是（    ）‎ A． B. C . D. ‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　　．‎ ‎14.如图所示，直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数的值为 . ‎ ‎15.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . ‎ ‎16.已知f（x）=x3﹣x2+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且0＜x1＜1＜x2＜3，则实数a的取值范围为　　．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求点到、两点的距离之积．‎ ‎18．（本小题满分12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎‎4月30日 温差x/℃ 10 11 13 12 8‎ 发芽数y/颗 23 25 30 26 16‎ ‎（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于‎25”‎的概率．‎ ‎（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是‎4月1日与‎4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程．‎ ‎（参考公式：=，=﹣）‎ ‎19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.‎ ‎（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）‎ ‎（参考公式：其中）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ （2） 现计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望.‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C ‎20．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF‎1F2的周长等于4+2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过定点P（0，2）作直线与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线的方程．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函f（x）=ax2﹣ex（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．‎ ‎（i） 求实数a的取值范围；‎ ‎（ii）证明： （注：e是自然对数的底数）‎ ‎2016-2017学年高二下期末考理科数学答题卷 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎18、‎ 二、填空题：‎ ‎13、　　　　　　　14、　　　 　 15、　　 　 　 16、　　 　‎ 三、解答题：‎ ‎17、‎ ‎18、 ‎ ‎ ‎ ‎19、‎ ‎（1）‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎30~40‎ 合计 ‎（2）‎ ‎20、 ‎ ‎ ‎ ‎21、 ‎ ‎ ‎ ‎22、‎ ‎2016-2017学年高二下期末考理科数学试卷 参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C A D A B B D A C D B ‎18、‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13、 14、　 15、 　 16、（3，）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17解： (1) 曲线的普通方程为，,‎ 则的普通方程为，则的参数方程为： ‎ ‎……………………2分 代入得，. ‎ ‎………………………… 6分 ‎(2) . ……………………10分 ‎18解：（Ⅰ）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，‎ m，n的所有取值情况有：‎ ‎（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），‎ ‎（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个 设“m，n均不小于‎25”‎为事件A，‎ 则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）‎ 所以P（A）=，‎ 故m，n均不小于25的概率为；……………………………….6分 ‎（Ⅱ）由数据得=12，=27，3•=972，xiyi=977，xi2=434，32=432．‎ 由公式，得==，=27﹣×12=﹣3．‎ 所以y关于x的线性回归方程为=x﹣3．............12分 ‎19解：（1）‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30~40‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ 有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关……………4分 ‎（2）设3名选手中在20~30岁之间的人数为，可能取值为0，1,2,………5分 ‎20~30岁之间的人数是2人……………6分 ‎,,………10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…………11分 ‎ ……………………12分 ‎ ‎20解：（Ⅰ）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则，‎ ‎，．‎ 点坐标为．，．‎ ‎，，，，又，‎ 平面 ……………………………….5分 ‎（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，则．‎ ‎，如图，可取，则，‎ ‎ …………12分21解：（1）∵椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），‎ F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF‎1F2的周长等于4+2，‎ ‎∴，‎ 解得a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．.............4分 ‎（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ ‎△=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0，‎ 由根与系数关系得x1+x2=，x1•x2=，．.............8分 ‎∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，‎ ‎∴y1y2=k2x1•x2﹣2k（x1+x2）+4．‎ ‎∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，‎ ‎∴﹣+4=0，‎ 解得k=±2，‎ ‎∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．．.............12分 ‎22解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣ex，f（x）在R上单调递减．‎ 事实上，要证f（x）=x2﹣ex在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对∀x∈R恒成立即可，‎ 设g（x）=f′（x）=2x﹣ex，则g′（x）=2﹣ex，‎ 当x=ln2时，g′（x）=0，‎ 当x∈（﹣∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．‎ ‎∴函数g（x）在（﹣∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．‎ ‎∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立 所以f（x）在R上单调递减；．.............4分 ‎ ‎（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣ex，所以，f′（x）=2ax﹣ex．‎ 若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，‎ 故方程2ax﹣ex=0有两个根x1，x2，‎ 又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，‎ 设，得．‎ 若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．‎ 若x＞0时，h（x）＞0．‎ 当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．‎ 要使方程有两个根，需‎2a＞h（1）=e，故且0＜x1＜1＜x2．‎ 故a的取值范围为．．.............8分 ‎（ii）证明：由f′（x1）=0，得：，故，x1∈（0，1）‎ ‎=，x1∈（0，1）‎ 设s（t）=（0＜t＜1），则，s（t）在（0，1）上单调递减 故s（1）＜s（t）＜s（0），即．．.............12分