高中数学选修2-2教学课件第三章 2_1 28页

第三章　导数应用 §2 导数在实际问题中的应用 2.1 　实际问题中导数的意义 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 和实际问题相结合，进一步理解导数的概念 . 2. 会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 瞬时速度的含义 若物体运动的路程与时间的关系式是 s ＝ f ( t ) ，当 Δ t 趋近于 0 时，函数 f ( t ) 在 t 0 到 t 0 ＋ Δ t 之间的平均变化 率 趋 近于常数，我们就把 这个 叫作 物体在 t 0 时刻 的 _____ ______ ， 即 v ＝ s ′ ( t 0 ). 常数 瞬时 速度 2. 功率与降雨强度的含义 功率 是 的 导数，降雨强度 是 的 导数 . 3. 边际成本的含义 在经济学中，边际成本 是 的 导数 . 功关于时间 降雨量关于时间 生产成本关于产量 探要点 · 究 所然 探究点一　平均变化率和瞬时变化率 思考 　描述一下变化率和导数的关系 . 答　 函数的平均变化率 为 ； 当 Δ x 趋于 0 时的 极限 是 瞬时变化率 ( 导数 ) ；平均变化率刻画函数在某个范围内变化的快慢，导数刻画函数在一点处变化的快慢 . 例 1 　一物体做初速度为 0 的自由落体运动，运动方程 s ＝ gt 2 ( g ＝ 10 m/s 2 ，位移单位： m ，时间单位： s) ，求： (1) 物体在 t 0 到 t 0 ＋ Δ t 这段时间内的平均速度； (2) 物体在 t ＝ t 0 时的瞬时速度 . 解　 物体在 t ＝ t 0 时的瞬时速度为 反思与感悟　 计算平均变化率可用定义；计算导数可使用定义，也可使用导数公式和导数运算法则 . 跟踪训练 1 　试比较函数 y ＝ sin x 在 x ＝ 0 和 x ＝ 处 瞬时变化率的大小 . 解　 ∵ (sin x ) ′ ＝ cos x ， ∴ y ＝ sin x 在 x ＝ 0 处的瞬时变化率为 cos 0 ＝ 1 ， ∴ 函数 y ＝ sin x 在 x ＝ 0 处的瞬时变化率大 . 探究点二　导数的实际意义 思考 1 　在实际问题中，导数有什么作用？ 答　 导数可以刻画事物变化的快慢程度 . 思考 2 　物理中有哪些常见导数模型？ 答　 物理中速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数 . 思考 3 　实际问题中还有哪些常用的导数模型？ 答　 实际问题中，降雨强度是降雨量关于时间的导数，边际成本是生产成本关于产量的导数，气球膨胀率是气球半径关于体积的导数等 . 例 2 　 如图所示，某人拉动一个物体 前进， 他 所做的功 W ( 单位： J) 是时间 t ( 单位： s ) 的 函数，设这个函数可以表示为 W ＝ W ( t ) ＝ t 3 － 6 t 2 ＋ 16 t . (1) 求 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 关于时间 t 的平均变化率，并解释它的实际意义 ； 解　 当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从 W (1) ＝ 11 J 变到 W (3) ＝ 21 J ，此时功 W 关于时间 t 的平均变化率 为 它表示从 t ＝ 1 s 到 t ＝ 3 s 这段时间，这个人平均每秒做功 5 J. (2) 求 W ′ (1) ， W ′ (2) ，并解释它们的实际意义 . 解　 首先求 W ′ ( t ). 根据导数公式和求导法则可得 W ′ ( t ) ＝ 3 t 2 － 12 t ＋ 16 ， 于是， W ′ (1) ＝ 7 J /s ， W ′ (2) ＝ 4 J/ s. W ′ (1) 和 W ′ (2) 分别表示 t ＝ 1 s 和 t ＝ 2 s 时， 这个人每秒做的功为 7 J 和 4 J . 跟踪训练 2 　已知某电路中电量 q ( 单位： C) 与时间 t ( 单位： s) 的函数关系式是 q ( t ) ＝ 3 t 2 － 2 t . (1) 求 t ＝ 1 s 到 t ＝ (1 ＋ Δ t )s 这段时间的平均电量； 解　 因为电量 q 与时间 t 的函数关系式是 q ( t ) ＝ 3 t 2 － 2 t ， 即平均电量为 4 ＋ 3Δ t . (2) 求 t ＝ 1 s 时电路的电流 . 即 t ＝ 1 s 时通过该电路的电流为 4 A. 例 3 　 建造一幢面积为 x m 2 的房屋需要成本 y 万元， y 是 x 的函数： y ＝ f ( x ) ＝ (1) 当 x 从 100 变到 120 时，建筑成本 y 关于建筑面积 x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义 ？ 解　 当 x 从 100 变到 120 时，建筑成本 y 关于建筑面积 x 的平均变化率为 它表示在建筑面积从 100 m 2 增加到 120 m 2 的过程中，每增加 1 m 2 的建筑面积，建筑成本平均约增加 1 050 元 . (2) 求 f ′ (100) 并解释它的实际意义 . f ′ (100) 表示当建筑面积为 100 m 2 时，成本增加的速度为 1 050 元 /m 2 ，也就是说当建筑面积为 100 m 2 时，每增加 1 m 2 的建筑面积，成本就要增加 1 050 元 . 反思与感悟　 函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率 . 跟踪训练 3 　已知某商品生产成本 c 与产量 q (0< q <200) 的函数关系为 c ＝ 100 ＋ 4 q ，价格 p 与产量 q 的函数关系为 p ＝ 25 － q ，求利润 L 关于产量 q 的关系式，用 L ＝ f ( q ) 表示，并计算 f ′ (80) 的值，解释其实际意义 . 解　 ∵ f ( q ) ＝ p × q － c 说明产量 q ＝ 80 时，产量每增加 1 ，利润也增加 1. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 1. 如图，函数 y ＝ f ( x ) 在 A ， B 两点间的平均变化率是 ( 　　 ) A.1 B. － 1 C.2 D. － 2 B 2. 已知函数 f ( x ) ＝ ， 在 x 从 4 变化到 4 ＋ Δ x 时，函数的平均变化率为 ________ ， f ′ (4) ＝ ________. 1 2 1 2 呈 重点、现 规律 导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看