2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第56讲课件（25张）（全国通用） 25页

第 56 讲　圆的综合问题 考试要求　 1. 圆的方程 (C 级要求 ) ； 2. 高考中可能考查隐性圆问题，以及直线与圆的位置关系 . 诊 断 自 测 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － a ＋ 2) 2 ＝ 1 ，点 A (0 ， 2). 若圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2 ＋ MO 2 ＝ 10 ，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案　 [0 ， 3] 4.( 2017· 南京二模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M ： ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ a － 3) 2 ＝ 1( a ＞ 0) ，点 N 为圆 M 上任意一点 . 若以 N 为圆心， ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值为 ________. 答案　 3 答案　 4 1. 定点定值问题 方法一：先特殊后一般，要加以证明 . 方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题 . 知 识 梳 理 2. 最值、取值范围问题 (1) 利用几何意义求解； (2) 转化成代数关系求解 . 3. 隐性圆问题 考点一　取值范围、最值问题 【例 1 】 已知圆 M ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 ，直线 l ： x ＋ y － 6 ＝ 0 ， A 为直线 l 上一点 . (1) 若 AM ⊥ l ，过 A 作圆 M 的两条切线，切点分别为 P ， Q ，求 ∠ PAQ 的大小； (2) 若圆 M 上存在两点 B ， C ，使得 ∠ BAC ＝ 60° ，求点 A 横坐标的取值范围 . 解　 (1) 圆 M 的圆心 M (1 ， 1) ，半径 r ＝ 2 ，直线 l 的斜率为－ 1 ，而 AM ⊥ l ， ∴ k AM ＝ 1. ∴ 直线 AM 的方程为 y ＝ x . 如图，连接 MP ， ∴∠ PAM ＝ 45° ， ∴ ∠ PAQ ＝ 90°. (2) 过 A ( a ， b ) 作 AD ， AE 分别与圆 M 相切于 D ， E 两点， ∵∠ DAE ≥ ∠ BAC ， ∴ 要使圆 M 上存在两点 B ， C ，使得 ∠ BAC ＝ 60° ，只要作 ∠ DAE ≥ 60°. ∵ AM 平分 ∠ DAE ， ∴ 只要 30° ≤ ∠ DAM <90°. 又 a ＋ b － 6 ＝ 0 ，解得 1 ≤ a ≤ 5 ， 即点 A 横坐标的取值范围是 [1 ， 5]. 【训练 1 】 已知圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 和点 M (1 ， a ). 解　 (1) 由条件知点 M 在圆 O 上， (2) 设 O 到直线 AC ， BD 的距离分别为 d 1 ， d 2 ( d 1 ， d 2 ≥ 0) ， 考点二　定点定值问题 【例 2 】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1 ： ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 和圆 C 2 ： ( x － 4) 2 ＋ ( y － 5) 2 ＝ 4. 解　 (1) 由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 4) ，即 kx － y － 4 k ＝ 0 ， (1) 求证： △ AOB 的面积为定值； (2) 设直线 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 与圆 C 交于点 M ， N . 若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程 . 考点三　隐性圆问题 【例 3 】 已知点 A ( － 3 ， 0) ， B (3 ， 0) ，动点 P 满足 PA ＝ 2 PB . (1) 若点 P 的轨迹为曲线 C ，求此曲线的方程； (2) 若点 Q 在直线 l 1 ： x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 上，直线 l 2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M ，求 QM 的最小值，并求此时直线 l 2 的方程 . 解　 (1) 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ， 化简可得 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 16 即为所求 . 易证四边形 M 1 CM 2 Q 是正方形，所以 l 2 的方程是 x ＝ 1 或 y ＝－ 4. 【训练 3 】 (2016· 江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M ： x 2 ＋ y 2 － 12 x － 14 y ＋ 60 ＝ 0 及其上一点 A (2 ， 4). 解　 (1) M ： ( x － 6) 2 ＋ ( y － 7) 2 ＝ 25 ，圆心 M (6 ， 7) ， 因为圆 N 的圆心 N 在直线 x ＝ 6 上，设 N (6 ， y 0 ) ，又圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 2 y 0 ＝ 7 － 5 ， y 0 ＝ 1 ，所以圆 N 的标准方程为 ( x － 6) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1. 故直线 l 的方程为 2 x － y ＋ 5 ＝ 0 或 2 x － y － 15 ＝ 0.