数学文卷·2017届黑龙江省哈三中高三二模考试（2017 9页

‎2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（文史类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数，则（ ）‎ A．的模为2 B．的虚部为-1 C．的实部为1 D．的共轭复数为 ‎2. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ A． 8 B．7 C． 6 D．4‎ ‎3. 对于平面和不重合的两条直线，下列选项中正确的是（ ）‎ A．如果，，共面，那么 ‎ B．如果，与相交，那么是异面直线 ‎ C．如果，，是异面直线，那么 ‎ D．如果，，那么 ‎4.设变量满足约束条件：，则的最小值为（ ）‎ A． -2 B．-4 C. -6 D．-8‎ ‎5. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5，2，则输出的（ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．5‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．10 B． 20 C. 40 D．60‎ ‎8. 已知，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：‎ ‎①；‎ ‎②函数是偶函数；‎ ‎③对于任意一个非零有理数，对任意恒成立；‎ ‎④存在三个点，使得为等边三角形；‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A． 4 B．3 C. 2 D．1‎ ‎10. “关于的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11. 已知函数，，若图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如图，根据图中数构成的规律，所表示的数是 ．‎ ‎14.以模型（为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则 ．‎ ‎15. 在中，分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是 ．‎ ‎16. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：‎ ‎①；②；③；④；‎ 其中为“期望函数”的是 ．（写出所有正确的序号）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设是数列的前项和，已知，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到下面的表格：‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两量车中恰好有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进1200辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值.‎ ‎19. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点为线段上任意一点（不含端点），点在线段上，且.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若，为线段中点，求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，求的最小值.‎ ‎22. 圆锥曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（1）以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程，并求曲线在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，若曲线上的点到直线的距离最大，求点的坐标（直角坐标和极坐标均可）.‎ ‎23. （1）已知对于任意非零实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小.（并说明理由）‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BDADB 6-10: CBAAD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 144 14. 15. 16. ③④‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）当时，由，得， ‎ 两式相减，得，∴，∴ ‎ 当时，，，则.‎ ‎∴数列是以3为首项，3 为公比的等比数列 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）得 ‎∴ ‎ 错位相减得：‎ ‎∴ ‎ ‎18.解：（1）‎ ‎（2）① ②5000‎ ‎19. （Ⅰ）延长，交于点，由相似知，‎ ‎ 平面，平面，则直线//平面；‎ ‎（2）‎ ‎20. （Ⅰ）设，则处的切线为，‎ 则，，则，则；‎ ‎（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则 ‎，得，由于恒成立，设两个根为，‎ 则，同理， ‎ 由知：，得：‎ ‎（1）时，得得：或 ‎（2）时，得得：或 综上，共分三种情况 ‎（1）两条直角边所在直线方程为：；‎ ‎（2）两条直角边所在直线方程为： ‎ ‎（3）两条直角边所在直线方程为： ‎ ‎21. （Ⅰ）（1），单调递增，单调递减，单调递增；‎ ‎（2），单调递减，单调递增；‎ ‎（3），单调递增 ‎(Ⅱ)‎ ‎22. （Ⅰ）曲线直角坐标方程：，焦点直角坐标： ‎ 焦点极坐标： ‎ ‎（Ⅱ）或 ‎23.（Ⅰ），当且仅当时取等号，‎ 只需：，由于，只需，‎ 所以：的取值范围为：；‎ ‎（Ⅱ）解得：，知：‎ ‎，即.‎