数学·上海市嘉定区封浜高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析x 15页

‎2016-2017学年上海市嘉定区封浜高级中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．填空题（3分×12=36分）‎ ‎1．已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，则该数列的通项an=　　．‎ ‎2．设=（2k+2，4），=（k+1，8），若∥，则k的值为　　．‎ ‎3．=　　．‎ ‎4．已知向量，满足||=5，||=3，|﹣|=7，则•=　　．‎ ‎5．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为　　．‎ ‎6．设=（2，﹣3），=（﹣1，1），是与﹣同向的单位向量，则的坐标是　　．‎ ‎7．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=　　．‎ ‎8．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k=　　．‎ ‎9．设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn．已知向量，满足，则=　　．‎ ‎10．平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若=，=，那么用，表示的为　　．‎ ‎11．设Sn=+++…+，且Sn•Sn+1=，则n=　　．‎ ‎12．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则=　　．‎ ‎　‎ 二．选择题（3分×4=12分）‎ ‎13．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．若与互为负向量，则+=0‎ B．若•=0，则=或=‎ C．若，都是单位向量，则•=1‎ D．若k为实数且k=，则k=0或=‎ ‎14．设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（　　）‎ A．（﹣15，12） B．0 C．﹣3 D．﹣11‎ ‎15．已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn=+a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列各项的和是（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎16．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）‎ A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2‎ C．（k+1）2 D．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．（8分）已知=（2，1），=（3，﹣2），=+k，=﹣，若⊥，求实数k的值．‎ ‎18．（8分）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：‎ ‎（1）（﹣2）•（+）；‎ ‎（2）在上的投影；‎ ‎（3）与+的夹角．‎ ‎19．（10分）已知数列{an} 是一个首项为a1，公比q＞0 的等比数列，前n项和为Sn，记Tn=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，求 的值．‎ ‎20．（12分）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求向量、的夹角θ；‎ ‎（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．‎ ‎21．（14分）已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，‎ ‎（1）计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；‎ ‎（2）设bn=an+n（n∈N*），求的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市嘉定区封浜高中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（3分×12=36分）‎ ‎1．（2016秋•嘉定区校级期中）已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，则该数列的通项an=　3n（n∈N*）　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=3，a4=81，‎ ‎∴81=3×q3，解得q=3．‎ 则该数列的通项an=3×3n﹣1=3n．‎ 故答案为：3n（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•嘉定区校级期中）设=（2k+2，4），=（k+1，8），若∥，则k的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用两个向量共线，它们的坐标满足 x1y2﹣x2y1=0，解方程求得x的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2k+2，4），=（k+1，8），若∥，‎ ‎∴（2k+2）×8﹣（k+1）×4=0，解得 k=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2012秋•闵行区期末）=　2　．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先把要求的式子化为，再 利用数列极限的运算法则，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：===2，‎ 故答案为 2．‎ ‎【点评】本题主要考查求数列极限的方法，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•静安区校级模拟）已知向量，满足||=5，||=3，|﹣|=7，则•=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由已知中向量，满足||=5，||=3，|﹣|=7，我们易根据向量乘法的运算法则，求出2，2，（﹣）2进而求出答案．‎ ‎【解答】解：若||=5，||=3，‎ 则2=25，2=9，‎ 又由|﹣|=7，‎ 则（﹣）2=2+2﹣2•=9+25﹣2•=49‎ ‎∴•=﹣‎ 故答案为﹣‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量乘法运算法则，其中根据已知条件计算2，2，（﹣）2，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2016春•石河子校级期末）已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为　（，）　．‎ ‎【考点】线段的定比分点．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得 x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2009秋•杨浦区校级期末）设=（2，﹣3），=（﹣1，1），是与﹣同向的单位向量，则的坐标是　　．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算；单位向量．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】要求与﹣同向的单位向量可先要利用向量减法的坐标计算求出﹣然后再利用的单位向量为即可求解．‎ ‎【解答】解：∵=（2，﹣3），=（﹣1，1）‎ ‎∴=（3，﹣4）‎ ‎∵||=5‎ ‎∴与﹣同向的单位向量为（3，﹣4）即（，）‎ 即的坐标是（，）‎ 故答案为（，）‎ ‎【点评】本题主要考查了向量的单位化．解题的关键是首先要明白与同向的单位向量为其次要对向量差得坐标计算公式要牢记：，则．‎ ‎　‎ ‎7．（2008•浦东新区一模）用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=　1+a+a2　．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据题目意思知：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．‎ ‎【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1）”时，‎ 在验证n=1时，把当n=1代入，‎ 左端=1+a+a2．‎ 故答案为：1+a+a2‎ ‎【点评】本小题主要考查数学归纳法的应用、数学归纳法的证明步骤、数列等基础知识，考查基本知识．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2005•陕西）已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k=　　．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k．‎ ‎【解答】解：向量，‎ ‎∴‎ 又A、B、C三点共线 故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）‎ ‎∴k=‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查向量平行的坐标形式的充要条件、向量平行解决三点共线．‎ ‎　‎ ‎9．（2009秋•杨浦区校级期末）设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn．已知向量，满足，则=　　．‎ ‎【考点】数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{an}是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．‎ ‎【解答】解：由题意，∵，∴，∴‎ 即数列{an}是以首项a1=1，公比为的等比数列，‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎【点评】本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•嘉定区校级期中）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若=，=，那么用，表示的为　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由题意可得===，由此求得结果．‎ ‎【解答】解：由题意可得====，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016春•蕲春县期中）设Sn=+++…+，且Sn•Sn+1=，则n=　6　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由于，先利用裂项求和求出，再代入可求n ‎【解答】解：由于 ‎=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎∴n=6‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题主要考查了数列求和中的裂项求和方法的应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎12．（2004•重庆）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则=　　．‎ ‎【考点】演绎推理的基本方法；归纳推理．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板Pn的面积．‎ ‎【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，‎ 则a1+a2+…+an==‎ 故：==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识点其实是一种极限思想，当一个等比数列的|q|＜1时，=0，则a1+a2+…+an=．‎ ‎　‎ 二．选择题（3分×4=12分）‎ ‎13．（2012秋•浦东新区期末）下列命题中，真命题是（　　）‎ A．若与互为负向量，则+=0‎ B．若•=0，则=或=‎ C．若，都是单位向量，则•=1‎ D．若k为实数且k=，则k=0或=‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D的真假；进而得到答案．‎ ‎【解答】解：若与互为负向量，则+=，故A为假命题；‎ 若•=0，则=或=或⊥，故B为假命题；‎ 若，都是单位向量，则﹣1≤•≤1，故C为假命题；‎ 若k为实数且k=，则k=0或=，故D为真命题；‎ 故选D ‎【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，向量的数乘运算及其几何意义，平面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键，本题考查的点都是向量模块的易错，易忽略点，在解答向量问题时，一定要注意本题错误答案的错因．‎ ‎　‎ ‎14．（2008•湖北）设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（　　）‎ A．（﹣15，12） B．0 C．﹣3 D．﹣11‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵=（1，﹣2）+2（﹣3，4）=（﹣5，6），‎ ‎=（﹣5，6）•（3，2）=﹣3，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（2010•嘉定区二模）已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn=+a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列各项的和是（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】数列的极限；等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由无穷等比数列{an}的前n项和（n∈N*），求出a1和d，由此可求出无穷等比数列各项的和．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵a1，a2，a3成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=﹣1，∴，．‎ ‎∴S==﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查数列的极限和运算，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•赫章县校级模拟）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）‎ A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2‎ C．（k+1）2 D．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，‎ 由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12‎ n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12‎ 比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．（8分）（2016秋•嘉定区校级期中）已知=（2，1），=（3，﹣2），=+k，=﹣，若⊥，求实数k的值．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．‎ ‎【分析】求出向量，利用向量垂直的充要条件，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：由条件得=（2，1），=（3，﹣2），‎ ‎=+k=（2+3k，1﹣2k），=﹣=（﹣1，3），‎ ‎∵⊥，‎ ‎∴（2﹣3k）×（﹣1）+（1﹣2k）×3=0，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查向量垂直的充要条件的应用，坐标的坐标运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2016秋•嘉定区校级期中）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：‎ ‎（1）（﹣2）•（+）；‎ ‎（2）在上的投影；‎ ‎（3）与+的夹角．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可，‎ ‎（2）根据投影的定义即可求出，‎ ‎（3）根据向量的夹角公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵||=4，||=2，且与夹角为120°，‎ ‎∴=||•||•cos120°=4×2×（﹣）=﹣4，‎ ‎（﹣2）•（+）=||2﹣2||2﹣=16﹣8+4=12，‎ ‎（2）在上的投影为||cos120°=﹣2，‎ ‎（3）•（+）=||2+=16﹣4=12，‎ ‎|+|2=||2+||2+2=16+4﹣8=12，‎ ‎∴|+|=2，‎ ‎∴cos＜，+＞===，‎ ‎∴与+的夹角为 ‎【点评】本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•嘉定区校级期中）已知数列{an} 是一个首项为a1，公比q＞0 的等比数列，前n项和为Sn，记Tn=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，求 的值．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分q=1、0＜q＜1、q＞1三种情况，分别求出Sn和Tn ，再根据数列极限的运算法则求出 的值．‎ ‎【解答】解：当q=1 时，Sn=na1，Tn=（2n﹣1）a1，（2分）‎ ‎==．（1分）‎ 当q＞0，q≠1 时，，，（1分）‎ ‎∵，‎ 当 0＜q＜1时， qn=0，==1．‎ 当 q＞1时，===0．（2分）‎ 综上：．（1分）‎ ‎【点评】本题主要考查求数列极限的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求向量、的夹角θ；‎ ‎（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；综合题．‎ ‎【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ 所以，‎ 因而；‎ ‎（2），，‎ 因为，‎ 所以，‎ 当λ＞0时，，即，‎ 当λ＜0时，，即，‎ 所以．‎ ‎【点评】此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012秋•闵行区期末）已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，‎ ‎（1）计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；‎ ‎（2）设bn=an+n（n∈N*），求的值．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列的极限．‎ ‎【专题】点列、递归数列与数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；‎ ‎（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=1，且a2=6‎ 当n=2时，a3=3（a2﹣1）=15，‎ 当n=3时，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，…（2分）‎ 猜测…（4分）‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ⅰ当n=1，2，3，4时，等式已成立…（5分）‎ ⅱ假设当n=k时，‎ 则由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有：=2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）‎ 即n=k+1时，等式也成立 综上，成立…（7分）‎ ‎（2）bn=an+n=2n2‎ ‎∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）…（8分）‎ ‎∴=（）…（10分）‎ ‎∴=‎ ‎==…（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎