【数学】2020届一轮复习人教A版第9课二次函数学案（江苏专用） 5页

‎____第9课__二__次__函__数____‎ ‎1. 熟练掌握二次函数的图象和性质．‎ ‎2. 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布．‎ ‎3. 能解决与二次函数有关的一些综合性问题.‎ ‎1. 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式．‎ ‎2. 二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．‎ ‎3. 二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑；同时要特别关注二次函数的对称轴位置，即对称轴与所给区间的位置关系，这样可以得到二次函数的变化情况．此外要注意c的值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．‎ ‎4. 三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)以二次函数为核心，即二次函数图象与横轴的交点和在横轴的上方、下方.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则b＝__6__．‎ 解析：由题意得－＝1，解得a＝－4，且＝1，即＝1，解得b＝6.‎ ‎2. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c且f(x1)＝f(x2)，则f＝____．‎ 解析：由题意可知，＝－，‎ 所以f＝a·＋b·＋c＝.‎ ‎3. 已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围为__[1，2]__．‎ 解析：由题意得函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴为直线x＝1.当x＝0时，y＝3，当x＝1时，y＝2，‎ 所以解得1≤m≤2，‎ 所以m的取值范围是[1，2]．‎ ‎4. 如果方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m的取值范围是__(－∞，－3)__．‎ 解析：设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，由题意得，‎ 解得 所以m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值 ‎　　例1　求函数f(x)＝x2－2ax＋2(x∈[2，4])的最小值．‎ 解析：f(x)图象的对称轴是直线x＝a，可分以下三种情况：‎ ‎①当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝6－4a；‎ ‎②当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；‎ ‎③当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min＝f(4)＝18－8a.‎ 综上所述，f(x)min＝ 已知函数f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．‎ 解析：由题意得，f(x)＝(x－1)2＋1.‎ ‎①当t＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1; ‎ ‎②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1; ‎ ‎③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.‎ 综上所述，g(t)＝ 考向❷ 利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题 ‎　　例2　已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图象过点(0，－3)，且f(x)>0的解集为(1，3)．‎ ‎(1) 若函数f(x)＝f(x)－mx在区间(0，1)上单调递增，求实数m的取值范围；‎ ‎(2) 求函数G(x)＝f(sinx)在x∈上的最值．‎ 解析：(1) 因为f(x)>0的解集为(1，3)，‎ 所以二次函数与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，‎ 所以可设f(x)＝a(x－1)(x－3)．‎ 又因为函数图象过点(0，－3)，代入f(x)得3a＝－3，解得a＝－1，‎ 所以f(x)＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3，所以f(x)＝－x2＋4x－3－mx＝－x2＋(4－m)x－3.‎ 因为函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，‎ 所以－≥1，解得m≤2，‎ 故实数m的取值范围是(－∞，2]．‎ ‎(2) 由题意得，G(x)＝－sin2x＋4sinx－3＝－(sinx－2)2＋1.‎ 因为x∈，所以sinx∈[0，1]，‎ 所以当sinx＝0时，G(x)min＝－3；‎ 当sinx＝1时，G(x)max＝0，‎ 故函数G(x)的最大值为0，最小值为－3.‎ 若关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实数根，试确定实数a的取值范围．‎ 解析：由已知得a＝－sin2x－cosx＝cos2x－cosx－1＝－.‎ 因为－1≤cosx≤1，‎ 所以a的取值范围是.‎ 考向❸ 与绝对值综合的二次函数问题 ‎　　例3　已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|.‎ ‎(1) 当a＝2时，写出函数y＝f(x)的单调增区间；‎ ‎(2) 当a>2时，求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值；‎ ‎(3) 设a≠0，函数y＝f(x)在区间(m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围(用a表示)．‎ 解析：(1) 当a＝2时，‎ f(x)＝x|x－2|＝ 由图象可知，y＝f(x)的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．‎ ‎(2) 因为a>2，x∈[1，2]，所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－＋.‎ 当1<≤，即2，即a>3时，f(x)min＝f(1)＝a－1，‎ 所以f(x)min＝ ‎(3) f(x)＝ ‎①当a>0时，图象如图1所示. ‎ 由得x＝a，‎ 所以0≤m<，a