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  • 2021-06-10 发布

2018高考数学(文理通用版)一轮综合过关规范限时检测:第4章-平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第四章 综合过关规范限时检测 ‎(时间:120分钟 满分150分)‎ ‎                   ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.(2016·山东)若复数z=,其中i为虚数单位,则=( B )‎ A.1+i B.1-i ‎ C.-1+i D.-1-i ‎[解析] 易知z=1+i,所以=1-i.选B.‎ ‎2.(2017·山东省烟台市高三上学期期中数学试题)已知向量a与b不平行,且|a|=|b|≠0,则下列结论中正确的是( A )‎ A.向量a+b与a-b垂直 B.向量a-b与a垂直 C.向量a+b与a垂直 D.向量a+b与a-b平行 ‎[解析] 求出(a+b)·(a-b)=0,从而得到a+b与a-b垂直.‎ 解:∵向量a与b不平行,且|a|=|b|≠0,‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,‎ ‎∴a+b与a-b垂直.‎ 故选A.‎ ‎3.已知a·b=-12, |a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|=( B )‎ A.12 B.6 ‎ C.3 D.3‎ ‎[解析] 由题意,利用两个向量的数量积的定义可得a·b=-12=|a|·|b|cos135°=4|b|·(-),解得|b|=6,故选B.‎ ‎4.(2017·四川省成都市石室中学高三上学期期中数学试题)若复数z满足iz=1+2i,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点的坐标为( D )‎ A.(-2,-1) B.(-2,1) ‎ C.(2,1) D.(2,-1)‎ ‎[解析] 利用复数的运算法则、几何意义即可得出.‎ 解:z===2-i,‎ ‎∴在复平面上复数z对应的点的坐标为(2,-1).‎ 故选D.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,1),B(2,b),C(3,4),若向量与在向量方向上的投影相同,则3a-4b的值为( B )‎ A.-2 B.2 ‎ C.-5 D.5‎ ‎[解析] 由向量与在向量方向上的投影相同,得·=·,则3a+4=6+4b,所以3a-4b=2,故选择B.‎ ‎6.(2016·浙江省嘉兴一中校联考)已知a,b为平面向量,若a+b与a的夹角为,a+b与b的夹角为,则=( B )‎ A. B. ‎ C. D.2‎ ‎ [解析] 如下图所示,在△ABC中,=a,=b,则=a+b,∴∠ABC=,∠BAC=,在△ABC中,由正弦定理可知==,故选B.‎ ‎7.(2016·河南郑州模拟)已知函数f(x)=sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(+)·(-)的值为( D )‎ A.-1 B.- ‎ C. D.2‎ ‎[解析] ∵函数f(x)=sin(πx+φ)的周期T==2,则BC==1,是C点是一个对称中心,‎ 则根据向量的平行四边形法则可知:+=2,-= ‎∴(+)·(-)=2·=2||2=2×12=2,故选D.‎ ‎8.(2016·贵州省贵阳市模拟)已知P是△ABC所在平面内一点且++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( D )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[解析] 如图所示,取BC的中点为D,连接PA、PB、PC,则2=+,又点P满足++2=0,所以2+2=0,可得三点A、P、D共线且=,即P为点A、D的中点时,满足++2=0,此时S△PBC=S△ABC,黄豆落在△PBC内的概率是,故选D.‎ ‎ [方法点晴] 本题考查了几何概型中概率的计算及平面向量的运算,属于基础题,几何概型的概率估算公式的几何度量,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个几何度量只与“大小”有关,而与形状和位置无关,解决的步骤一般为:求出满足条件A的基本事件的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后公式计算概率.‎ ‎9.(2017·广东省广州市六校联考高三上学期12月调研数学试题)若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于( B )‎ A.2 B.2 ‎ C.4 D.8‎ ‎[解析] 先将z计算化简成代数形式,根据纯虚数的概念求出a,再代入|a ‎+2i|计算即可.‎ 解:z===.根据纯虚数的概念得出,∴a=2.‎ ‎∴|a+2i|=|2+2i|==2,‎ 故选B.‎ ‎[点拨] 本题考查了复数代数形式的混合运算,纯虚数的概念、复数的模.考查的均为复数中基本的运算与概念.‎ ‎10.(2017·福建福州八县市一中期中联考)已知复数z=,则下列说法正确的是( A )‎ A.z的共轭复数为-1-2i B.z的虚部为2i C.|z|=5 D.z在复平面内对应的点在第三象限 ‎[解析] z===-1+2i ‎∴=-1-2i,z的虚部为2,|z|=,z在复平面内对应的点为(-1,2),在第二象限,故选A.‎ ‎11.(2017·陕西省延安市黄陵中学高三上学期质量(重点班)数学试题)已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若·=-1,则sin(α+)的值为 ( B )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[解析] 由A,B,C的坐标求出和,根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简·=-1得到sinα+cosα的和,然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin(α+)的值.‎ 解:∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3)‎ ‎∴·=(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1‎ 得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1‎ ‎∴sinα+cosα=,‎ 故sin(α+)=(sinα+cosα)=×=,‎ 故选B.‎ ‎12.(2017·高三怀化一模)如图所示,在△ABC中,D为AB的中点,F在线段CD上,设=a,=b,=xa+yb,则+的最小值为( B )‎ A.8+2 B.8‎ C.6 D.6+2 ‎[解析] 因为D为AB的中点,所以=2,因为=xa+yb,所以=2x+y,因为F在线段CD上,所以2x+y=1,又x,y>0,所以+=(2x+y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当y=2x=时取等号,所以+的最小值为8.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)‎ ‎13.(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=- . ‎[解析] 因为a=(x,x+1),b=(1,2),a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-.‎ ‎14.已知向量a=(2,1),b=(5,5),则a在b上的投影为. ‎[解析] a与b上的投影为==.‎ ‎15.(2017·天津市六校高三上学期期中联考数学试题)设复数z满足(z+i)i=-3+4i(i为虚数单位),则z的模为2 . ‎[解析] 先将z化成代数形式,再根据复数模的计算公式计算,或者利用复数模的运算性质计算.‎ 解:(z+i)i=-3+4i,‎ ‎∴(z+i)i2=(-3+4i)i,‎ 即-z-i=-3i-4,‎ ‎∴z=4+2i,‎ ‎∴|z|==2,‎ 故答案为:2.‎ ‎[点拨] 此题是个基础题.考查复数的代数运算和模的计算,有效考查了学生应用知识分析解决问题的能力和计算能力.‎ ‎16.(2016·浙江嘉兴联考)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=,则·的值为. ‎[解析] 方法一:由平面几何知识知DC=1,·=(+)·(+)=·+·+·+·=1×2×cos60°+1××cos60°+×2+××cos120°=.‎ 方法二:作CO⊥AB于O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-,0),B(,0),C(0,),D(-1,),所以E(,),F(-,),所以·=(,)·(,)=+=.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)若复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若1+z2是实数,求实数a的值. ‎[解析] 1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i ‎=(+)+[(a2-10)+(2a-5)]i ‎=+(a2+2a-15)i.‎ ‎∵1+z2是实数,‎ ‎∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.‎ 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5且a≠1,故a=3.‎ ‎18.(本小题满分12分)若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R. ‎(1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一直线上?‎ ‎(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°,t为何值时,|a-tb|的值最小?‎ ‎[解析] (1)设a-tb=m[a-(a+b)],m∈R,‎ 化简得(m-1)a=(-t)b.‎ ‎∵a与b不共线,∴⇒ ‎∴t=时,a,tb,(a+b)的终点在一直线上.‎ ‎(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2.‎ ‎∴当t=时,|a-tb|有最小值|a|.‎ ‎19.(本小题满分12分)(2017·安徽省六安一中高三上学期月考(三)数学试题)已知平面上三点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα). ‎(1)若(+)2=7,(O为坐标原点),求向量与夹角θ的大小;‎ ‎(2)⊥若,求sin2α的值.‎ ‎[答案] (1)或π (2) ‎[解析] (1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解;(2)借助题设运用向量的数量积公式建立方程求解.‎ ‎(1)因为+=(2+cosα,sinα),(+)2=7,所以(2+cosα)2+sin2α=7,cosα=,‎ ‎∴cosθ==sinα=±,‎ ‎∴θ=或π ‎(2)=(cosα-2,sinα),=(cosα,sina-2),由⊥,∴ ·=0,‎ 即cosα+sinα=,‎ ‎∴(cosα+sinα)2=,‎ ‎∴sin2α=-.‎ ‎20.(本小题满分12分)(2017·浙江省杭州地区四校高三上学期期中联考数学试题)如图,已知O为△ABC的外心,角A,B,C的对边分别为a,b,c. ‎(1)若3+4+5=0,求cos∠BOC的值;‎ ‎(2)若·=·,求的值.‎ ‎[答案] (1)- (2)2‎ ‎[解析] (1)将条件中的式子变形为4+5=-3,两边平方后利用圆的性质即可求解;‎ ‎(2)条件中的式子变形,利用平面向量数量积的定义得到A,B,C满足的一个关系式,从而求解.‎ ‎(1)设外接圆半径为R,由3+4+5=0得:4+5=-3,两边平方得:16R2+40·+25R2=9R2,即:·=-R2,则cos∠BOC=-;‎ ‎(2)∵·=·,∴·(-)=·(-),‎ 即:-·+·=-·+·,‎ 可得:-R2cos2A+R2cos2B=-R2cos2C+R2cos2A,‎ ‎∴2cos2A=cos2C+cos2B,即:2(1-2sin2A)=2-(2sin2B+2sin2C),‎ ‎∴2sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理变形得:2a2=b2+c2,∴=2.‎ ‎21.(本小题满分12分)(2016·黑龙江哈尔滨模拟)已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C,且A、B、C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角. ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·(-)=18,求c边的长.‎ ‎[解析] (1)∵m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),‎ ‎∴m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).对于△ABC,A+B=π-C,0