2018高考数学（文理通用版）一轮综合过关规范限时检测：第4章-平面向量、数系的扩充与复数的引入 10页

第四章　综合过关规范限时检测 ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．(2016·山东)若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　B　)‎ A．1＋i B．1－i ‎ C．－1＋i D．－1－i ‎[解析]　易知z＝1＋i，所以＝1－i.选B．‎ ‎2．(2017·山东省烟台市高三上学期期中数学试题)已知向量a与b不平行，且|a|＝|b|≠0，则下列结论中正确的是(　A　)‎ A．向量a＋b与a－b垂直 B．向量a－b与a垂直 C．向量a＋b与a垂直 D．向量a＋b与a－b平行 ‎[解析]　求出(a＋b)·(a－b)＝0，从而得到a＋b与a－b垂直．‎ 解：∵向量a与b不平行，且|a|＝|b|≠0，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，‎ ‎∴a＋b与a－b垂直．‎ 故选A．‎ ‎3．已知a·b＝－12， |a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　B　)‎ A．12 B．6 ‎ C．3 D．3‎ ‎[解析]　由题意，利用两个向量的数量积的定义可得a·b＝－12＝|a|·|b|cos135°＝4|b|·(－)，解得|b|＝6，故选B．‎ ‎4．(2017·四川省成都市石室中学高三上学期期中数学试题)若复数z满足iz＝1＋2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为(　D　)‎ A．(－2，－1) B．(－2,1) ‎ C．(2,1) D．(2，－1)‎ ‎[解析]　利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ 解：z＝＝＝2－i，‎ ‎∴在复平面上复数z对应的点的坐标为(2，－1)．‎ 故选D．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若向量与在向量方向上的投影相同，则3a－4b的值为(　B　)‎ A．－2 B．2 ‎ C．－5 D．5‎ ‎[解析]　由向量与在向量方向上的投影相同，得·＝·，则3a＋4＝6＋4b，所以3a－4b＝2，故选择B．‎ ‎6．(2016·浙江省嘉兴一中校联考)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝(　B　)‎ A． B． ‎ C． D．2‎ ‎ [解析]　如下图所示，在△ABC中，＝a，＝b，则＝a＋b，∴∠ABC＝，∠BAC＝，在△ABC中，由正弦定理可知＝＝，故选B．‎ ‎7．(2016·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　D　)‎ A．－1 B．－ ‎ C． D．2‎ ‎[解析]　∵函数f(x)＝sin(πx＋φ)的周期T＝＝2，则BC＝＝1，是C点是一个对称中心，‎ 则根据向量的平行四边形法则可知：＋＝2，－＝ ‎∴(＋)·(－)＝2·＝2||2＝2×12＝2，故选D．‎ ‎8．(2016·贵州省贵阳市模拟)已知P是△ABC所在平面内一点且＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　D　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　如图所示，取BC的中点为D，连接PA、PB、PC，则2＝＋，又点P满足＋＋2＝0，所以2＋2＝0，可得三点A、P、D共线且＝，即P为点A、D的中点时，满足＋＋2＝0，此时S△PBC＝S△ABC，黄豆落在△PBC内的概率是，故选D．‎ ‎ [方法点晴]　本题考查了几何概型中概率的计算及平面向量的运算，属于基础题，几何概型的概率估算公式的几何度量，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个几何度量只与“大小”有关，而与形状和位置无关，解决的步骤一般为：求出满足条件A的基本事件的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后公式计算概率．‎ ‎9．(2017·广东省广州市六校联考高三上学期12月调研数学试题)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于(　B　)‎ A．2 B．2 ‎ C．4 D．8‎ ‎[解析]　先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a ‎＋2i|计算即可．‎ 解：z＝＝＝.根据纯虚数的概念得出，∴a＝2．‎ ‎∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝＝2，‎ 故选B．‎ ‎[点拨]　本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．‎ ‎10．(2017·福建福州八县市一中期中联考)已知复数z＝，则下列说法正确的是(　A　)‎ A．z的共轭复数为－1－2i B．z的虚部为2i C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第三象限 ‎[解析]　z＝＝＝－1＋2i ‎∴＝－1－2i，z的虚部为2，|z|＝，z在复平面内对应的点为(－1,2)，在第二象限，故选A．‎ ‎11．(2017·陕西省延安市黄陵中学高三上学期质量(重点班)数学试题)已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则sin(α＋)的值为 (　B　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简·＝－1得到sinα＋cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin(α＋)的值．‎ 解：∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)‎ ‎∴·＝(cosα－3)·cosα＋sinα(sinα－3)＝－1‎ 得cos2α＋sin2α－3(cosα＋sinα)＝－1‎ ‎∴sinα＋cosα＝，‎ 故sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝×＝，‎ 故选B．‎ ‎12．(2017·高三怀化一模)如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为(　B　)‎ A．8＋2 B．8‎ C．6 D．6＋2 ‎[解析]　因为D为AB的中点，所以＝2，因为＝xa＋yb，所以＝2x＋y，因为F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y>0，所以＋＝(2x＋y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当y＝2x＝时取等号，所以＋的最小值为8．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝－　. ‎[解析]　因为a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－．‎ ‎14．已知向量a＝(2,1)，b＝(5,5)，则a在b上的投影为. ‎[解析]　a与b上的投影为＝＝．‎ ‎15．(2017·天津市六校高三上学期期中联考数学试题)设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为2　. ‎[解析]　先将z化成代数形式，再根据复数模的计算公式计算，或者利用复数模的运算性质计算．‎ 解：(z＋i)i＝－3＋4i，‎ ‎∴(z＋i)i2＝(－3＋4i)i，‎ 即－z－i＝－3i－4，‎ ‎∴z＝4＋2i，‎ ‎∴|z|＝＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎[点拨]　此题是个基础题．考查复数的代数运算和模的计算，有效考查了学生应用知识分析解决问题的能力和计算能力．‎ ‎16．(2016·浙江嘉兴联考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和CD上，且＝，＝，则·的值为. ‎[解析]　方法一：由平面几何知识知DC＝1，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×2×cos60°＋1××cos60°＋×2＋××cos120°＝．‎ 方法二：作CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－，0)，B(，0)，C(0，)，D(－1，)，所以E(，)，F(－，)，所以·＝(，)·(，)＝＋＝．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)若复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值. ‎[解析]　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i ‎＝(＋)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ‎＝＋(a2＋2a－15)i．‎ ‎∵1＋z2是实数，‎ ‎∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3．‎ 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3．‎ ‎18．(本小题满分12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R. ‎(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？‎ ‎(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？‎ ‎[解析]　(1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，‎ 化简得(m－1)a＝(－t)b．‎ ‎∵a与b不共线，∴⇒ ‎∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．‎ ‎(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2．‎ ‎∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|．‎ ‎19．(本小题满分12分)(2017·安徽省六安一中高三上学期月考(三)数学试题)已知平面上三点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα). ‎(1)若(＋)2＝7，(O为坐标原点)，求向量与夹角θ的大小；‎ ‎(2)⊥若，求sin2α的值．‎ ‎[答案]　(1)或π　(2) ‎[解析]　(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式建立方程求解．‎ ‎(1)因为＋＝(2＋cosα，sinα)，(＋)2＝7，所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，cosα＝，‎ ‎∴cosθ＝＝sinα＝±，‎ ‎∴θ＝或π ‎(2)＝(cosα－2，sinα)，＝(cosα，sina－2)，由⊥，∴ ·＝0，‎ 即cosα＋sinα＝，‎ ‎∴(cosα＋sinα)2＝，‎ ‎∴sin2α＝－．‎ ‎20．(本小题满分12分)(2017·浙江省杭州地区四校高三上学期期中联考数学试题)如图，已知O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c. ‎(1)若3＋4＋5＝0，求cos∠BOC的值；‎ ‎(2)若·＝·，求的值．‎ ‎[答案]　(1)－　(2)2‎ ‎[解析]　(1)将条件中的式子变形为4＋5＝－3，两边平方后利用圆的性质即可求解；‎ ‎(2)条件中的式子变形，利用平面向量数量积的定义得到A，B，C满足的一个关系式，从而求解．‎ ‎(1)设外接圆半径为R，由3＋4＋5＝0得：4＋5＝－3，两边平方得：16R2＋40·＋25R2＝9R2，即：·＝－R2，则cos∠BOC＝－；‎ ‎(2)∵·＝·，∴·(－)＝·(－)，‎ 即：－·＋·＝－·＋·，‎ 可得：－R2cos2A＋R2cos2B＝－R2cos2C＋R2cos2A，‎ ‎∴2cos2A＝cos2C＋cos2B，即：2(1－2sin2A)＝2－(2sin2B＋2sin2C)，‎ ‎∴2sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理变形得：2a2＝b2＋c2，∴＝2．‎ ‎21．(本小题满分12分)(2016·黑龙江哈尔滨模拟)已知向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角. ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长．‎ ‎[解析]　(1)∵m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，‎ ‎∴m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．对于△ABC，A＋B＝π－C,0