河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（理科）（解析版） 23页

‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（　　）‎ A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i ‎3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（　　）‎ A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙 C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙 ‎4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（　　）‎ A． B．23 C．2 D．1‎ ‎5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（　　）‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 ‎8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（　　）‎ A．3 B．4 C．2和5 D．3和4‎ ‎9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）‎ ‎11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．关于曲线C：，给出下列四个命题：‎ A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴 C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为　　 米．‎ ‎14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是　　（用数字作答）‎ ‎15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是　　．‎ ‎16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数 ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．‎ ‎18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．‎ ‎（1）求证：BD⊥PC；‎ ‎（2）求直线AB与平面PDC所成角；‎ ‎（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．‎ ‎19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；‎ ‎（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．‎ 参考公式：，其中n=a+b+c+d． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．‎ ‎　‎ 选修4一1：几何证明选讲 ‎22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（Ⅱ）求BC的长．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎　‎ 选修4一5不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|‎ ‎（1）求不等式f（x）≤3的解集；‎ ‎（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出A和B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x||x+1|≤2，x∈z}‎ ‎={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，‎ B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}={y|0≤y≤1}，‎ ‎∴A∩B={0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（　　）‎ A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出z的值．‎ ‎【解答】解：∵（3+z）i=1，∴z==﹣3﹣i，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（　　）‎ A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙 C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙 ‎【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．‎ ‎【分析】由茎叶图，分别求出和，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由茎叶图，得：‎ ‎=（15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8，‎ ‎=（18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625，‎ ‎∴＞，‎ 又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，‎ ‎∴＜，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（　　）‎ A． B．23 C．2 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a的值．‎ ‎【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，即目标函数z=ax+y（a＞0）在的交点M（4，6）处，目标函数z最大值为14，‎ 所以4a+6=14，所以a=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意得===2，再由Sm==93解得a1=3，从而求m．‎ ‎【解答】解：∵===2，‎ ‎∴Sm===93，‎ 故a1=3，‎ 故am=3•2m﹣1=48，‎ 解得，m=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ E在线段AD上，所以存在实数k使得；‎ ‎；‎ ‎∴==；‎ ‎∴；‎ ‎∴=；‎ ‎∴时，t取最小值．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（　　）‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；‎ 解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．‎ ‎【解答】解：‎ 解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 总计有49种，选B．‎ 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，‎ 从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；‎ 从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；‎ 从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；‎ 从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；‎ 总计为10+20+15+4=49种方法．选B．‎ ‎　‎ ‎8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（　　）‎ A．3 B．4 C．2和5 D．3和4‎ ‎【考点】概率的意义；集合的含义．‎ ‎【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b，组成一个有序数对，共有2×3中方法，要计算事件Cn的概率最大时n的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值．‎ ‎【解答】解：事件Cn的总事件数为6．只要求出当n=2，3，4，5时的基本事件个数即可．‎ 当n=2时，落在直线x+y=2上的点为（1，1）；‎ 当n=3时，落在直线x+y=3上的点为（1，2）、（2，1）；‎ 当n=4时，落在直线x+y=4上的点为（1，3）、（2，2）；‎ 当n=5时，落在直线x+y=5上的点为（2，3）；‎ 显然当n=3，4时，事件Cn的概率最大为，‎ 故选D ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．‎ ‎【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，‎ 所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为2的等腰直角三角形，高是3，圆柱的底面半径是1，高是3，写出表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，‎ 三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，‎ 半圆柱的底面半径是1，高是3，‎ ‎∴组合体的表面积是2×2+2×3+2×3+π+π×1×32=10+6+4π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），‎ 所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．‎ 由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．‎ 所以双曲线的右焦点为（2，0）．‎ 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，‎ 即①．‎ 设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．‎ 由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）‎ 把M点代入①得：．‎ 解得p=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．关于曲线C：，给出下列四个命题：‎ A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴 C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；‎ 曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；‎ 在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：‎ 由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．‎ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．‎ 真命题有3个，故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为　50　 米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】理解方位角、仰角的含义，画出图形，确定△ABD中的边与角，利用余弦定理，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：如图，CD为古塔的高度，设为hm，由题意，CD⊥平面ABD，AB=100米，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°‎ 在△CBD中，BD=hm，在△CAD中，AD=hm，‎ 在△ABD中，BD=hm，AD=hm，AB=100m，∠BAD=60°，‎ ‎∴3h2=10000+h2﹣2×100hcos60°‎ ‎∴（h﹣50）（h+100）=0‎ ‎∴h=50或h=﹣100（舍去）‎ 故答案为：50‎ ‎　‎ ‎14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是　120　（用数字作答）‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92，然后利用组合数公式的性质求解．‎ ‎【解答】解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92=C103=120．‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，‎ 所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，‎ 即，所以，‎ ‎∵0＜a＜1，∴e2＞5，‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为　﹣2　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．‎ 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，‎ 该正四面体的高为=r，‎ 设正四面体的外接球半径为x，则x2=（r﹣x）2+（r）2，‎ ‎∴x=r，‎ ‎∴1=r+r，‎ ‎∴r==﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数 ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） ==，‎ 由，k∈Z，‎ 得，k∈Z，‎ 所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．‎ ‎∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．‎ ‎（1）求证：BD⊥PC；‎ ‎（2）求直线AB与平面PDC所成角；‎ ‎（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；‎ ‎（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．‎ ‎（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0， •=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，‎ ‎∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，‎ BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，‎ ‎∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，‎ ‎∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC ‎（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，‎ 分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，‎ 由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，‎ A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），‎ 设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，‎ ‎∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°‎ ‎（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（﹣3，，0），‎ ‎=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），‎ ‎=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）‎ ‎=（0，，0），=（1，0，﹣a），‎ 设=（x，y，z）为面PAB的法向量，‎ 由•=0，‎ 得y=0，由•=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1， =（a，0，1），‎ 由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=‎ ‎　‎ ‎19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；‎ ‎（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．‎ 参考公式：，其中n=a+b+c+d． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；‎ ‎（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．‎ ‎（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，‎ ‎∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；‎ ‎（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；‎ ‎（3）X=1，2，3，则 P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．‎ ‎（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．‎ 解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．‎ ‎【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，‎ 得，从而 整理，得a2=3c2，故离心率 ‎（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，‎ 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2‎ 设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．‎ 由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．‎ 依题意，‎ 而①‎ ‎②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③‎ 联立①③解得，‎ 将x1，x2代入②中，解得．‎ ‎（III）解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得．‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为．‎ 直线F2B的方程为，‎ 于是点H（m，n）的坐标满足方程组，‎ 由m≠0，解得故 当时，同理可得．‎ 解法二：由（II）可知 当时，得，由已知得 由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，‎ 因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，‎ 且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．‎ 由直线F2B的方程为，‎ 知点H的坐标为．‎ 因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．‎ 则，所以．当时同理可得 ‎　‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．‎ ‎（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）．‎ 故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．‎ 所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．‎ 由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，‎ 由于，‎ 故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．‎ ‎（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，‎ 且有ln（1+）＜⇔＜﹣1⇔n＞﹣log2（﹣1）．‎ 又n≥2时，．‎ 且．‎ 取整数n0满足，，且n0≥2，‎ 则，‎ 即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）；‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（﹣∞，0]．‎ ‎　‎ 选修4一1：几何证明选讲 ‎22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（Ⅱ）求BC的长．‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，‎ 因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，‎ 又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，‎ 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，‎ 连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，‎ 所以，所以BC=2．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．‎ ‎【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．‎ ‎【解答】解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，‎ ‎∴直线l的极坐标方程，‎ 曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，‎ 其普通方程是：y=x2‎ ‎（2）将代入y=x2‎ 得，3分 ‎∵点M（﹣1，0）在直线上，‎ ‎∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2．‎ ‎　‎ 选修4一5不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|‎ ‎（1）求不等式f（x）≤3的解集；‎ ‎（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，‎ ‎（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．‎ ‎【解答】解：（1），… 所以解集[0，3]…‎ ‎（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，…‎ 得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…‎ 解得x或x …‎ ‎　‎ ‎2016年11月8日