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  • 2021-06-10 发布

【推荐】专题7-2不等式的解法-2018年高三数学(文)一轮总复习名师伴学

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‎ ‎真题回放 ‎1. 【2016高考上海文科】设,则不等式的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得:,即,故解集为 考点:绝对值不等式的基本解法.‎ ‎【名师点睛】解绝对值不等式,关键是去掉绝对值符号,进一步求解,本题也可利用两边平方的方法 ‎.本题较为容易 ‎ ‎2.【2015高考广东,文11】不等式的解集为 .(用区间表示)‎ ‎【答案】‎ ‎ 3. 【2014年.浙江卷.文16】已知实数、、满足,,则 的最大值为为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 一元二次不等式的解法 ‎ C 绝对值不等式的解法 B ‎ 高考对一元二次 不等式的考查,主要是比较大小,利用不等式的性质将不等式等价转化;一般在解答题中考查不等式的几种证明方法,或穿插在其他知识点中进行考查,单独考查此知识点较少;一般穿插在其他知识点中考查,主要考查等价转化的思想,单独考查此知识点较少。解绝对值不等式的常用方法有以下几种:公式法、平方法、零点划分区间法、几何法。对于不同类型的题目,需灵活选用不同的方法。‎ 知识链接 ‎1.“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x10(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠-}‎ ‎{x|x∈R}‎ 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x-a)·(x-b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎(x-a)·(x-b)<0‎ ‎{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.‎ 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.‎ ‎3.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:‎ 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪‎ ‎(a,+∞)‎ ‎(-∞,0)∪‎ ‎(0,+∞)‎ R ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎4.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ 融会贯通 题型一 一元二次不等式的求解 典例1.  求不等式-2x2+x+3<0的解集.‎ ‎【答案】(-∞,-1)∪(,+∞).‎ ‎【解析】 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,‎ 解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=,‎ ‎∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(,+∞),‎ 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞). ‎ 典例2 解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.‎ ‎【解析】 由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,‎ ‎∴x1=a,x2=1,‎ ‎①当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|11};‎ 当a=0时,解集为{x|x>1};‎ 当01时,解集为{x|0,则a的取值范围是(  )‎ A.(0,4) B.[0,4)‎ C.(0,+∞) D.(-∞,4)‎ ‎【答案】 (1)D (2)B ‎【解析】 (1)∵2kx2+kx-<0为一元二次不等式,‎ ‎∴k≠0,‎ 又2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,‎ 则必有解得-30,则必有或a=0,∴0≤a<4. ‎ 典例4 设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ 所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0,所以m<6,所以m<0.‎ 综上所述,m的取值范围是{m|m<}.‎ 方法二 因为x2-x+1=2+>0,‎ 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.‎ 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.‎ 所以,m的取值范围是. ‎ 典例5 对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.‎ ‎【答案】(-∞,1)∪(3,+∞)‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.‎ ‎(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.‎ ‎【变式训练】(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (-,0)‎ ‎【解析】 作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,‎ 则有 即解得-0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (2,+∞).‎ ‎【解析】 (1)当a=1时,‎ f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ 解题技巧与方法总结 解绝对值不等式的基本方法有:‎ ‎(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.‎ ‎【变式训练】(1)解不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集.‎ ‎(2)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|-q ‎【答案】B ‎【解析】当a‎≤‎b时,p≥q,‎ 当a‎≥‎b时,a‎2‎‎-‎b‎2‎‎≥a‎2‎-b‎2‎≥a‎2‎-a×‎b,则:p≥q,‎ 本题选择B选项.‎ ‎ 7. (2017福建省三明市期末质量检测). 若关于x的一元二次不等式x‎2‎‎-3ax+2a‎2‎≥0‎的解集是‎(-∞,x‎1‎]∪[x‎2‎,+∞)‎ ‎(x‎1‎≠x‎2‎)‎,则a(x‎1‎+x‎2‎)+‎‎1‎x‎1‎x‎2‎的最小值是( )‎ A. ‎3‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎2‎‎6‎‎3‎ D. ‎‎6‎ ‎【答案】D ‎ 8.(2017河南省南阳市第一中学高三实验班). 已知当时, 恒成立,则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:设,由于恒成立,所以,因此,整理得,解得.‎ 考点:不等式在给定区间上的恒成立.‎ ‎9.(2017山东省菏泽一中、单县一中期末). 已知函数,不等式的解集是,若对于任意,不等式恒成立,则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 10. (2017天津市耀华中学高三第一次模拟,9). 已知集合,集合 ,则集合__________.‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】∵|x+3|−|x−3|>3,‎ 当x<−3时,−x−3−(3−x)>3−6>3无解;‎ ‎−当3⩽x⩽3时,x+3−(3−x)>3解得:;‎ 当x>3时,x+3−x+3>3解得:x>3;‎ ‎∴集合,‎ ‎∴,‎ 对于集合B,令,‎ 即集合B={x|x⩾−2},‎ 可得 .‎ ‎ ‎