【推荐】专题7-2不等式的解法-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 17页

‎ ‎真题回放 ‎1. 【2016高考上海文科】设，则不等式的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：，即，故解集为 考点：绝对值不等式的基本解法.‎ ‎【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法 ‎.本题较为容易 ‎ ‎2.【2015高考广东，文11】不等式的解集为 ．（用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎ 3. 【2014年.浙江卷.文16】已知实数、、满足，，则 的最大值为为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 一元二次不等式的解法　‎ C 绝对值不等式的解法 B ‎ 高考对一元二次 不等式的考查，主要是比较大小，利用不等式的性质将不等式等价转化；一般在解答题中考查不等式的几种证明方法，或穿插在其他知识点中进行考查，单独考查此知识点较少；一般穿插在其他知识点中考查，主要考查等价转化的思想，单独考查此知识点较少。解绝对值不等式的常用方法有以下几种：公式法、平方法、零点划分区间法、几何法。对于不同类型的题目，需灵活选用不同的方法。‎ 知识链接 ‎1．“三个二次”的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠－}‎ ‎{x|x∈R}‎ 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x－a)·(x－b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎(x－a)·(x－b)<0‎ ‎{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.‎ 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．‎ ‎3．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪‎ ‎(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎4．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ 融会贯通 题型一　一元二次不等式的求解 典例1. 　求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(，＋∞)．‎ ‎【解析】　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，‎ 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，‎ 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)． ‎ 典例2　解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.‎ ‎【解析】　由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，‎ ‎∴x1＝a，x2＝1，‎ ‎①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|11}；‎ 当a＝0时，解集为{x|x>1}；‎ 当01时，解集为{x|0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,4) B．[0,4)‎ C．(0，＋∞) D．(－∞，4)‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B ‎【解析】　(1)∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，‎ ‎∴k≠0，‎ 又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，‎ 则必有解得－30，则必有或a＝0，∴0≤a<4. ‎ 典例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ 所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.‎ 综上所述，m的取值范围是{m|m<}．‎ 方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.‎ 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．‎ 所以，m的取值范围是. ‎ 典例5　对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．‎ ‎【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．‎ ‎(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎【变式训练】(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(－，0)‎ ‎【解析】　作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，‎ 则有 即解得－0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) (2，＋∞)．‎ ‎【解析】　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 解题技巧与方法总结 解绝对值不等式的基本方法有：‎ ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎【变式训练】(1)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．‎ ‎(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－q ‎【答案】B ‎【解析】当a‎≤‎b时，p≥q，‎ 当a‎≥‎b时，a‎2‎‎-‎b‎2‎‎≥a‎2‎-b‎2‎≥a‎2‎-a×‎b，则：p≥q，‎ 本题选择B选项.‎ ‎ 7. （2017福建省三明市期末质量检测）. 若关于x的一元二次不等式x‎2‎‎-3ax+2a‎2‎≥0‎的解集是‎(-∞,x‎1‎]∪[x‎2‎,+∞)‎ ‎(x‎1‎≠x‎2‎)‎，则a(x‎1‎+x‎2‎)+‎‎1‎x‎1‎x‎2‎的最小值是（ ）‎ A. ‎3‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎2‎‎6‎‎3‎ D. ‎‎6‎ ‎【答案】D ‎ 8.（2017河南省南阳市第一中学高三实验班）. 已知当时， 恒成立，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设，由于恒成立，所以，因此，整理得，解得.‎ 考点：不等式在给定区间上的恒成立．‎ ‎9.（2017山东省菏泽一中、单县一中期末）. 已知函数，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 10. （2017天津市耀华中学高三第一次模拟，9）. 已知集合，集合 ，则集合__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】∵|x+3|−|x−3|>3，‎ 当x<−3时,−x−3−(3−x)>3−6>3无解；‎ ‎−当3⩽x⩽3时,x+3−(3−x)>3解得：；‎ 当x>3时，x+3−x+3>3解得：x>3；‎ ‎∴集合，‎ ‎∴，‎ 对于集合B，令，‎ 即集合B={x|x⩾−2}，‎ 可得 .‎ ‎ ‎