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- 2021-06-10 发布
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专题20 不等式选讲（仿真押题）
2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1．设f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.
(1)求f(x)<0的解集；
(2)当x<－1时，f(x)>f(a)，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝其图像如图所示．
令f(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴f(x)<0的解集为{x|03，要使f(x)>f(a)，只需f(a)≤3.
当f(a)＝3时，有－3a＝3或a－2＝3，即a＝－1或a＝5，∴－1≤a≤5.
2．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．
3．已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m，且正实数a，b，c满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≤3 .
解：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝
当x≤0时，－2x＋3≤5，得－1≤x≤0；
当04，解此不等式得a<－3或a>5.
6．已知a，b为正实数．
(1)若a＋b＝2，求＋的最小值；
(2)求证：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
解：(1)＋＝(＋)(1＋a＋1＋b)
＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝，
等号成立的条件为＝，而a＋b＝2且a，b为正实数，所以a＝，b＝.
故所求最小值为.
(2)证明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时，三式等号成立，
三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1)，
所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
7、若不等式|a－1|≥＋＋对满足x＋y＋z＝1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
解：根据柯西不等式有
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)()2＋()2＋()2]＝3·3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，
∴＋＋≤3 ，当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时，等号成立．
又∵|a－1|≥＋＋恒成立，∴|a－1|≥3 ，
∴a－1≥3 或a－1≤－3 ，即a≥3 ＋1或a≤1－3 ，
∴a的取值范围是(－∞，1－3 ]∪1＋3 ，＋∞)．
8、设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.
9、已知a>0，b>0，c>0，＋＋＋3abc的最小值为m.
(1)求m的值；
(2)解关于x的不等式|x＋1|－2x0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，
∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是3，＋∞)．
12．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在0，1]上无解，求实数t的取值范围．
解 (1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
13.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.
(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.
(2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|,
所以f(x)的最大值为|a+3|.
对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a,
解得a≥3;
所以a的取值范围是3,+∞).
14.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)不等式f(x)≤4在x∈-2,3]时恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1,
当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立,
当-30,求实数x的取值范围.
(2)对∀b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,
两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,
解得x<,
即实数x的取值范围是.
(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,
因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,
所以2|a|≥1⇒|a|≥⇒a≥或a≤-,
所以a的取值范围为∪.
16.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.
(1)解不等式f(x)≥2.
(2)当x∈R,00,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).
【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,
因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.
当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,
即≤x≤1.
当12时,原不等式等价于2x-3≤2,
即20时,f(ax)-af(x)
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f(a).
18.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.
(1)求不等式f(x)≥-2的解集.
(2)对任意x∈a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.
(2)f(x)=
函数f(x)的图象如图所示:
令y=x-a,-a表示直线的纵截距,
当直线过(1,3)点时,-a=2;
所以当-a≥2,即a≤-2时成立;
当-a<2,即a>-2时,
令-x+4=x-a,得x=2+,
所以a≥2+,即a≥4时成立,
综上a≤-2或a≥4.
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