2021高考数学一轮复习课时作业7二次函数与幂函数理 5页

课时作业7　二次函数与幂函数 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·山东济南月考]若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．0‎ 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝0，即ax2＋(2a2－a－1)x＋1－[ax2－(2a2－a－1)x＋1]＝0，化简得(2a2－a－1)x＝0，又对任意的x∈R恒成立，所以2a2－a－1＝0，解得a＝1或－.故选C项．‎ 答案：C ‎2．函数y＝x的图象是(　　)‎ 解析：由幂函数y＝xα，若0<α<1，在第一象限内过(1,1)，排除A、D，又其图象上凸，则排除C，故选B.‎ 答案：B ‎3．[2020·湖北武汉模拟]函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0) B．(－∞，－3]‎ C．[－2,0] D．[－3,0]‎ 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．故选D项．‎ 答案：D ‎4．[2020·四川绵阳模拟]已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m 5‎ ‎]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为(　　)‎ A．[0,1] B．[1,2]‎ C．(1,2] D．(1,2)‎ 解析：如图，作出函数y＝x2－2x＋3的图象，由图象可知m的取值范围是[1,2]．故选B项．‎ 答案：B ‎5．[2020·湖南益阳模拟]已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为(　　)‎ A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－，2)‎ 解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4，∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或即或解得－2.综上，原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．故选A项．‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.‎ 解析：当x<0时，－x>0，‎ 所以f(－x)＝ax2－bx，‎ 而f(－x)＝－f(x)，‎ 即－x2－x＝ax2－bx，‎ 所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.‎ 答案：0‎ ‎7．[2020·江西九江共青模拟]已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝________.‎ 解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.‎ 答案：－1‎ 5‎ ‎8．[2020·河北唐山模拟]已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．‎ 解析：设f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－3，x1x2＝＋，则|x1－x2|＝＝2＝7，得a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.‎ 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40‎ 三、解答题 ‎9．已知二次函数f(x)有两个零点0与－2，且它有最小值－1.求f(x)的解析式．‎ 解析：由于f(x)有两个零点0和－2，‎ 所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，‎ 这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a.‎ 由于f(x)有最小值－1，‎ 所以必有，‎ 解得a＝1.‎ 因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.‎ ‎10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．‎ 解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，‎ ‎∴＝2，即2＝2.‎ ‎∴m2＋m＝2.‎ 解得m＝1或m＝－2.‎ 又∵m∈N*，∴m＝1.‎ ‎∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．‎ 由f(2－a)>f(a－1)，‎ 得解得1≤a<.‎ ‎∴a的取值范围为.‎ 5‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·西藏日喀则高一月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，故①正确；②∵图象的对称轴为直线x＝－＝－1，∴2a－b＝0，故②错误；③当x＝－1时，由图象可知y＝a－b＋c≠0，故③错误；④∵函数图象开口向下，∴a<0,5a<2a，又b＝2a，∴5ax2f(x2)；②x1f(x1)xf(x2)；④xf(x1)h(x2)，即>，于是xf(x1)>xf(x2)，故③正确，④错误．故选C项．‎ 答案：C ‎13．[2020·河北武邑调研]已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3.若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－) B．(－，0)‎ C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝x3.易知f(x)在R上是增函数，由f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，得得m的取值范围是(－∞，－)，故选A项．‎ 答案：A 5‎