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  • 2021-06-10 发布

专题8-6+空间向量及其运算(练)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测

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‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【练】第八章 立体几何 第06节 空间向量及其运算 ‎ A 基础巩固训练 ‎1.在空间直角坐标系中,点M的坐标是,则点M关于y轴的对称点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵在空间直角坐标系中,‎ 点M(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为:(-x,y,-z),‎ ‎∴点M(4,7,6)关于y轴的对称点的坐标为:Q(-4,7,-6).‎ ‎2.如图,在正方体,若,则的值为 ( )‎ A.3 B.1 C.-1 D.-3 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=λ的实数λ的值有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为2,‎ 则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为,‎ 又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,‎ ‎∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.‎ ‎∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.‎ ‎4. 已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.‎ ‎【答案】60°‎ ‎5. 在四面体O—ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=______________(用a,b,c表示).‎ ‎【答案】a+b+c ‎【解析】=+=++=a+b+c.‎ ‎ B能力提升训练 ‎1. 已知空间四点共面,则= ‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2016届湖南长沙市一模】在空间直角坐标系中,已知点,则线段的长度为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两点间距离公式得:.‎ ‎3.如图,四面体的每条棱长都等于,点, 分别为棱, 的中点,则__________; __________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设中点为,以点为坐标原点, , , 分别为, , 轴,建立空间直角坐标系,‎ ‎, , , , , , , , , , ,∴, ,故答案为, .‎ ‎4.如图,在直三棱柱中, , ,已知与分别是棱和的中点, 与分别是线段与上的动点(不包括端点).若,则线段的长度的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,以为原点,‎ ‎, , 分别为, , 轴 建立空间直角坐标系 ‎, , , , ,‎ ‎∵,∴,‎ ‎ ,‎ 当时, ,‎ 当时,(不包含端点故不能取),,‎ ‎∴长度取值为.‎ ‎5.如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.‎ ‎(1)求证:A、E、C1、F四点共面;‎ ‎(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.‎ ‎【答案】(1)A、E、C1、F四点共面.(2).‎ ‎ ‎ ‎(2)∵=- ‎=+-(+)‎ ‎=+-- ‎=-++.‎ ‎∴x=-1,y=1,z=. ‎ ‎∴x+y+z=.‎ C思维扩展训练 ‎ ‎1. 已知,当取最小值时,的值等于( )‎ A. B.- C.19 D.‎ ‎【答案】A ‎2.【全国卷2】直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线为轴,则设CA=CB=1,则 ‎,,A(1,0,0),,故,,所以 ‎,故选C.‎ ‎3.【江西卷】如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为,所以延长交于,过作垂直于在矩形中分析反射情况:由于,第二次反射点为在线段上,此时,第三次反射点为在线段上,此时,第四次反射点为在线段上,由图可知,选C.‎ ‎4. 已知向量, .‎ ‎(1)计算和.‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】(1) ; .(2) .‎ 试题解析:‎ ‎(1).‎ ‎.‎ ‎(2),‎ 又,‎ 故.‎ ‎5.如图,在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,平面A‎1‎BC⊥‎侧面ABB‎1‎A‎1‎,且AA‎1‎=AB=2.‎ ‎(1)求证: AB⊥BC;‎ ‎(2)若直线AC与平面A‎1‎BC所成的角为π‎6‎,请问在线段A‎1‎C上是否存在点E,使得二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析, (2) ‎‎2π‎3‎ ‎(2)由(1)AD⊥平面A‎1‎BC,则‎∠ACD直线AC与平面A‎1‎BC所成的角 所以‎∠ACD=‎π‎6‎,又AD=‎‎2‎,所以AC=2‎‎2‎ ‎ 假设在线段A‎1‎C上是否存在一点E,使得二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎ 由ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎是直三棱柱,所以以点A为原点,以AC、AA‎1‎所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,且设A‎1‎E‎=λA‎1‎C(0≤λ≤1)‎,则由A‎1‎‎(0,0,2)‎,C(2‎2‎,0,0)‎,得E(2‎2‎λ,0,2-2λ)‎ ‎ 所以AE‎=(2‎2‎λ,0,2-2λ)‎,‎AB‎=(‎2‎,‎2‎,0)‎ 设平面EAB的一个法向量n‎1‎‎=(x,y,z)‎,由AE‎⊥‎n‎1‎, AB‎⊥‎n‎1‎ 得:‎ ‎{‎‎2‎x+‎2‎y=0‎‎2‎2‎λx+(2-2λ)z=0‎‎,取n‎1‎‎=(1,-1,‎2‎λλ-1‎)‎ ‎ 由(1)知AB‎1‎⊥平面A‎1‎BC,所以平面CEB的一个法向量AB‎1‎‎=(‎2‎,‎2‎,2)‎ 所以‎|cos‎2π‎3‎|=‎|AB‎1‎•n‎1‎|‎‎|AB‎1‎||n‎1‎|‎=‎|‎2‎2‎λλ-1‎|‎‎2+‎‎(‎2‎λλ-1‎)‎‎2‎‎•2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,解得λ=‎‎1‎‎2‎ ‎∴点E为线段A‎1‎C中点时,二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎ ‎ ‎

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