专题8-6+空间向量及其运算（练）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 10页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【练】第八章 立体几何 第06节 空间向量及其运算 ‎ A 基础巩固训练 ‎1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵在空间直角坐标系中，‎ 点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（-x，y，-z），‎ ‎∴点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（-4，7，-6）．‎ ‎2.如图，在正方体，若，则的值为 （ ）‎ A．3 B．1 C．－1 D．－3 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，‎ 则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，‎ 又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，‎ ‎∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.‎ ‎∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.‎ ‎4. 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.‎ ‎【答案】60°‎ ‎5. 在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．‎ ‎【答案】a＋b＋c ‎【解析】＝＋＝＋＋=a＋b＋c.‎ ‎ B能力提升训练 ‎1. 已知空间四点共面，则= ‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2016届湖南长沙市一模】在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两点间距离公式得：．‎ ‎3．如图，四面体的每条棱长都等于，点， 分别为棱， 的中点，则__________； __________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设中点为，以点为坐标原点， ， ， 分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，∴， ，故答案为， .‎ ‎4．如图，在直三棱柱中， ， ，已知与分别是棱和的中点， 与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，以为原点，‎ ‎， ， 分别为， ， 轴 建立空间直角坐标系 ‎， ， ， ， ，‎ ‎∵，∴，‎ ‎ ，‎ 当时， ，‎ 当时，（不包含端点故不能取），，‎ ‎∴长度取值为．‎ ‎5.如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.‎ ‎(1)求证：A、E、C1、F四点共面；‎ ‎(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．‎ ‎【答案】（1）A、E、C1、F四点共面．（2）.‎ ‎ ‎ ‎(2)∵＝－ ‎＝＋－(＋)‎ ‎＝＋－－ ‎＝－＋＋.‎ ‎∴x＝－1，y＝1，z＝. ‎ ‎∴x＋y＋z＝.‎ C思维扩展训练 ‎ ‎1. 已知，当取最小值时，的值等于（ ）‎ A． B．－ C．19 D．‎ ‎【答案】A ‎2.【全国卷2】直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ‎，，A（1，0，0），，故，，所以 ‎，故选C.‎ ‎3.【江西卷】如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.‎ ‎4. 已知向量， .‎ ‎（1）计算和.‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】(1) ； .(2) .‎ 试题解析：‎ ‎（1）.‎ ‎.‎ ‎（2），‎ 又，‎ 故.‎ ‎5.如图，在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，平面A‎1‎BC⊥‎侧面ABB‎1‎A‎1‎，且AA‎1‎=AB=2.‎ ‎（1）求证： AB⊥BC;‎ ‎（2）若直线AC与平面A‎1‎BC所成的角为π‎6‎，请问在线段A‎1‎C上是否存在点E，使得二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析， (2) ‎‎2π‎3‎ ‎（2）由（1）AD⊥平面A‎1‎BC，则‎∠ACD直线AC与平面A‎1‎BC所成的角 所以‎∠ACD=‎π‎6‎，又AD=‎‎2‎，所以AC=2‎‎2‎ ‎ 假设在线段A‎1‎C上是否存在一点E，使得二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎ 由ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、AA‎1‎所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，且设A‎1‎E‎=λA‎1‎C(0≤λ≤1)‎，则由A‎1‎‎(0,0,2)‎，C(2‎2‎,0,0)‎，得E(2‎2‎λ,0,2-2λ)‎ ‎ 所以AE‎=(2‎2‎λ,0,2-2λ)‎，‎AB‎=(‎2‎,‎2‎,0)‎ 设平面EAB的一个法向量n‎1‎‎=(x,y,z)‎，由AE‎⊥‎n‎1‎， AB‎⊥‎n‎1‎ 得：‎ ‎{‎‎2‎x+‎2‎y=0‎‎2‎2‎λx+(2-2λ)z=0‎‎，取n‎1‎‎=(1,-1,‎2‎λλ-1‎)‎ ‎ 由（1）知AB‎1‎⊥平面A‎1‎BC，所以平面CEB的一个法向量AB‎1‎‎=(‎2‎,‎2‎,2)‎ 所以‎|cos‎2π‎3‎|=‎|AB‎1‎•n‎1‎|‎‎|AB‎1‎||n‎1‎|‎=‎|‎2‎2‎λλ-1‎|‎‎2+‎‎(‎2‎λλ-1‎)‎‎2‎‎•2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，解得λ=‎‎1‎‎2‎ ‎∴点E为线段A‎1‎C中点时，二面角A-BE-C的大小为‎2π‎3‎ ‎ ‎