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  • 2021-06-10 发布

江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试数学试题(解析版)

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江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 ‎ ‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.两条直线,之间的距离为 ‎ A. B. C. D.13‎ ‎2.采用简单随机抽样的方法,从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本,某个个体被抽到的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若直线过两点(﹣1,1),(2,),则此直线的倾斜角是 A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎4.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2的值为 ‎ A. B. C. D.16‎ ‎5.设直线过定点P,则点P的坐标为 A.(3,0) B.(0,2) C.(0,3) D.(2,0)‎ ‎6.两圆C1:与C2:的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.已知正四面体ABCD,则AB与平面BCD所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知圆C的圆心在直线上,且过两点A(2,0),B(0,﹣4),则圆C的方程是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ 17‎ ‎9.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若b=10,A=45°,则使此三角形有两解的a的值可以是 A.5 B. C.8 D.‎ ‎10.下列说法正确的是 A.某种彩票中奖的概率是,则买10000张彩票一定会中1次奖 B.若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5,则乙同学成绩比较稳定 C.线性回归直线一定经过点(,)‎ D.从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球,则“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件 ‎11.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱CC1上 的一个动点,给出以下结论,其中正确的有 A.AD与BD1所成的角为45°‎ B.AD1∥平面BCC1‎ C.平面ACD1⊥平面B1D1D D.对于任意的点E,四棱锥B1—BED1的体积均不变 ‎12.已知△ABC中,AB=1,AC=4,BC=,D在BC上,AD为∠BAC的角平分线, E为AC中点下列结论正确的是 A.BE=‎ В.△ABC 的面积为 C.AD=‎ D.P在△ABE的外接圆上,则PB+2PE的最大值为 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.其中第16题共有2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为一空, 每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上)‎ ‎13.用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本,其中高一年级抽取15人,高三年级抽取20人,已知高二年级共有学生500人,则3个年级学生总数为 人.‎ ‎14.从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同数,其和能被3整除的概率是 .‎ ‎15.已知正三棱锥A—BCD的四个顶点在同一个球面上,AB=AC=AD=4,CD=6,则该三棱锥的外接球的表面积为 ;该三棱锥的顶点B到面ACD的距离为 .‎ 17‎ ‎(第1空3分,第2空2分)‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:,线段AB是圆C2:的一条动弦,且AB=,线段AB的中点为Q,则直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是 .‎ 四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC,点D,E分别是BC,B1C1的中点,AA1=2,BC=.‎ ‎(1)求证:A1E∥平面ADC1;‎ ‎(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,﹣1),AB所在直线的方程为x﹣y﹣2=0,AB⊥AC.‎ ‎(1)求对角线AC所在直线的方程;‎ ‎(2)求BC所在直线的方程.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数y与当天气温x的对照表:‎ 温度x/℃‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 冰冻奶茶杯数y/十杯 ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)画出散点图;‎ ‎(2)求出变量x,y之间的线性回归方程,若该奶茶店制定某天的销售目标为110杯,当该天的气温是38℃时,该奶茶店能否完成销售目标?‎ 17‎ 注:线性回归方程的系数计算公式:, .‎ ‎(参考数据:,).‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图,在△ABC中,AC=,D为AB边上一点,CD=AD=2,且cos∠BCD=.‎ ‎(1)求sin∠B;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求分数在[80,90)内的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)从频率分布直方图中,利用组中值估计本次考试成绩的平均数;‎ ‎(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于90分时为优秀等级,若从第5组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆C: ,点P(﹣3,4),M,N为圆O上的不同于点P的两点.‎ ‎(1)已知M坐标为(5,0),若直线PM截圆C所得的弦长为,求圆C的方程;‎ 17‎ ‎(2)若直线MN过(0,4),求△CMN面积的最大值;‎ ‎(3)若直线PM,PN与圆C都相切,求证:当r变化时,直线MN的斜率为定值.‎ 江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 ‎2020.7‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.两条直线,之间的距离为 ‎ A. B. C. D.13‎ 答案:B 考点:两平行直线间的距离 解析:,故选B.‎ ‎2.采用简单随机抽样的方法,从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本,某个个体被抽到的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 考点:古典概型 解析:,故选D.‎ ‎3.若直线过两点(﹣1,1),(2,),则此直线的倾斜角是 A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案:A 考点:直线的倾斜角与斜率 解析:,则,故选A.‎ 17‎ ‎4.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2的值为 ‎ A. B. C. D.16‎ 答案:C 考点:平均数与方差 解析:,‎ ‎ ,故选C.‎ ‎5.设直线过定点P,则点P的坐标为 A.(3,0) B.(0,2) C.(0,3) D.(2,0)‎ 答案:B 考点:直线方程过定点问题 解析:,‎ ‎ ,故该直线过点(0,2),故选B.‎ ‎6.两圆C1:与C2:的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:B 考点:两圆的位置关系 解析:求得两圆圆心距,∵,‎ ‎ ∴两圆相交,两圆有两条公切线,故选B.‎ ‎7.已知正四面体ABCD,则AB与平面BCD所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 考点:线面角的计算 解析:设正四面体的边长为2a,取CD的中点E,连AE、BE,作AF⊥BE于点F,EG⊥AB于点G,‎ ‎ 则∠ABE就是直线AB与平面BCD所成的角,‎ ‎ cos∠ABE=,故选D.‎ 17‎ ‎8.已知圆C的圆心在直线上,且过两点A(2,0),B(0,﹣4),则圆C的方程是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 答案:C 考点:圆的方程 解析:首先求得AB的垂直平分线方程为:,‎ ‎ ,故C(3,﹣3),‎ ‎ ,故圆C的方程为,故选C.‎ 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎9.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若b=10,A=45°,则使此三角形有两解的a的值可以是 A.5 B. C.8 D.‎ 答案:BC 考点:解三角形 解析:当bsinA<a<b时,即<a<10,三角形有两解,故选BC.‎ ‎10.下列说法正确的是 A.某种彩票中奖的概率是,则买10000张彩票一定会中1次奖 B.若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5,则乙同学成绩比较稳定 C.线性回归直线一定经过点(,)‎ D.从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球,则“取出1只红球和3只白球”‎ 17‎ 与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件 答案:CD 考点:统计与概率 解析:选项A,中奖的概率是,则买10000张彩票不一定会中1次奖,故A错误;‎ ‎ 选项B,甲同学成绩比乙同学稳定,故B错误;‎ ‎ 选项C,线性回归方程必定经过样本中心,故C正确;‎ ‎ 选项D,“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是不可能同时发生的事情,故是互斥事件,故D正确.‎ ‎ 综上所述,故选CD.‎ ‎11.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱CC1上 的一个动点,给出以下结论,其中正确的有 A.AD与BD1所成的角为45°‎ B.AD1∥平面BCC1‎ C.平面ACD1⊥平面B1D1D D.对于任意的点E,四棱锥B1—BED1的体积均不变 答案:BCD 考点:立体几何 解析:选项A,因为∠D1BC≠45°,所以AD与BD1所成的角不是45°,故A错误;‎ ‎ 选项B,因为AD1∥BC1,BC1平面BCC1,所以AD1∥平面BCC1,故B正确;‎ ‎ 选项C,因为AC⊥平面B1D1D,所以平面ACD1⊥平面B1D1D,故C正确;‎ ‎ 选项D,,故D正确.‎ ‎ 综上所述,故选BCD.‎ ‎12.已知△ABC中,AB=1,AC=4,BC=,D在BC上,AD为∠BAC的角平分线, E为AC中点下列结论正确的是 A.BE=‎ В.△ABC 的面积为 C.AD=‎ D.P在△ABE的外接圆上,则PB+2PE的最大值为 答案:ACD 考点:解三角形 解析:,故A正确;‎ 17‎ ‎,从而,‎ ‎,故B错误;‎ ‎,,故C正确;‎ 设∠PBE=,由正弦定理可得PB=2sin(120°﹣),PE=2sin,‎ PB+2PE=,故D正确.‎ ‎ 综上所述,故选ACD.‎ 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.其中第16题共有2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为一空, 每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上)‎ ‎13.用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本,其中高一年级抽取15人,高三年级抽取20人,已知高二年级共有学生500人,则3个年级学生总数为 人.‎ 答案:1200‎ 考点:分层抽样 解析:.‎ ‎14.从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同数,其和能被3整除的概率是 .‎ 答案:‎ 考点:古典概型 解析:从6个数中取两个数共有15种情况,其中和是3的倍数的情况共有5种,‎ ‎ 故.‎ ‎15.已知正三棱锥A—BCD的四个顶点在同一个球面上,AB=AC=AD=4,CD=6,则该三棱锥的外接球的表面积为 ;该三棱锥的顶点B到面ACD的距离为 .‎ ‎(第1空3分,第2空2分)‎ 答案:;‎ 考点:求的表面积;空间距离的计算 解析:设OA=OB=R,求得BG=,AG=2,‎ 17‎ ‎ 根据OB2=OG2+BG2,得,解得R=4(球心O在三棱锥外),‎ ‎ ;‎ 求得,设点B到面ACD的距离为h,‎ ‎,解得h=.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:,线段AB是圆C2:的一条动弦,且AB=,线段AB的中点为Q,则直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是 .‎ 答案:[,4]‎ 考点:直线与圆的位置关系 解析:首先判断点Q的轨迹是以C2 (﹣4,﹣2)为圆心,为半径的圆上,‎ ‎ 且C1,C2,O三点共线,当点Q在直线且C1C2上时,直线OQ被圆C1截得的弦长最大,为4;‎ ‎ 当Q为切点时,直线OQ被圆C1截得的弦长最小,‎ ‎ 根据相似求得点C1到直线OQ的距离为,故弦长=,‎ ‎ 所以直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是[,4].‎ 四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC,点D,E分别是BC,B1C1的中点,AA1=2,BC=.‎ ‎(1)求证:A1E∥平面ADC1;‎ ‎(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.‎ 17‎ 解:(1)证明:在直三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,BCC1B1是平行四边形 因为D,E分别是BC,B1C1 中点 所以DE∥BB1且DE=BB1,‎ 又AA1∥ BB1且AA1=BB1,‎ 所以AA1∥DE且AA1=DE,‎ 所以四边形AA1ED是平行四边形 所以A1E∥AD ‎ 又AD平面ADC1,A1E平面ADC1,‎ 所以A1E∥平面ADC1;‎ ‎(2)因为AB=AC,D为BC中点 所以AD⊥DC 因为三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱 所以CC1⊥平面ABC,又AD平面ABC,‎ 所以CC1⊥AD,‎ 因为AD⊥BC,CC1⊥AD,BCCC1=C,‎ 所以AD⊥平面BCC1B1,又因为DC1平面BCC1B1‎ 所以AD⊥DC1‎ 所以二面角C1-AD-C的平面角为∠C1DC 因为AA1=2,BC=,‎ DC=,CC1=AA1=2,‎ 因为CC1⊥平面ABC,CD平面ABC,‎ CC1⊥CD,所以C1D=,‎ 所以cos∠C1DC=,‎ 即二面角C1-AD-C的余弦值为.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,﹣1),AB所在直线的方程为x﹣y﹣2=0,AB⊥AC.‎ ‎(1)求对角线AC所在直线的方程;‎ ‎(2)求BC所在直线的方程.‎ 17‎ 解:(1)因为B(5,3),D(3,﹣1)‎ 所以BD中点坐标为(4,1)‎ 因为AC⊥AB,AB斜率为1,所以AC斜率为﹣1‎ 有四边形ABCD是平行四边形,所以AC过点(4,1)‎ 所以AC方程为y﹣1=﹣(x﹣4),即y=﹣x+5‎ ‎(2)由得A(,)‎ 所以AD斜率为 又因为BC//AD,所以BC斜率为5‎ 所以BC方程为y﹣3=5(x﹣5),即y=5x﹣22.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数y与当天气温x的对照表:‎ 温度x/℃‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 冰冻奶茶杯数y/十杯 ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)画出散点图;‎ ‎(2)求出变量x,y之间的线性回归方程,若该奶茶店制定某天的销售目标为110杯,当该天的气温是38℃时,该奶茶店能否完成销售目标?‎ 注:线性回归方程的系数计算公式:, .‎ ‎(参考数据:,).‎ 解:(1)散点图如图所示:‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ 17‎ ‎ ,‎ ‎ ,,‎ ‎ 所以 ‎ ,‎ ‎ 故所求线性回归方程为 ‎ 当x=38时,,‎ ‎ 答:当该天的气温是38℃时,该奶茶店不能完成销售目标.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图,在△ABC中,AC=,D为AB边上一点,CD=AD=2,且cos∠BCD=.‎ ‎(1)求sin∠B;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 解:(1)在△ADC中,由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因为,∠BCD是三角形BCD的内角,‎ ‎ 所以 17‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ (2)在△BCD中,由正弦定理得,‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎21.(本题满分12分)‎ 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求分数在[80,90)内的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)从频率分布直方图中,利用组中值估计本次考试成绩的平均数;‎ ‎(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于90分时为优秀等级,若从第5组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率.‎ 解:(1)由图可得分数在[80,90)内的频率为 ‎1﹣10(0.006+0.010+0.020+0.026+0.030)=0.080.08+10=0.008‎ 所以频率分布直方图如下:‎ 17‎ ‎(2)本次考试成绩的平均数约为 ‎45×0.010×10+55×0.026×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.08+95×0.006×10=66.8‎ ‎(3)第5组人数为50×0.08=4,第6组人数为50×0.06=3‎ 被抽取的成绩在[80,90)内的4人,分别记为a,b,c,d,成绩在[90,100]内的3人,分别记为A,B,C 则从这7人中随机抽取2人的情况为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(a,C),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(b,C),(c,d),(c,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C),共21种;‎ 被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为:(a,A), (a,B), (a,C), (b,A),(b,B),(b,C),(C,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C)共 15 种 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为:.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆C: ,点P(﹣3,4),M,N为圆O上的不同于点P的两点.‎ ‎(1)已知M坐标为(5,0),若直线PM截圆C所得的弦长为,求圆C的方程;‎ ‎(2)若直线MN过(0,4),求△CMN面积的最大值;‎ ‎(3)若直线PM,PN与圆C都相切,求证:当r变化时,直线MN的斜率为定值.‎ 解:(1)因为P(﹣3,4),M(5,0),所以 所以直线PM的方程为:x+2y﹣10=0,‎ 17‎ 所以点C到直线PM的距离为 因为直线PM截圆C所得的弦长为 所以 所以圆C的方程为C:x2+(y﹣1)2=4;‎ ‎(2)由题知直线的斜率MN存在,故可设直线MN的方程为y=kx+4即kx﹣y+4=0‎ 所以点C到直线MN的距离 在圆O中由垂径定理得MN=,‎ 所以 令,则,‎ 当,即时△CMN面积的最大值为;‎ ‎ (3)因为0<r<3,所以过点P的圆C的切线斜率存在,设为y﹣4=k(x+3)‎ 即kx﹣y+4+3k=0与圆O:x2+(y﹣1)2=r2 相切得 化简得 (1)‎ 设直线PM,PN的斜率分别为,则是方程(1) 的两个根 所以 将y﹣4=k(x+3)与圆O:x2+y2=25 联立解得 同理 ‎ 所以 17‎ 所以当r变化时,直线MN的斜率为定值.‎ 17‎

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