广东省云浮市新兴县第一中学2020届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试卷 11页

数学试题 理 ‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机 抽取一个数，则它小于8的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10‎ ‎3．设实数满足，则的最大值和最小值分别为 A．1， B．， C．1， D．，‎ ‎4．设是公比不为－1的等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，‎ 则下列等式中恒成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若，则 A． B． C． D．‎ ‎7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 A．2 B．2 C． D．‎ ‎8．已知函数f (x)＝，若，则log6‎ A． B．2 C．1 D．6 ‎ ‎9．命题：数列既是等差数列又是等比数列，命题：数列是常数列，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎10．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎11．已知函数=，若，则的取值范围是 A． B． C．[－2,1] D．[－2,0]‎ ‎12．三棱锥中，平面，，的面积为，则三棱锥 的外接球体积的最小值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为_________________．‎ ‎14．已知为等差数列，为其前项和．若，，则= .‎ ‎15．函数在处取得最大值，则 ．‎ ‎16．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则 .‎ 三、解答题：第题为必做题，每题满分各为分，第题为选做题，只能选做一题，满分分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 设的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求边长的值；‎ ‎（2）若的面积，求的周长．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，直三棱柱中，分别是的中点，‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：//平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数().‎ ‎ （1）当a >0时，求f (x)的单调区间；‎ ‎ （2）讨论函数f (x)的零点个数.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的焦距为4，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 心理学研究表明，人极易受情绪的影响．某选手参加7局4胜制的乒乓球比赛．‎ ‎（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为. 求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sinA、sinB、sinC，记A、B、C为锐角的内角，求证：‎ 选做题：请考生在下面两题中任选一题作答．‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知动点，都在曲线： 上，且对应参数值分别为与（），点为的中点．‎ ‎（1）求点的轨迹的参数方程（用作参数）；‎ ‎（2）将点到坐标原点的距离表示为的函数，并判断点的轨迹是否过坐标 原点.‎ ‎23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 ‎ 设函数=．‎ （1） 证明：2； （2）若，求实数的取值范围．‎ 理科数学答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D B D A C A C D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．； 14．14； 15．； 16．．‎ ‎1． ∴，又∵，∴，故选D．‎ ‎2．设 ，则，所以，‎ ‎3．∵，∴，解得. 于是，‎ ‎4．显然只能是非零常数列才是等比数列，故必要性不成立．故选A． ‎ ‎5．∵的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，∴，故，又函数图象间断的横坐标为正，∴，故．‎ ‎6．由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以．‎ ‎7．因为，所以，‎ 所以平行四边形ABCD是矩形，所以面积为. ‎ ‎8．如图先画出不等式表示的平面区域，易知当，时，取得最大值2，当时，取得最小值－2．‎ ‎9．取等比数列，令，得，，，代入验算，只有D满足。‎ ‎10．双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，‎ 又∵，∴，将（－2，－1）代入得，‎ ‎∴，即．‎ ‎11．∵||=，∴由||≥得，‎ 且，由可得，则≥-2，排除A，B，‎ 当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．‎ ‎12．如图所示，设，由的面积为，得，‎ 因为，外接圆的半径，‎ 因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为，‎ 则，当且仅当时等号成立，‎ 所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选C.‎ ‎13．∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：。‎ ‎14．设公差为d,则,把代入得，∴=，故 ‎15. ，其中 依题意可得，即，‎ 所以 ‎16．设，则，‎ ‎，‎ ‎∵为常数，∴，解得或（舍去），∴．‎ 解得或（舍去）． ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．(本小题满分12分)‎ 解：（1）在中，由，‎ 得，且 …………1分 即，即 …………3分 代入，得 解得， …………5分 ‎ 所以 …………6分 （2） 由（1）及得 …………8分 ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎ 所以 …………10分 ‎ 所以的周长 …………12分 ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎ 证明：（1）连结，交于点O，连结，则为的中点， …………1分 因为为的中点，所以， …………2分 又因为平面，平面，所以 //平面；………4分 ‎（2）由，可得：，即 所以， …………5分 又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线、、‎ 为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图， …………6分 则、、、，‎ ‎，，， …………8分 设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为， …………9分 同理可得平面的一个法向量为， …………10分 则 …………11分 所以二面角的余弦值为． …………12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎ 解：（1），， ………………1分 ‎ 故， ………………2分 ‎ ‎ 时，，故单调递减， ………………3分 ‎ 时，，故单调递增， ………………4分 ‎ ‎ 所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是.… 5分 ‎ ‎ ‎ （2）由（1）知，‎ 当时，在处取最小值， ……6分 ‎ 当时，，在其定义域内无零点； ……7分 当时，，在其定义域内恰有一个零点； ……8分 当时，最小值，因为，且在 单调递减，故函数在上有一个零点，‎ 因为，，，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点；‎ ‎……………9分 ‎ 当时，在定义域内无零点； ………………10分 ‎ ‎ 当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点. ………………11分 ‎ 综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点； ………………12分 ‎ 20．(本小题满分12分)‎ 解：（1）因为焦距为4，所，又因为椭圆C过点，‎ 所以，故，，从而椭圆C的方程为 ……4分 ‎（2）由题意，E点坐标为，设，则， ‎ ‎，再由知，，即． ……5分 由于，故．因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点．‎ 故直线的斜率． …………6分 又因在椭圆C上，所以． ①‎ 从而，故直线的方程为 ② …………8分 将②代入椭圆C方程，得：‎ ‎ ③ …………10分 再将①代入③，化简得：‎ 解得，即直线与椭圆一定有唯一的公共点． ……………12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 解：（1）依题意，可知可取：， …………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………5分 ‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎ ………………7分 ‎。 ………………8分 ‎（2）方法一：是锐角三角形，，，，‎ 则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为： ‎ ‎ ………………11分 由概率的定义可知：，故有：‎ ‎。‎ ‎ ………………12分 方法二：‎ ‎ ………………10分 是锐角三角形，，，，故 ‎，，，，‎ ‎ ………………12分 ‎22．(本小题满分10分)‎ 解：（1）由题意有 …………2分 因此， …………4分 的轨迹的参数方程为（） …………5分 ‎（2）点到坐标原点的距离：‎ ‎ …………6分 ‎ …………7分 ‎（） …………9分 当时，，故的轨迹过坐标原点． …………10分 ‎23．(本小题满分10分)‎ 解（1）由，有．………4分 ‎ 所以≥2. ………5分 ‎（2）. ‎ 当时＞3时，=，由＜5得3＜＜． …………7分 当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3． …………9分 ‎ 综上，的取值范围是（，）． …………10分