数学文卷·2017届广西陆川县中学高三5月模拟考试（2017 9页

广西陆川县中学2017年春季期高三5月模拟考试卷 文科数学试题 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（　　）‎ A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．如果复数，则（　　）‎ A．|z|=2 B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i ‎3．设命题；命题q：关于的函数是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不不要条件 ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则=（　　） ‎ ‎ A．29 B．30 C．33 D．36‎ ‎6．在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知非零向量满足，且，则的夹角 ( ) ‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数 的图像，可将函数的图像（ ）‎ 向左平移个单位长度 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 向右平移个单位长度 ‎9.若双曲线 的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知数列、满足，其中是等差数列，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.若实数满足，且 ，则下列四个数中最大的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设为椭圆的焦点，过在的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为______. ‎ ‎ 14.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围______. ‎ ‎15.若函数,,则不等式的解集是______. ‎ ‎16.在中，的对边分别为,且满足：，‎ ‎,则面积的最大值为______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若，，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行边形，，，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎19.(本小题满分分)为了解某市的交通状况，现对其中的条道路进行评估，得分分别为.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：‎ 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 ‎ ‎ ‎(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；‎ ‎(2)用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.‎ ‎20.(本小题满分分)设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点，已知,直线的倾斜角满足。‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设是直线上的任一点，过作的两条切线，切点分别为,试证明直线过定点并求该定点的坐标。‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，(是自然对数的底数）.‎ ‎(1)若对于任意，恒成立，试确定负实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号。）‎ ‎22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系下，已知曲线的极坐标方程为和点 ‎ ‎（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为曲线上一动点，矩形以为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标。‎ ‎23.不等式选讲(本小题满分分)设函数的最大值为.‎ ‎(1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集.‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案（文科）‎ 一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C B B B A D C B A B A 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分.）‎ ‎. . . . ‎ 三、解答题（共5小题，计60分）‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若，，求的值.‎ 解：(1)=‎ ‎ 函数数的最小正周期为 又 ‎ 函数在区间上的最大值为，最小值为 ‎(2) ‎ 又 ，‎ ‎. ‎ ‎18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行边形，，‎ ‎，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ 解：(1)∵平面平面，且平面平面 ‎ 平面 平面 ‎ 平面， ‎ ‎ ‎ ‎ 且平面． ‎ ‎(2)设的中点为，连接， ‎ ‎∵平面平面，且平面平面，‎ 平面 ‎ ‎(法二：由(1)可知平面，平面 ，又 ‎ 平面．，平面，所以点到平面的距离就等于点到平面的距离,即点到平面的距离为的长, ‎ ‎ ‎ ‎ 即三棱锥的体积为． ‎ ‎19.(本小题满分分)为了解某市的交通状况，现对其中的条道路进行评估，得分分别为：.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：‎ 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 ‎ ‎ ‎(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；‎ ‎(2)用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.‎ 解（1）6条道路的平均得分为.‎ ‎ ∴该市的总体交通状况等级为合格. ‎ ‎（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. ‎ 从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件． ‎ 事件包括，，，，，，共个基本事件，∴． ‎ 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为. ‎ ‎20.设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点，已知,直线的倾斜角满足。‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设是直线上的任一点，过作的两条切线，切点分别为，试证明直线过定点，并求该定点的坐标。‎ 解：（1）抛物线的方程为：（利用焦点弦长公式或韦达定理均可）。‎ ‎（2）设是直线上任意一点，过作抛物线的切线分别为，切点分别为，则的方程为： ① ‎ 的方程为： ② ‎ 因为都过点，所以有， ③ ‎ ‎ ④‎ ‎③和④表示两点均在直线，‎ 即直线的方程为：，又，所以：，‎ 所以直线的方程可化为：，即直线恒过点。‎ ‎(注：有关求切线方程问题若学生用其他方法且正确也予以给分，如导数的方法等，这也正是本题考查的意图之一)‎ 21. ‎（本小题满分12分）已知函数，(是自然对数的底数）.‎ ‎(1)若对于任意，恒成立，试确定负实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1），当时令，得， ‎ 当时，，当时，，‎ 故在上是单调递减，在上是单调递增, ‎ 所以又，，‎ 综上：的取值范围是. ‎ ‎（2）当时，由（2）知，‎ 设， ‎ 则，‎ 假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，‎ 令得：，因为， 所以.‎ 令，则 ，‎ 当是，当时，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎,故方程 有唯一解为1，‎ 所以存在符合条件的，且仅有一个. ‎ 四、选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号。）‎ ‎22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）.在极坐标系下，曲线的极坐标方程为，点 ‎（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，，且长度单位相同，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为曲线上一动点，矩形以为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的坐标。‎ 解：(1)由 代入到曲线的极坐标方程中有：，即为曲线的普通方程。‎ ‎（2）设，则，则 所以，当时 所以矩形周长的最小值为4，此时点的坐标为。‎ ‎23.选修4—5：不等式选讲(本小题满分分)‎ 设函数的最大值为.‎ ‎(1)求实数的值； ‎ ‎(2)求关于的不等式的解集.‎ 解:（1）‎ 当且仅当 时等号成立。‎ 故函数的最大值 ‎ ‎（2）由绝对值不等式可得：，‎ 所以不等式的解即为方程的解。‎ 的解集为 。（或写成亦可）‎