数学文·重庆市沙坪坝区南开中学2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析 17页

‎2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．∅ B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．10‎ ‎4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　　）‎ A．充要条件 B．充分部必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎6．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎7．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（　　）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣，﹣2） D．（，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=　　．‎ ‎14．若，则a，b，c三者的大小关系为　　．（用＜表示）．‎ ‎15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于　　．‎ ‎16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π ‎（1）求出ω的值；‎ ‎（2）求f（x）得单调区间．‎ ‎18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4‎ ‎（1）求证：DE⊥面PAC ‎（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．‎ ‎20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C： =1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．‎ ‎（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+‎ ‎（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）讨论f（x）的零点个数．‎ ‎　‎ 从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）求|MN|．‎ ‎23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，‎ tanα==﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．∅ B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【考点】补集及其运算；交集及其运算．‎ ‎【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简 ‎【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，‎ 故CUA={y|y≤1}‎ ‎∴（CUA）∩B={x|0＜x＜1}‎ 故选D ‎　‎ ‎3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．10‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．‎ ‎【分析】由题意可得 =0，由此解得 x的值，可得+ 的坐标，从而根据向量的模的计算公式求得|+|的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得 =（x，1）•（1，﹣2）=x﹣2=0，解得 x=2．‎ 再由+=（x+1，﹣1）=（3，﹣1），可得|+|=，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　　）‎ A．充要条件 B．充分部必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】考查四个选项知，可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可 ‎【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A 若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，‎ 若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）=sinA＞sinB 综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件 ‎2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，‎ 综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件 综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，‎ 故选A ‎　‎ ‎5．已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】先在sin2α﹣sinαcosα加上分母1，即，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：因为sin2α﹣sinαcosα====．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知△ABC面积为3，A=，AB=2，则BC=（　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形的面积公式可求AC的值，进而利用余弦定理即可解得BC的值．‎ ‎【解答】解：∵A=，AB=2，△ABC面积为3=AB•AC•sinA=，‎ ‎∴解得：AC=6，‎ ‎∴BC===2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如果将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，那么m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后所得函数为y=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，可得2m﹣=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．‎ ‎【解答】解：将函数y=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，‎ 所得图象对应的函数为y=cos[2（x+m）﹣]=cos（2x+2m﹣），再根据所得图象对应函数为偶函数，‎ 可得2m﹣=kπ，k∈z，即m=+，故m的最小值为，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（　　）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可确定振幅A及周期T，继而可求得ω=2，利用曲线经过（，2），可求得φ，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值．‎ ‎【解答】解：由图知，A=2， T=﹣=，‎ ‎∴T==π，解得ω=2，‎ 又×2+φ=2kπ+（k∈Z），‎ ‎∴φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+），‎ ‎∴f（）=2sin=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图确定该几何体的构成，利用相应的体积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，该几何体的上部分为四棱锥，下部分为半个圆柱．‎ 则圆柱的高为2，底面圆的半径为1，∴半圆柱的体积为，‎ ‎∵正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，‎ ‎∴四棱锥底面正方体的边长为2，四棱锥的高为，‎ ‎∴四棱锥的体积为，‎ ‎∴该几何体的体积为，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）=3|x|﹣，则使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（2x﹣1），化为|x|＞|2x﹣1|，即3x2﹣4x+1＜0，从而可得使f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，函数是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f（x）＞f（2x﹣1），‎ ‎∴|x|＞|2x﹣1|，‎ ‎∴3x2﹣4x+1＜0，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin+cos ‎=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x ‎=sin2014x+cos2014x ‎=2sin，‎ ‎∴A=f（x）max=2，周期T==，‎ 又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，‎ ‎∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，‎ ‎|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，‎ ‎∴A|x1﹣x2|的最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣，﹣2） D．（，+∞）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】函数f（x）=|xex|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=|xex|=，‎ 当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；‎ 当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），‎ 由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，‎ 所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，‎ 要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，‎ 令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，‎ 再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，‎ 则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，‎ 解得：t＜﹣．‎ 所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．若sin（α﹣）=，则cos（α+）=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为﹣sin（α﹣），利用条件求得结果．‎ ‎【解答】解：∵sin（α﹣）=，‎ ‎∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin[﹣（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，‎ 故答案是：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．若，则a，b，c三者的大小关系为　c＜a＜b　．（用＜表示）．‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】根据对数函数和指数函数比较a，b，c与0，1的关系，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴0＜a＜b＜1，c＜0，‎ ‎∴c＜a＜b，‎ 故答案为：c＜a＜b．‎ ‎　‎ ‎15．已知体积为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=，则此球的表面积等于　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意可知： AA1=3，∴AA1=4‎ 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；‎ 所以外接球的半径为： =．‎ 所以外接球的表面积为：4π（）2=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．在f（x）=sinωx+acosωx的图象与直线y=的交点中，三个相邻交点的横坐标分别为π，3π，7π，则f（x）的单调递减区间为　[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=2π时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵函教f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象 与直线y=的三个相邻交点的横坐标分别是π，3π，7π，‎ ‎∴当x=2π时函数取得最大值，当x=5π时函数取得最小值，T=6π，‎ 且在区间[2π，5π]上单调递减，‎ 所以原函数递减区间[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）‎ 故答案：[6kπ+2π，6kπ+5π]（k∈Z）．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx的最小正周期T=π ‎（1）求出ω的值；‎ ‎（2）求f（x）得单调区间．‎ ‎【考点】正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．‎ ‎（2）根据f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣）+2sinωx=2sinωx•（﹣）﹣2cosωx•+2sinωx ‎ ‎=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣） 的最小正周期T=||=π，∴ω=±2．‎ ‎（2）①当ω=2时，f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ 同理，令2kπ+≤2x﹣≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎②当ω=﹣2，f（x）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2x+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ 同理，令2kπ+≤2x+≤2x+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎18．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c﹣b）cosA=acosB ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理和三角函数公式可得cosA=，可得A=；‎ ‎（2）由余弦定理结合基本不等式可得4=b2+c2﹣bc≥2bdc﹣bc，可得bc的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵（2c﹣b）cosA=acosB，‎ ‎∴由正弦定理可得（2sinA﹣sinB）cosA=sinAcosB，‎ 变形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，‎ ‎∵C为三角形的内角，sinC≠0，‎ ‎∴cosA=，A=；‎ ‎（2）∵由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 代入数据可得4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，‎ ‎∴bc≤4，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≤，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4‎ ‎（1）求证：DE⊥面PAC ‎（2）取PD中点Q，求三棱锥P﹣QBE体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出DE⊥AC，PA⊥DE，由此能证明DE⊥面PAC ‎（2）取PD中点Q，三棱锥P﹣QBE体积，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，‎ AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4，‎ ‎∴在梯形ABCD中，tan∠ADE=2=tan∠BAC，‎ ‎∴∠ADE=90°﹣∠DAC，‎ ‎∴DE⊥AC，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DE，‎ ‎∵PA∩AC=A，∴DE⊥面PAC 解：（2）取PD中点Q，‎ ‎∴三棱锥P﹣QBE体积：‎ ‎==．‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知P（x0，y0）是椭圆C： =1上一点，过原点的斜率分别为k1，k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=分别相切于A，B两点．‎ ‎（1）若椭圆离心率为，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求k1k2的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意， =，b=1，可得a=2，即可求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）推导出k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，由此能利用韦达定理能求出k1k2值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意， =，b=1，∴a=2，‎ ‎∴椭圆方程为=1；‎ ‎（2）由圆P与直线OA：y=k1x相切，‎ 可得=，‎ 即（4﹣5x02）k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0，‎ 同理，（4﹣5x02）k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0，‎ 即有k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的两根，‎ 可得k1k2===﹣．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+‎ ‎（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）讨论f（x）的零点个数．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，根据函数的极值的个数从而求出a的范围；‎ ‎（2）通过讨论a的范围，判断函数的零点个数．‎ ‎【解答】解：f′（x）=+=，‎ ‎（1）△＞0，﹣＞0，即a＜﹣4时，‎ f′（x）有2个不同正根，‎ 则f（x）在（0，），（，+∞）递增，‎ 在（，）递减，‎ 此时函数有2个极值点，‎ 当a≥﹣4时，（x+1）2+ax≥（x+1）2﹣4x≥0，f′（x）≥0，‎ 此时不成立，故a＜﹣4；‎ ‎（2）x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→+∞，‎ 由（1）a≥﹣4时，f′（x）≥0，此时恰有1个零点，‎ a＜﹣4时，f（x）在x0=取极大值，‎ 此时f（x0）=lnx0﹣=lnx0﹣（x0+1），‎ 设g（x）=lnx﹣（x+1），‎ g′（x）=﹣1，则g（x）在x=1处取极大值﹣2，‎ 即g（x）恒小于0．‎ ‎　‎ 从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）与曲线C交于M，N两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）求|MN|．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程．‎ ‎（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣4x﹣4=0，利用根与系数的关系及其|MN|=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，‎ 可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，‎ 可得直角坐标方程：y2+4y﹣（x2+y2）=0，即x2=4y．‎ 直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=x+1．‎ ‎（2）联立，化为：x2﹣4x﹣4=0，‎ ‎∴|MN|===8．‎ ‎　‎ ‎23．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，利用条件建立方程组，即可求实数a，b的值；‎ ‎（2）利用|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|，即可证明结论．‎ ‎【解答】（1）解：关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，‎ ‎∵关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]，‎ ‎∴，∴a=2，b=4；‎ ‎（2）证明：∵实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，‎ ‎∴|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|＜=．‎ ‎　‎ ‎2016年12月20日