2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年江西省南昌市东湖区第二中学高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎2．下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ B．“a＝2”是“函数f（x）＝ax在区间（﹣∞，+∞）上为增函数”的充分不必要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”‎ D．“若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】A，利用四种命题的逆否关系判断；B，根据指数函数的单调性即可判断；C，根据特称命题的否定判断；D，根据极值点的定义判断.‎ ‎【详解】‎ 对于A，根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故正确；‎ 对于B，，可得函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；‎ 对于C，根据特称命题的否定是全称命题，命题“，使得x2+x+1<0”的否定是：“均有”，故正确；‎ 对于D， “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为假命题，比如：中，‎ ‎，但不是的极值点，错误，‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查指数函数的单调性、逆否命题的定义、特称命题的否定、极值点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.‎ 详解：‎ 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.‎ 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.‎ ‎4．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】直接利用条件概率公式计算出该事件的概率．‎ ‎【详解】‎ 记事件A：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，‎ 记事件B：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，‎ 则事件B|A：某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病，‎ 则B⊂A，AB＝A∩B＝B，‎ P（A）＝1﹣0.02＝0.98，P（B）＝1﹣0.16＝0.84，‎ 因此，P（B|A），‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意椭圆：的离心率为得，‎ 椭圆的长轴长与焦距之和为6，， 解得，，则， 所以椭圆的标准方程为：，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、‎ 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（　　）‎ A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]‎ B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿 C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此 D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 ‎【答案】C ‎【解析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论．‎ ‎【详解】‎ C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．‎ ‎7．函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出导函数，转化为有两个不同的实数根即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)=x3-x2+mx+1，‎ 所以，‎ 又因为函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,‎ 所以有两个不同的实数解，‎ 可得，‎ 即实数m的取值范围是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想的应用，属于基础题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将单调性问题转化为方程问题是解题的关键 ‎8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）‎ A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，‎ C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.‎ ‎【详解】‎ A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；‎ B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；‎ C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；‎ D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎9．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先化简两个不等式，再判断它们之间的充要关系得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，，‎ 而区间，‎ 故“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数不等式的解法和绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10．已知是定义在上的函数，的导函数，且总有，则不等式的解集为 A． B． C． D．（1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，，函数是单调递减函数，那么定义在上的函数，不等式等价于，解集为，故选B.‎ ‎【考点】1.导数与不等式；2.导数与函数的单调性.‎ ‎【方法点睛】当题设给出与导数有关的不等式，求不等式解集的问题时，需造函数，判断函数的单调性，然后利用函数零点求不等式的解集，一般常见函数的导数形式（1），（2），（3），（4），本题，可想到构造（2）的形式，根据函数单调性，零点求不等式的解集.‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据中垂线的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为 ，椭圆离心率的取值范围是，故选B.‎ ‎12．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.‎ ‎【详解】‎ 结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故 可以转换为 对应于恒成立,即 即对恒成立 即对恒成立 令,则上递增,在上递减,‎ 所以 令,在上递减 所以.故,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.‎ 二、填空题 ‎13．已知实数满足不等式组，则的最小值为______．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出实数满足不等式组表示的平面区域，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 当目标函数过点时，取得最小值，‎ 由，解得，‎ 的最小值为．故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，点在曲线（为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程，再将原点代入切线方程得的值，从而得到切点坐标.‎ ‎【详解】‎ 设切点，切线的斜率，‎ 所以切线方程为：，‎ 因为切线过原点，所以，‎ 所以点的坐标是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，求解时要注意曲线在某点的切线与过某点的切线的区别，考查基本运算求解能力.‎ ‎15．斜率为的直线过双曲线的左焦点F1与双曲线的右支交于点P，且PF2与x轴垂直（F2为右焦点），则此双曲线的离心率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可设直线方程为，求出直线与右支的交点纵坐标，利用PF2与x轴垂直,结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由斜率为的直线过双曲的左焦点 可得直线方程为，可得P的纵坐标为，‎ 又因为与x轴垂直（为右焦点），‎ ‎，‎ 可得，解得，‎ 则双曲线的离心率为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出 ‎;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎16．已知函数的导函数是二次函数，且的图像关于轴对称， ，若的极大值与极小值之和为，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由三次函数原函数与导函数的关系可得：函数的对称中心为，且，‎ 设，则，‎ 函数的极大值与极小值之和为：.‎ 点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：关于x的方程xa在（1，+∞）上有实根；命题q：方程1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆．‎ ‎（1）若p是真命题，求a的取值范围；‎ ‎（2）若p∧q是真命题，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a∈[3，+∞）；（2）a∈[3，4）‎ ‎【解析】(1)根据基本不等式求最值可得的范围;‎ ‎(2)求出q为真命题时的范围后,与(1)的结果相交可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若p是真命题,则关于x的方程xa在（1，+∞）上有实根,‎ 由可得,所以,当且仅当,即时取得等号,所以.‎ ‎（2）p∧q是真命题，则p，q均为真命题，‎ q为真命题，即方程1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则0＜a＜4，‎ 由（1）知，p为真命题时a∈[3，+∞），所以p∧q是真命题，则a∈[3，4）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据命题的真假求参数的取值范围,基本不等式求最值,考查了由方程表示椭圆求参数取值范围,属于中档题.‎ ‎18．2019年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法．该市教育管理部门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了440名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表.‎ 赞同录取办法人数 不赞同录取办法人数 合计 近三年家里没有小升初学生 ‎180‎ ‎40‎ ‎220‎ 近三年家里有小升初学生 ‎140‎ ‎80‎ ‎220‎ 合计 ‎320‎ ‎120‎ ‎440‎ ‎（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；‎ ‎（2）从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出6人，再从这6人中随机抽出3人进行电话回访，求3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率.‎ 附：，其中.‎ P()‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.10‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；（2）0.6‎ ‎【解析】（1）根据列联表计算，对照所给表格数据可得结论；‎ ‎（2）由分层抽样知从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出2人，分别记为，，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出4人，分别记为，，，，则从这6人中随机抽出3人的抽法，可以分别列举出来，其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况也可以列举出来，计数后可得概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）假设是否赞同小升初录取办法与近三年是否有家里小升初学生无关，‎ 的观测值，因为 所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关.‎ ‎（1）设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出人，‎ 由分层抽样的定义可知，解得，. ‎ 方法一：设事件M为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生．在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的2人，分别记为，，近三年家里有小升初学生的4人，分别记为，，，，则从这6人中随机抽出3人有20种不同的抽法，所有的情况如下：‎ ‎{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}.‎ 其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况有12种，分别为：‎ ‎{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，‎ 所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为. ‎ 方法二：设事件M为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生，在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的有2人，近三年家里有小升初学生的有4人，则从这6人中随机抽出3人有种不同的抽法，从这6人中随机抽出的3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况共有种. ‎ 所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，考查分层抽样和古典概型概率公式，独立性检验问题直接计算，再据表格数据得出结论，解决古典概型概率问题的关系是确定事件的个数，可能用列举法列出所有的基本事件，然后计数得出概率．‎ ‎19．已知函数f（x）＝x2+2alnx.‎ ‎(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；‎ ‎(2)若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得，解方程即可；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得在[1，2]上恒成立，等价于为在[1,2]上恒成立,利用导数求出函数在[1，2]上的最小值，从而可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的导数为，‎ 由已知f′(2)=1，即4+a=1，解得a=−3.‎ ‎(2) 由，得，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，‎ 则g′(x)0在[1,2]上恒成立，‎ 即在[1,2]上恒成立，‎ 即在[1,2]上恒成立,‎ 令,在[1,2]上，‎ 所以h(x)在[1,2]为减函数，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围．‎ ‎20．已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若点P（x0，4）在抛物线C上，且.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）动直线l：x＝my+1（mR）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分别为直线AD，BD的斜率）若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；（2）存在，（﹣1，0）.‎ ‎【解析】（1）先求出抛物线的准线方程，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程即可求得p＝2，从而可得结果；（2）假设存在，设A,B坐标，直线与抛物线联立得关于y的二次函数方程，两根之和，两根之积写出，利用斜率之和为0，即可求出t的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：抛物线的准线方程：，‎ ‎∵点P（x0，4）在抛物线C上，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以由题意：，解得：p＝2，‎ 所以抛物线C的方程：y2＝4x；‎ ‎（2）由题意得，假设存在D（t，0）使得，‎ 设A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，‎ ‎，，‎ 由得 ‎，，‎ 时，使得，‎ 即D点的坐标：（﹣1，0）．‎ ‎【点睛】‎ 解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若关于x的不等式在(1,+∞)上恒成立,求整数k的最大值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）3.‎ ‎【解析】（1）判断当x>1时，当0a时，判断h'（x）符号，求解函数的最小值，可得正整数k的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 当x>1时,f'(x)>0;当0