2018-2019学年吉林省长春市实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题 word版 8页

长春市实验中学 ‎2018-2019学年下学期期末考试 高二数学试卷(理科)‎ ‎ 考试时间：120分钟 分值：150分 ‎ 第Ｉ卷 选择题（总计60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数满足为虚数单位），则 A. B.2 C. D.1‎ ‎2．名学生在一次数学考试中的成绩分别为，，，…，，要研究这名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是 A. 频率 B. 平均数 C. 独立性检验 D. 方差 ‎3．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有 A.种 B.种 C.种 D.种 ‎4．某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ A. -10 B.0 C. 10 D. 20‎ ‎5．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 A. B. C. -2 D. 2‎ ‎6．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．函数的极大值为 A.3 B. C. D. 2‎ ‎8．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为 ‎，既刮风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮风，那么 A. B. C. D. ‎ ‎9．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为 A. 55 B. 89 C.120 D. 144‎ ‎10．设，则二项式展开式的所有项系数和为 A. 1 B. 32 C. 243 D. 1024‎ ‎11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 A. 232 B. 252 C. 472 D.484‎ ‎12．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 非选择题（总计90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若随机变量，已知，则=________．‎ ‎14．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________．‎ ‎15．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下 面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出 口3出来，那么你取胜的概率为___________． ‎ ‎16．已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为，求的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求与交点的极坐标.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．‎ ‎（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎10‎ 女生 ‎25‎ 总计 附参考公式及数据：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.‎ 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.‎ ‎（1）求曲线C和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作的垂线0交C于A，B两点，点A在轴上方，求的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．Ⅰ记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；Ⅱ现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以Ⅰ中确定的作为p的值已知每个水果的检测费用为元；若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用()． 若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间； ‎ ‎（2）若函数的两个零点分别为，且，求证：函数的图像在处的切线的斜率恒小于0.‎ 长春市实验中学 ‎2018-2019学年下学期期末考试 高二数学试卷(理科)参考答案 ‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D C A A B ‎ B A C C B 二、填空题 ‎13． 0.363 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）当时，原不等式可化为 或或 ‎ 解得 所以不等式的解集为 5分 由题意可得， 当 时取等号. ， ‎ ‎ 即或 10分 18. 解：‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . ‎ 的参数方程化为极坐标方程为； 6分 ‎(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和. 12分 ‎19．（1）由题意，抽取到男生人数为，女生人数为，‎ 所以2×2列联表为：‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 所以，‎ 所以有99%的把握认为选择科目与性别有关． 5分 ‎（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4． 设事件发生概率为，‎ 则，，，，． 10分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望． 12分 ‎20.解：（1）将代入得，曲线C的方程为， 3分 由，得，‎ 把，代入上式得直线l的直角坐标方程为. 6分 ‎（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，‎ 则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）‎ 代入曲线C的方程整理得， 8分 设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，‎ 则，且， 10分 ‎ 所以. 12分 ‎21．解：Ⅰ记10个水果中恰有2个不合格品的概率为， 则，  ， 由，得． 且当时，当时，    的最大值点． 4分Ⅱ现由Ⅰ知， 令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知， ． ． 8分 如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元， 由，得，且， 当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测． 12分 ‎22.（1）‎ 所以当时，，所以增区间，减区间 当时，，所以增区间，减区间；‎ 当时，，所以增区间，无减区间 当时，，所以增区间，减区间 6分 法一：(2)，‎ 所以，‎ 因此函数的图像在处的切线的斜率 因为函数的两个零点分别为，‎ 所以 即，‎ 所以 令，则 所以，从而. 12分 ‎ 法二：(2)，‎ 所以，‎ 因为函数的两个零点分别为，‎ 因此函数有两个根，且。‎ 函数的图像在处的切线的斜率，‎ 从而. 12分 ‎