【数学】2019届一轮复习全国通用版高考必考题突破讲座（六）统计与概率、随机变量及其分布列学案 17页

高考必考题突破讲座(六)‎ 统计与概率、随机变量及其分布列 题型特点 考情分析 命题趋势 ‎1.概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，他们是高考考查的核心内容．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，18‎ ‎2017·北京卷，17‎ ‎2017·天津卷，16‎ ‎2017·江苏卷，23‎ 以统计的图、表为载体，结合概率的应用，考查特征数字和概率的计算，以及独立变量、相关变量间的关系判断.‎ 分值：10～12分 ‎1．常见概率模型的计算 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列、均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，常有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．‎ ‎3．概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．‎ ‎4．统计与统计案例 能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查．‎ ‎【例1】 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．‎ 解析 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．‎ 则P(Ai)＝Ci4－i.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率 P(A2)＝C22＝.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4且A3与A4互斥．‎ 故P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C3×＋C4＝.‎ ‎(3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 且A1与A3互斥，A0与A4互斥．‎ 则P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)‎ ‎＝C1·3＋C3×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)‎ ‎＝C4＋C4＝.‎ 于是ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎【例2】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)．‎ 解析 (1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人．‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.‎ ‎(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据方差．‎ ‎【例3】 (2018·湖南长沙一模)‎2018年6月14日至‎7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；‎ ‎(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽出6人进行面试．‎ ‎①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率，②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)由频率分布直方图知：‎ 第3组的人数为5×0.06×40＝12；‎ 第4组的人数为5×0.04×40＝8；‎ 第5组的人数为5×0.02×40＝4.‎ ‎(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人．‎ ‎①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则 P(A)＝1－＝，‎ 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为.‎ ‎②X的所有可能取值为0,1,2，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ ‎【例4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，＝2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ＝，＝－.‎ 解析 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 ＝4，(ti－)2＝28，＝0.55，‎ (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，‎ r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，＝－＝1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2019年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.‎ 所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．‎ ‎1．(2018·河北沧州一模)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．‎ 解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，‎ P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A2A3)＋P(A1B‎2A3A4)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋×2＋××2＝.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，‎ P(X＝3)＝P(B‎1A2A3)＋P(A1B2B3)‎ ‎＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，‎ P(X＝4)＝P(A1B‎2A3A4)＋P(B‎1A2B3B4)‎ ‎＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，‎ P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎2．(2018·广东广州质检)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，‎ 其中，为样本平均值．‎ 解析 (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，‎ ＝i＝＝2，lxx＝－n2＝80，‎ 又lxy＝iyi－n ＝184－10×8×2＝24，‎ 由此得＝＝＝0.3，‎ ＝－＝2－0.3×8＝－0.4，‎ 故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下．‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50 kg，新养殖法的箱产量不低于‎50 kg”，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；‎ 箱产量<‎‎50 kg 箱产量≥‎‎50 kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2＝.‎ 解析 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于‎50 kg”．‎ 由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．‎ 旧养殖法的箱产量低于‎50 kg的频率为 ‎(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，‎ 故P(B)的估计值为0.62.‎ 新养殖法的箱产量不低于‎50 kg的频率为 ‎(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，‎ 故P(C)的估计值为0.66.‎ 因此事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表.‎ 箱产量<‎‎50 kg 箱产量≥‎‎50 kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2＝≈15.705.‎ 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于‎50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，‎ 箱产量低于‎55 kg的直方图面积为 ‎(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎50＋≈52.35(kg)．‎ ‎4．(2018·湖北襄阳五中适应性考试)某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下.‎ ‎(1)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；‎ ‎(2)若将频率视作概率，回答以下问题：‎ ‎①记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；‎ ‎②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．‎ 解析 (1)记“抽取的两天销售量都大于‎40”‎为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎(2)①设乙产品的日销售量为a，‎ 则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；‎ 当a＝40时，X＝40×4＝160；‎ 当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；‎ 当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172；‎ ‎∴X的所有可能取值为152,156,160,166,172，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ P ‎∴E(X)＝152×＋156×＋160×＋166×＋172×＝162.‎ ‎②依题意，甲厂家的日平均销售量为 ‎38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，‎ ‎∴甲厂家的日平均返利额为70＋39.5×2＝149元，‎ 由①得乙厂家的日平均返利额为162元(>149元)，‎ ‎∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．‎ 课时达标　讲座(六)‎ ‎[解密考纲]概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、数据分析能力．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立和随机变量的分布是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新颖．‎ ‎1．(2018·海南模拟)已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的，规定60分以下为不及格，从不及格的人中任意选取3人，求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)依题意得 ⇒b＝0.01，‎ 因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n＝＝60.‎ ‎(2)由⇒ 于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9，即不及格的人数为12，从中任选3人，则成绩在50分以下的人数X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列如下 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．(2018·广东五校联考)下图是某市‎11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎11月1日至‎11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．‎ 解析 设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1,2，…，12)．‎ 依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．‎ ‎(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，‎ 所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝，‎ 即此人到达当日空气重度污染的概率为.‎ ‎(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)‎ ‎＝1－－－＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎3．(2018·河南焦作模拟)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表.‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪/万元 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎50‎ ‎(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；‎ ‎(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；‎ ‎(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？‎ 附：线性回归方程＝x＋中系数计算公式 ＝，＝－，其中，表示样本均值．‎ 解析 (1)平均值为10万元，中位数为6万元．‎ ‎(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，‎ 则＝2.5，＝5，(xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，‎ (xi－)(yi－)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，‎ ＝＝＝1.4，‎ ＝－＝5－1.4×2.5＝1.5，‎ 因此线性回归方程为y＝1.4x＋1.5，‎ 可预测该员工第5年的年薪收入为8.5万元．‎ ‎4．(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，‎ 且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为.‎ ‎5．(2018·河南洛阳统考)某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．‎ ‎(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；‎ ‎(2)若规定成绩大于或等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若用甲班学生数学成绩的频率估计概率，从该校高三年级中随机抽取3人，记这3人中数学成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；‎ 乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92或101.‎ ‎(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝.‎ ‎(3)用甲班学生数学成绩的频率估计概率，则高三学生数学成绩的优秀率P＝，则X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ 且X～B，‎ P(X＝0)＝C3＝；‎ P(X＝1)＝C××2＝；‎ P(X＝2)＝C×2×＝；‎ P(X＝3)＝C×3＝；‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(X)＝3×＝.‎ ‎6．(2018·河北保定模拟)某市拟实行机动车尾号限行交替措施，为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并将调查结果制成下表.‎ 年龄/岁 ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(1)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行跟踪调查，选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；‎ ‎(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联.‎ 态度 ‎ 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 中老年 总计 参考公式和数据χ2＝ χ2‎ ‎≤2.706‎ ‎>2.706‎ ‎>3.841‎ ‎>6.635‎ A，B关联性 无关联 ‎90%‎ ‎95%‎ ‎99%‎ 解析 (1)X的取值为0,1,2,3，则 P(X＝0)＝·＝＝，‎ P(X＝1)＝·＋·＝＝，‎ P(X＝2)＝·＋·＝＝，‎ P(X＝3)＝·＝＝，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.‎ ‎(2)2×2列联表如图所示.‎ 态度 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 ‎19‎ ‎11‎ ‎30‎ 中老年 ‎7‎ ‎13‎ ‎20‎ 总计 ‎32‎ ‎18‎ ‎50‎ χ2＝≤2.706，‎ 说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联．‎