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- 2021-06-10 发布
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集宁一中(东校区)2017-2018 学年第二学期期中考试
高二年级理科数学试题
本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。
第 Ⅰ 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(在下列四个选项中,只有一项是最符合题意的.每小题 5
分,共 60 分)
1.已知集合 2{ | log }A x y x , | 2 2B x x ,则 BA ( )
A. 1 2, B. 0 2, C. 2 2 , D. 2,
2.已知命题 p: 01, 2 xxRx ;命题 q:若 22 ba ,则 ba .下列命题为真命题
的是( )
A. p q B. p q C. p q D. p q
3.执行下图所示的程序框图,若输入 p=0.8,则输出的 n=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.在复平面内,复数
i
i
21
21
所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.在(1+x)n( Nn )的二项展开式中,若只有 x5 的系数最大,则 n=( )
A.8 B.9 C.10 D.11
6 . 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 xyzo 中 的 坐 标 分 别 是
)1,1,0(),1,0,1(),0,0,0( , )0,1,2
1( , 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视
图,则得到左视图可以为( )
A. B. C. D.
7.已知函数 xbeexf xx cos)( ,若 3)1( f ,则 )1(f ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
8.已知点 )0,4(A , )4,0(B ,点 ),( yxp 的坐标 x ,y 满足
0
0
3 4 12 0
x
y
x y
,则
的最小值为( )
A.
25
196 B.0 C.
4
25 D.- 8
9.若 x,y,a 是正实数,且 x+ y≤a x+y恒成立,则 a 的最小值是( )
A. 2
2 B. 2 C.2 D.1
2
10.若无重复数字的三位数满足条件:①个位数字与十位数字之和为奇数,②所
有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )
A.540 B.480 C.360 D.200
11.过圆 P:
4
1)1( 22 yx 的圆心 P 的直线与抛物线 C: xy 22 相交于 A,B 两点,
且 ,则点 A 到圆 P 上任意一点的距离的最大值为( )
A.
2
113 B.
6
13 C.
3
7 D.
2
7
12.设函 数 )(xf 是定义 在 )0,( 上的可 导函数, 其导函数为 )(xf ,且有
2)()(2 xxfxxf ,则不等式 0)2(4)2018()2018( 2 fxfx 的解集为( )
A.(-2020,0) B.(-∞,-2020) C.(-2016,0) D.(-∞,-2016)
Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题(每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸上对应横线处)
13.已知 A(-1,0),B(0,-1),C(a,b)三点共线,若 a>-1,b>-1,则 1
a+1
+
1
b+1
的最小值为________.
14.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试,考试成绩采用
等级制(分为 A,B,C 三个层次),得 A 的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知,
三名同学中只有一人获得 A.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下:
甲说:看丙的状态,他只能得 B 或 C;
乙说:我肯定得 A;
丙说:今天我的确没有发挥好,我赞同甲的预测.
事实证明:在这三名同学中,只有一人的预测不准确,那么得 A 的同学是________.
15.三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是等腰三角形, 120C ,侧面 PAB 是等边三角形
且与底面 ABC 垂直,AC=2,则该三棱锥的外接球表面积为________.
16.若直线 bkxy 是曲线 2ln xy 的切线,也是曲线 )1ln( xy 的切线,则
b ________.
三.解答题(共 6 个题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数 122)( xxxf , Rx .
(1)求 1)( xf 的解集;
(2)若 axxf )( 有两个不同的解,求 a 的取值范围.
18.在极坐标系中,圆 C 的方程为ρ=2acos θ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为
x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 x=3t+1,
y=4t+3
(t 为参数).
(1)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程;
(2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围.
19.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 底面 ABCD, AD AB , DC ∥ AB ,
1PA , 2, 2AB PD BC .
(1)求证:平面 PAD 平面 PCD;
(2)若棱 PB 上存在一点 E ,使得二面角 E AC P 的余弦值为
3
3 ,求 AE 与平
面 ABCD所成角的正弦值.
20.在一次数 考试中,第 22 题和第 23 题为选做题,规定每位考生必须且只须在
其中选做一题,现有甲、乙、丙、丁 4 名考生参加考试,其中甲、乙选做第 22 题
的概率均为
3
2 ,丙、丁选做第 22 题的概率均为
2
1 .
(1)求在甲选做第 22 题的条件下,恰有两名考生选做同一道题的概率;
(2)设这 4 名考生中选做第 22 题的 生个数为 X,求 X 的概率分布及数学期望.
21.已知椭圆 C: )0(12
2
2
2
bab
y
a
x .
(1)若椭圆的离心率为
2
1 ,且过右焦点垂直于长轴的弦长为 3,求椭圆 C 的标准
方程;
(2)点 P(m,0)为椭圆长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为
a
b 的直线 l 交椭圆 C 于
A,B 两点,试判断 22 PBPA 是为定值,若为定值,则求出该定值;若不为定值,
说明原因.
22.已知函数 f(x)=ex-ax-a(其中 a∈R,e 是自然对数的底数,e=2.718 28…).
(1)当 a=e 时,求函数 f(x)的极值;
(2)若 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
高二理数答案
1----6BBBBCB 7----12AABDAB
13.4 14.甲 15. 16.
17.
【解析】(1) ,
若 ,可得 .
(2)结合图象易得 .
18. 解:(1)由ρ=2acos θ,ρ2=2aρcos θ,
又ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,
所以圆 C 的标准方程为(x-a)2+y2=a2.
由x=3t+1,
y=4t+3,得 y-3
=t,
因此x-1
3 =y-3
4 ,
所以直线 l 的普通方程为 4x-3y+5=0.
(2)因为直线 l 与圆 C 恒有公共点,
所以|4a+5|
2 ≤|a|,
两边平方得 9a2-40a-25≥0,
所以(9a+5)(a-5)≥0,解得 a≤-5
9或 a≥5,
所以 a 的取值范围是5
9∪[5,+∞).
19.案】(1)见解析(2)
易知平面 的法向量 ,所以 与平面 所成角的正弦值
.
20.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据独立事件同时发生的概率公式及条件概率公式求解
即可;(Ⅱ) X 的所有可能取值为 0、1、2、3、4,分别根据独立事件同时发生的
概率公式及互斥事件的概率公式求得各随机变量发生的概率,列出分布列,根据
期望公式求解即可. * [ : K]
试题解析:(Ⅰ)【方法一】记“甲选做第 22 题”为事件 A;“恰有两名考生选做同
一道题”为事件 B.
由题意可计算, , ,
所以 .
【方法二】在甲选做第 22 题的条件下,恰有两名考生选做同一道题,问题等价于
“乙、丙、丁三人中有且只有一人选做第 22 题,其余两人选做第 23 题”,记为事
件 C.
由题意可计算, .
所以 X 的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P
从而
21.【解析】(1) ,即 , ,
不妨令椭圆方程为 ,当 时, ,得出 ,
所以椭圆的方程为 .
(2)令直线方程为 与椭圆交于 , 两点,
联立方程 得 ,即 ,
∴ , ,
∴
为定值.
22. 解 (1)当 a=e 时,f(x)=ex-ex-e,f′(x)=ex-e.[]
当 x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0.
所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以函数 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=-e,函数 f(x)无极大值.
(2)由 f(x)=ex-ax-a,得 f′(x)=ex-a,
若 a<0,则 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增,当 x 趋近于负无穷大时,f(x)趋近于
负无穷大;当 x 趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,故函数 f(x)存在唯一
零点 x0,当 xx0 时,f(x)>0.故 a<0 不满足条件.
若 a=0,f(x)=ex≥0 恒成立,满足条件;
若 a>0,由 f′(x)=0,得 x=ln a,当 xln a 时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,
+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在 x=ln a 处取得极小值 f(ln a)=eln a-a·ln
a-a=-a·ln a,由 f(ln a)≥0,得-a·ln a≥0,解得 0