数学理卷·2018届河北省涞水波峰中学高二下学期期中考试（2017-04） 8页

波峰中学 学校 姓名 班级 考场 考号 ‎ ‎ 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 2016-2017学年度第二学期期中考试 高二理科数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z=的虚部为（ ）‎ A．1 B． C． -1 D．‎ ‎2.如果的力能使弹簧压缩，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉倒离平衡位置处，则客服弹力所做的功为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎4.对于（大前提）‎ ‎ （小前提）‎ 所以，（结论），以上推理过程中的错误为 ‎ A. 大前提 B. 小前提 C. 结论 D.无错误 ‎5.直线与曲线相切，则b的值为（ ） ‎ ‎ A． B．1 C． D．-1‎ ‎6．用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列四个说法：‎ ‎①若向量｛｝是空间的一个基底，则｛｝也是空间的一个基底． ‎ ‎②空间的任意两个向量都是共面向量．‎ ‎③若两条不同直线的方向向量分别是，则∥∥．‎ ‎④若两个不同平面的法向量分别是且，‎ 则∥．‎ 其中正确的说法的个数是（ ） ‎ A．1 B．2 C．3 D．4【来源：全,品…中&高*考+网】8.设函数在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且,则当时,有( )‎ ‎（A （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎9.．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B． 第四象限 C．第三象限 D．第二象限 ‎10.当时，可得到不 等 式，，由此可推广为，其中等于( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎11..如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、定义在R上的奇函数的导函数。当时，，若，则的大小关系（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分,共20分，把答案写在题中横线上）‎ ‎13、已知直线的方向向量分别是，，若，则实数 的值是_____________. ‎ ‎14、已知函数的导函数，且满足，则 .‎ ‎15、如图，阴影部分的面积是___________． ‎ ‎16、已知为实数，是自然对数的底数，且， ‎ 则的最小值 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎（Ⅰ）若,时，求复数的模的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在复数范围内解关于方程(为虚数单位)．‎ ‎18.（本题满分12分）设函数在及时取得极值． ‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求曲线在处的切线方程．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，点分别为的中点，若．‎ ‎（1）求证：∥平面．‎ ‎（2）求直线与平面所成的角．‎ ‎20. (本小题满分12分).已知函数，‎ ‎（１）求函数在 上的最大值和最小值．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（２）求证：在区间［１，+，函数的图象，在函数的图象下方。‎ 21. ‎（本题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．‎ 22． ‎（本题满分12分）‎ 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）若是增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，且恒成立，求最小值.‎ ‎2017届波峰中学高二期中考试数学（理科）试卷参考答案 一、选择题：‎ ‎1-5A.D.B.B.D 6-10 C.D.C.B. A 11-12 C . B 二、填空题：‎ ‎13. 1 14. 5 15. 16.18‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（Ⅰ）‎ ‎ ∴复数的模的取值范围为…………………4分 ‎ （Ⅱ）原方程化简为, …………………6分 ‎ 设,代入上述方程得 ‎ 解得或…………………9分 ‎ ∴原方程的解是…………………10分 ‎18、解：解：（1）∵∴--------- -2分 又∵在及时取得极值 ‎∴∴ ------------------------------------------------4分 解得 ，．-----------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）由（1）得，，-----------8分 ‎∴，．∴切线的斜率．切点为（0，8）-----------10分 由直线方程的点斜式得切线方程为：， 即．-----------12分 ‎19、解：（1）依题意，以A为原点，分别以所在 直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则 ‎ ‎ ‎ ------------------2分 平面PAB的一个法向量是 -------4分 故 ∥平面 -----------------------------------------------6分 ‎（2）‎ ‎ ---------------------------------------------7分 设平面PCD的一个法向量为 ‎ 由 得 ‎，令，得 -----------------------------------9分 而 且， ----------------------------------11分 所以EF与平面PCD所成的角是90°－60°=30°----------------------------12分 ‎20.‎ ‎---------------------------------------12分 ‎21、（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，‎ 所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，‎ 又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，‎ 所以BD⊥平面AED；----------------------6分 ‎（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，‎ 又FC⊥‎ 平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，‎ 不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）‎ 设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0， •=0‎ 所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），‎ 由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，‎ 则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为 解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．‎ 所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，‎ 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，‎ 因此CG=CB，又CB=CF，‎ 所以GF==CG，‎ 故cos∠FGC=，‎ 所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为----------------------12分 ‎22、解：（Ⅰ）， …1分 依题设可得， ………2分 而，当时，等号成立。 ………4分 所以的取值范围是 ………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知=‎ 设，则，‎ 在内单调递减。‎ 因此在内有唯一的解，使得 ………7分 而且当时，，当时， ………8分 所以 ‎ ‎ ‎ ………10分 设，则，‎ 所以在内单调递增。所以 由已知可知,所以，即最小值为。 ‎