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- 2021-06-10 发布
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咸阳市2019~2020学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学(文科)试题
注意事项:
1.本试题共4页满分150分,时间120分钟;
2.答卷前,考生须准确填写自己的姓名、准考证号,并认真核准条形码上的姓名、准考证号;
3.选择题必须使用2B铅笔填涂非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,涂写要工整、清晰;
4.考试结束,监考员将试题卷答题卡一并收回.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.一元二次不等式的解集为( )
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数得图像,可得结果.
【详解】令,如图
由,所以图形在轴下方,
所以
故选:C
【点睛】本题考查一元二次不等式的的解法,属基础题.
2.已知等比数列中,,公比,则( )
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式可得结果》
【详解】由数列是等比数列,所以
则,又,
所以
故选:B
【点睛】本题考查等比数列的通项公式,属基础题.
3.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则( )
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理,可直接求出的值.
【详解】在中,由正弦定理得,所以,
故选A.
【点睛】本题考查利用正弦定理求边,要记得正弦定理所适用基本类型,考查计算能力,属于基础题.
4.不等式的解集是( )
A. B. C. D. (0,2)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据转化为整式不等式,可得结果.
【详解】由等价于,
所以,所以解集为
故选:A
【点睛】本题考查分式不等式的解法,掌握等价转换,化难为易,属基础题.
5.命题“,有”的否定形式为( )
A. ,有 B. ,有
C. ,使 D. ,使
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题.
故“,有”的否定形式为:,使
故选:
【点睛】本题考查了全称命题的否定,意在考查学生的推断能力.
6.已知函数,且,则实数的值为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数在某一点处的导数的定义,可得结果.
【详解】由,即
因为,所以
则,所以
故选:C
【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数,属基础题.
7.已知,,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质,可得结果.
【详解】因为,所以,又,
所以
故选:D
【点睛】本题考查不等式的性质,熟练记住一些结论,如:不等式两边同乘或同除以一个正数,不改变不等号的方向,属基础题.
8.已知函数的导函数的图象如图,则下列叙述正确的是
A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极大值
C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数的图象得到导函数值的符号,然后判断出函数的单调性,然后再结合所给选项得到正确的结论.
【详解】由导函数的图象可得,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.
对于选项A,由于函数的单调减区间为,所以A不正确;
对于选项B,由题意可得函数当时取得极大值,所以B不正确;
对于选项C,由题意当时函数无极值,所以C不正确;
对于选项D,由题意可得只有当时函数取得极大值,所以D正确.
故选D.
【点睛】解答本题的关键是由题中的图象得到导函数的符号,然后由导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的极值情况.解题时要分清导函数的零点与函数极值点间的关系,常出现的错误是认为导函数的零点即为函数的极值点.
9.数列满足,则的前10项和为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据裂项相消法求和.
【详解】因为,
所以的前10项和为,选B.
【点睛】本题考查裂项相消法求和,考查基本分析求解能力,属基础题.
10.在等差数列中,,,则数列的前项和中最小的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质,了解数列的特点,可得结果
【详解】因为数列是等差数列,所以,
由,所以,又,可知,
等差数列公差,即等差数列是递增数列,
且前7项均是负数,所以前项和中最小的是
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质,简单判断,属基础题.
11.已知是等比数列,则“”是“是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据递增数列的定义并结合对项取值,可得结果
【详解】由数列是等比数列,可假设,
则,
可知,但数列不是递增数列,
若数列是递增数列,由定义可知,,故
“”是“是递增数列”的必要不充分条件
故选:B
【点睛】本题考查充分、必要条件的定义,同时还考查了等比数列的单调性,巧取特殊值,快速解决问题,属基础题.
12.已知点为双曲线的右焦点,以为圆心的圆过坐标原点,且圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若四边形是菱形,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的定义以及圆的半径,可得渐近线的斜率,结合的关系和离心率的表示,可得结果.
【详解】如图,
圆的半径为,且四边形是菱形,
所以,可知,
所以,即
所以,又,
则,由,且
所以
故选:A
【点睛】本题考查双曲线的离心率,高考常考题,正确分析题干,理清思路,属基础题.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分)
13.已知函数导函数为,且满足,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数求导的运算法则,可得结果.
【详解】由,则,
所以,则
故答案为:
【点睛】本题考查函数在某点处的导数,掌握初等函数的导函数,以及导数的四则运算,属基础题.
14.函数的最小值为____________.
【答案】8
【解析】
分析】
由基本不等式得,求出函数的最小值.
【详解】,,当且仅当,等号成立,.
故答案为: 8
【点睛】利用基本不等式求最值,要注意条件,一“正”,二“定”,三“等”,缺一不可.
15.若直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于不同的两点,其中点,且,则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义,可得结果.
【详解】根据题意:抛物线的准线方程为,
由抛物线上的点,
所以,又,
所以,则
故答案为:4
【点睛】本题考查抛物线的定义,属基础题.
16.若函数在区间内有两个不同的零点,则的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
采用等价转换以及分离参数方法,并构建新的函数,利用导数研究新函数的单调性,判断新函数的值域与的关系,可得结果.
【详解】由函数在区间内
有两个不同的零点,
等价于在区间
有两个不同的实数根,
即在区间有两个不同的实数根,
等价于函数图像在
有两个不同的交点,
当时,
当时,
所以函数在递减,在递增
所以,
所以
故答案为:
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,研究参数的范围,熟练掌握分离参数的方法,且学会构建新函数,化繁为简,属中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.求下列函数的导数:
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据导数的加法法则,以及基础函数的导数,可得结果.
(2)根据导数的除法法则,以及基础函数的导数,可得结果.
详解】解:(1).
(2).
【点睛】本题考查导数的运算,属基础题.
18.设等差数列的公差为,,为的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据等比中项的概念求出公差,结合等差数列的通项公式,可得结果.
(2)根据(1)的结论,结合分组求和的方法,可得结果.
【详解】解:(1),为与的等比中项,
,即,
由,所以,
∴数列的通项公式为.
(2)由(1)得,,
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和,掌握求和的基本题型,比如:分组求和,裂项相消,错位相减等,属基础题.
19.的内角所对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1);(2)5.
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理得,化简即得C的值;(2)先利用余弦定理求出a的值,再求的面积.
【详解】(1)因为,根据正弦定理得,
又,从而,
由于,所以.
(2)根据余弦定理,而,,,
代入整理得,解得或(舍去).
故的面积为.
【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
20.已知是抛物线上一点过抛物线焦点作条直线,直线
与抛物线交于不同的两点,,在点处作抛物线的切线在点处作抛物线的切线.
(1)求的值及焦点的坐标;
(2)设切线的斜率为,切线的斜率为,求证:.
【答案】(1);焦点的坐标为(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)代值计算,可得结果.
(2)利用导数,分别用点的横坐标表示,,联立直线与抛物线的方程,结合韦达定理,可得结果.
【详解】解:(1)将代入中,
可得,,
∴抛物线的标准方程为,
故焦点的坐标为.
(2)显然,直线的斜率存在,
设直线的方程为,
联立,消去得,,
则,
由,得,
,,
.
【点睛】本题考查抛物线的概念,还考查了直线与抛物线的几何关系,对这种题型,重在于计算,联立方程,使用韦达定理,同时也会融合导数等知识,属中档题.
21.如图,已知、分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆的上顶点,点在轴负半轴上,满足是的中点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若的外接圆恰好与直线相切,求椭圆的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据是的中点,可知长度,结合勾股定理,以及的关系且的表示,可得结果.
(2)根据(1)的条件可知的外接圆的圆心与半径,利用直线与圆相切,可得,进一步得到,最后可得结果.
【详解】解:(1)为的中点,,
在中,,
即,又,,
故椭圆的离心率.
(2)由(1)知,得,
,,
的外接圆的圆心为,半径,
的外接圆恰好与直线相切,
,解得,,,
∴椭圆的方程为.
【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的方程,还考查了直线与圆的几何关系,读懂题干,理清思路,细心计算,属中档题.
22.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,若的极小值为,证明:当时,.
(其中…为自然对数的底数)
【答案】(1)单调递减区间为;单调递增区间为(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用导数,判断函数的单调性,可得结果.
(2)利用导数判断的单调性,计算,根据恒成立的条件,并使用(1)的条件以及比较法中的作差法,可得结果.
【详解】解:(1)由题可知的定义域为,
,
令,解得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
的单调递减区间为;
单调递增区间为.
(2)证明:,,
则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
,
由题及(1)知,
,
,即.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,以及式子之间的大小关系,导数是判断函数性质的基本工具,灵活应用,结合一些方法,比如:等价转化,分离参数,构造新的函数,细心计算,属中档题.