【推荐】专题21+正弦定理和余弦定理的应用-2019年高三数学（理）二轮必刷题 19页

专题21 正弦定理和余弦定理的应用 ‎1．某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形ABCD和边长为1米的正方形AEFG在A点处焊接，AM、AN、GM、DN均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM、DN垂直于地面于M点和N点，且GM、DN、MN长度相等不计焊接点大小 若时，求焊接点A离地面距离；‎ 若记，求加强钢管AN最长为多少？‎ ‎【答案】（1）米；（2）加强钢管AN最长为3米．‎ ‎2．西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，，为运动小道（不考虑宽度），，千米.‎ ‎（1）求小道的长度；‎ ‎（2）求球类活动场所的面积最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 如解图所示，连接，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎3．某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.‎ ‎（1）设，写出关于的函数表达式；‎ ‎（2）当最小时，集合地点离点多远？‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为在中，，，所以由正弦定理可知，‎ 解得，，且，‎ 故，‎ ‎4．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中)．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意可知，，，，在中，根据正弦定理可得 ‎5．某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑，过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点处截获可疑船。‎ ‎(1)若可疑船的航速为海里小时，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。‎ ‎(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求的最小值。‎ ‎【答案】（1）小时；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为海里/小时，所以巡逻艇的航速为海里/小时，且，设，则，‎ 又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以， ‎ 故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则。‎ ‎6．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，‎ ‎.‎ ‎（1）求的长及原棚户区建筑用地的面积；‎ ‎（2）因地理条件限制，边界，不能变更，而边界，可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积最大值.‎ ‎【答案】（1）； （2）为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，最大值为.‎ ‎7．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2千米．‎ ‎(1)船的航行速度是每小时多少千米？‎ ‎(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？‎ ‎【答案】（1）船的航行速度是每小时6(＋1)千米．（2）山顶位于D处南偏东135°.‎ ‎8．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．‎ ‎(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据图1所示数据计算限定高度CD的值；(精确到0.1 m)‎ ‎(下列数据仅供参考：sin20°≈0.342 0，cos20°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0)‎ ‎(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，设∠PAB＝θ(rad)，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？‎ ‎【答案】（1）2.8 m； （2）能顺利通过此直角拐弯车道．‎ ‎9．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.‎ ‎（1）当时，求的大小；‎ ‎（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 当时，单调增，当时，单调减，‎ 所以当时，最大，即最大，‎ 又为锐角，从而最大，此时.‎ 答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为. ‎ ‎14．风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？‎ ‎【答案】‎ ‎15．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后测得该船只位于观测站A北偏东的C处，海里．在离观测站A的正南方某处D，. ‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）.‎ ‎【答案】⑴；⑵‎ ‎16．为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB ‎＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO, BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元．‎ ‎（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；‎ ‎（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 当 所以当有最小值，这时，‎ 答：该文化中心离N村的距离为 ‎17．如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分点处（靠近点），百米，，，百米，.‎ ‎（1）求区域的面积；‎ ‎（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长．‎ ‎【答案】（1）平方百米；（2）百米.‎ 所以，‎ 当时，水管最短，‎ 在中， =百米. ‎ ‎18．如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5‎ 千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.‎ ‎【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.‎ ‎19．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.‎ ‎(1)求两点间的距离；(精确到0.01)‎ ‎(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.‎ ‎【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.‎ ‎【解析】‎ ‎20．如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.‎ ‎（1）求该军舰艇的速度.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）14海里/小时；（2）.‎