山东省泰安市新泰市第二中学2020届高三第四次模拟考试数学试卷 15页

‎ ‎ 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若向量，满足，，，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎4．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，为菱形的一条对角线，另一条对角线的长为2，且点，在抛物线上，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎5．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数（且）的图象可能为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．‎ ‎9．下列说法正确的是（ ）‎ A．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一二、三、四年级本科生人数之比为，则应从一年级中抽取90名学生 B．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为 C．已知变量与正相关，且由观测数据算得，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 ‎10．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的图象关于直线对称 B．在上有且只有3个极值大点，在上有且只有2个极小值点 ‎ ‎ C．在上单调递增 D．的取值范围是 ‎12．如图，在矩形中，为中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）‎ A．存在某个位置，使得 B．的长是定值 C．若，则 D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题：本题共4小题．‎ ‎13．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为______．‎ ‎14．的展开式中的系数为______．‎ ‎15．已知函数，则______．‎ ‎ ‎ ‎16．已知直线：，圆：，则圆的半径______；若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是______．‎ 四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③的面积为 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，______．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为30°．‎ ‎19．已知等差数列的公差，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的前项和．‎ ‎20．某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：‎ 改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21‎ ‎ ‎ 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异？‎ 超过30‎ 不超过30‎ 改造前 改造后 ‎（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0．5万元/次；保障维护费第一次为0．2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0．2万元，现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，．‎ 以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．‎ 附：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎21．已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线：与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．‎ ‎22．已知函数，是的导函数．‎ ‎（1）证明：当，时；‎ ‎ ‎ ‎（2）证明：在上有且只有3个零点．‎ 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D A A B C D A C 二、多项选择题：‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ABC CD CD BD 三、填空题：‎ ‎13．18 14．5 15． 16．，‎ 四、解答题：‎ ‎17．解：方案一：选择条件①：‎ ‎（1）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 方案二：选择条件②：‎ ‎（1）由解得：或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎（2）同方案一．‎ 方案三：选择条件③：‎ ‎（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）同方案一．‎ ‎18．解：（1）∵平面，平面 ‎∴‎ ‎∵为正方形 ‎∴‎ 又，平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴‎ ‎∵，为线段的中点 ‎ ‎ ‎∴‎ 又，，平面 ‎∴平面 ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设正方形的边长为2，则，，，，，‎ ‎∴，，‎ 设，‎ ‎∴．‎ 设平面的一个法向量为 则 ‎∴‎ 令，则 ‎∴．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 ‎∴‎ ‎ ‎ 令，则 ‎∴‎ ‎∵平面与平面所成的锐二面角为30°，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为30°‎ ‎19．解：（1）∵成等比数列，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 整理得 ‎∴或 当时，由解得，满足题意，‎ 当时，由解得，不合题意，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知，当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，‎ ‎ ‎ 又 ‎∴‎ 当时，‎ ‎∴，．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎20．解：（1）‎ 超过30‎ 不超过30‎ 改造前 ‎5‎ ‎15‎ 改造后 ‎15‎ ‎5‎ ‎∴‎ ‎∴有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异．‎ ‎（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为．‎ 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元 ‎∴一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元 设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为2，2．2，2．6，3．2，4‎ ‎ ‎ 所以，的分布列为 ‎2‎ ‎2．2‎ ‎2．6‎ ‎3．2‎ ‎4‎ ‎∴‎ ‎∴一个生产周期内生产维护费的均值为2．275万元 ‎21．解（1）将代入 解得 ‎∴‎ 将代入 解得 ‎∴椭圆的标准方程为 ‎（2）设，‎ ‎ ‎ 由整理得 ‎，‎ ‎∴，‎ 法一：由对称性可知，以为直径的圆若恒过定点，则定点必在轴上．‎ 设定点为，则，‎ ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∴以线段为直径的圆恒过定点．‎ 法二：设定点为，则，‎ ‎ ‎ ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∴以线段为直径的圆恒过定点．‎ ‎22．证明：（1），‎ 令，则，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴当时，．‎ ‎（2），‎ 令得，即，‎ 令，则，‎ ‎∴是奇函数，且．‎ 令，则，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 令，则在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ ‎ 由（1）知：当时，，即，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 又，，‎ ‎∴时，恒成立，‎ 即时，恒成立，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴当时，恒成立．‎ 当时，，‎ ‎∴在上为增函数，且，‎ ‎，‎ ‎∴在上有且只有一个零点，设为，即，‎ ‎∵是奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上的零点为，‎ ‎ ‎ ‎∴在上的零点为，0，‎ ‎∴在上有且只有3个零点．‎