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- 2021-06-10 发布
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专题能力提升练二十三 导数的简单应用与定积分
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于 ( )
A.-2 B.2 C.- D.
【解析】选C.因为f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,
所以f′(x)=2x+3f′(2)+,
所以f′(2)=2×2+3f′(2)+,解得f′(2)=-.故选C.
2.sin2dx= ( )
A.0 B.-
C.- D.-1
【解析】选B.sin2dx=dx
==-.
3.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,f(-1))处切线的斜率为8,则f(-1)= ( )
A.7 B.-4 C.-7 D.4
【解析】选B.因为y′=4x3+2ax,所以-4-2a=8,所以a=-6,所以f(-1)=1+a+1=-4.
4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为
( )
A. B.2 C.1 D.
【解析】选A.根据积分的运算法则,可知f(x)dx可以分为两段,
则f(x)dx=+lnx=+1=.
5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选B.因为当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,所以f′(x)=2lnx+2-,所以
f′(1)=1
因为函数f(x)是偶函数,
所以f′(-1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为-1.
6.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S10,所以k>0,所以排除A,B.
8.曲线y=x2+2与直线5x-y-4=0所围成的图形的面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意,由消去y,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当20,g(x)在(1,+∞)上为增函数,
则g(x)的最小值g(1)=0,则有k+b=(lnx0-1)+≥0,
即k+b的取值范围是[0,+∞).
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2018·荆州一模)曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为________.
【解析】因为f(x)=sinx+ex+2,
所以f′(x)=cosx+ex,
所以曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e0=2,
所以曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3.
答案:y=2x+3
14.(2018·化州二模)已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为________.
【解析】函数f(x)=ex-mx+1的导数为f′(x)=ex-m,
若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,
即有ex-m=-有解,即m=ex+,
由ex>0,则m>,则实数m的范围为,
答案:
15.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________.
【解析】由得交点A(1,1).
由得交点B(3,-1).
故所求面积
S=dx+dx=+=++=.
答案:
16.(2018·遂宁一模)设函数f(x)=x2-2ax(a>0)与g(x)=a2lnx+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为________.
【解析】设公共点坐标为(x0,y0),则f′(x)=3x-2a,g′(x)=,
所以有f′(x0)=g′(x0),即3x0-2a=,
解出x0=a,
又y0=f(x0)=g(x0),
所以有-2ax0=a2lnx0+b,故b=-2ax0-a2lnx0,所以有b=-a2-a2lna,对b求导有b′=-2a(1+lna),故b关于a的函数在为增函数,在为减函数,
所以当a=时b有最大值.
答案: