高中数学讲义微专题87 离散型随机变量分布列与数字特征 34页

微专题 87 离散型随机变量分布列与数字特征 一、基础知识： （一）离散型随机变量分布列： 1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关 系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结 果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量 （1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。 例如：在扔硬币的试验中，用 1 表示正面朝上，用 0 表示反面朝上，则提到 1，即代表正面 向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以 简洁的表示事件 （2）量化的事件之间通常互为互斥事件 （3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的 代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如： 在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为 ，则“ ”代表“正面向上”， ”代表 “反面向上”， （4）随机变量的记法：随机变量通常用 等表示 （5）随机变量的概率：记 为 取 所代表事件发生的概率 2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随 机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集 3、分布列：一般地，若离散型随机变量 可能取得不同值为 ， 取每 一个值 的概率 ，以表格的形式表示如下： 称该表格为离散型随机变量 的分布列，分布列概率具有的性质为： （1） （2） ，此性质的作用如下：  1  0  , , , ,X Y     iP X x X ix X 1 2, , , , ,i nx x x x  X  1,2, ,ix i n   i iP X x p  X 1x 2x  ix  nx P 1p 2p  ip  np X 0, 1,2, ,ip i n   1 2 1np p p    ① 对于随机变量分布列，概率和为 1，有助于检查所求概率是否正确 ② 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为 1 的特征，求出其他较为 简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率 （二）常见的分布： 1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布： （1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致. （2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是 否符合某分布 2、常见的分布 （ 1 ） 两 点 分 布 ： 一 项 试 验 有 两 个 结 果 ， 其 中 事 件 发 生 的 概 率 为 ， 令 ，则 的分布列为： 则称 符合两点分布（也称伯努利分布），其中 称为成功概率 （2）超几何分布：在含有 个特殊元素的 个元素中，不放回的任取 件，其中含有特 殊元素的个数记为 ，则有 ，其中 即： 则称随机变量 服从超几何分布，记为 （3）二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的概率为 ，设在 次试验中事件 发生的次数为随机变量 ，则有 ，即： A p 1,X    事件发生 0，事件未发生 X X 0 1 P 1 p p X  1p P X  M N n X   , 0,1,2, , k n k M N M n N C CP X k k mC       min ,m M n , , , ,n N M N n M N N    X 0 1  m P 0 0n M N M n N C C C   1 1n M N M n N C C C    m n m M N M n N C C C   X  , ,X H N M n n A p n A X    1 , 0,1,2,n kk k nP X k C p p k n     X 0 1  k  n 则称随机变量 符合二项分布，记为 （三）数字特征——期望与方差 1、期望：已知离散性随机变量 的分布列为： 则称 的值为 的期望，记为 （1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了 次这样的试验，每次试验 随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当 足够 大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次， 设投进篮的次数为随机变量 ，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如 次），统计每次试验中 的取值 ，则这 个值的代数平均数将很接近 期望 （2）期望的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有 ① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组 代表事件的 概率相同：若 的分布列为： 则 的分布列为： ② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的 P  0 1 n nC p   11 1 n nC p p    1 n kk k nC p p   n n nC p X  ,X B n p   1 2  i  n P 1p 2p  ip  np 1 1 2 2 n np p p      E n n X 410 X 1 2 10000, , ,X X X 10000 EX ,  a b    E E a b aE b      a b    ,   a b    1 2  n P 1p 2p  np  1a b  2a b   na b  P 1p 2p  np 题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样 的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望 2、方差：已知离散性随机变量 的分布列为： 且记随机变量 的期望为 ，用 表示 的方差，则有： （1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了 次这样的试验， 每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计。方差大说明这些 数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围） （2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 （3）方差的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有： 3、常见分布的期望与方差： （1）两点分布：则 （2）二项分布：若 ，则 （3）超几何分布：若 ，则 注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期 望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随 机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差） 二、典型例题： 例 1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门 主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签 的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛   1 2  i  n P 1p 2p  ip  np  E D       2 2 2 1 1 2 2 n nD p E p E p E             n     22D E E    ,  a b     2D D a b a D      , 1EX p DX p p    ,X B n p  , 1EX np DX np p    , ,X H N M n     2, 1 nM N M N nMEX n DXN N N      （1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率 （2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 ，求 的分布列和数学期望 （1）思路：本题可用古典概型进行解决，设 为“五支队伍的比赛顺序”，则 ， 事件 为“甲乙排在前两位”，则 ，从而可计算出 解：设事件 为“甲乙排在前两位” （2）思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数 能取得值为 ，同样适用 于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序 问题。 解： 可取得值为 的分布列为： 例 2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的 10 名教师中任 选 3 人去参加支教活动。这 10 名教师中，语文教师 3 人，数学教师 4 人，英语教师 3 人． 求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）选出的 3 人中，语文教师人数 的分布列和数学期望． （1）思路：本题可用古典概型来解，事件 为“10 名教师中抽取 3 人”，则 ， 事件 为“语文教师人数多于数学教师人数”，则分为“1 语 0 数”，“2 语 1 数”，“2 语 0 数”，“3 语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为 ，则 即可 求出。为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3 人 X X    5 5n A  A   2 3 2 3n A A A   P A A       2 3 2 3 5 5 1 10 n A A AP A n A     X 0,1,2,3 X 0,1,2,3   2 3 2 3 5 5 4 20 5 A AP X A       2 3 2 3 5 5 3 31 10 A AP X A       2 3 2 3 5 5 2 12 5 A AP X A       2 3 2 3 5 5 1 13 10 A AP X A     X X 0 1 2 3 P 2 5 3 10 1 5 1 10 2 3 1 10 1 2 3 13 10 5 10EX          X    3 10n C  A  n A  P A 中有 名语文教师”和“3 人中有 名数学教师”。 设事件 为“3 人中有 名语文教师”， 为“3 人中有 名数学教师”，事件 为“语 文教师人数多于数学教师人数” （2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10 个元素中不放回的抽取 3 个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量 的取值为 ，按 超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望 语文教师人数 可取的值为 ，依题意可得： 的分布列为 例 3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了 测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时 对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在 185cm 以上（包括 185cm）定义 为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在 190cm 以上（包括 190cm）的只有两个人，且均在甲队 （1）求甲，乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员 人数 （2）在甲，乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人，已知至少有 1 人成绩 为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率 i j iA i jB j A          1 0 2 0 2 1 3P A P A B P A B P A B P A     1 2 2 1 2 1 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 10 10 10 10 9 9 12 1 31 120 120 C C C C C C C C C C C        X 0,1,2,3 X 0,1,2,3  10,3,3X H   3 7 3 10 350 120 CP X C      1 2 3 7 3 10 631 120 C CP X C     2 1 3 7 3 10 212 120 C CP X C     3 3 3 10 13 120 CP X C   X X 0 1 2 3 P 35 120 63 120 21 120 1 120 35 63 21 1 90 1 2 3120 120 120 120 10EX          a  160,170 b （3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运动会 正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列及期望 （1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲， 乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直 方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队），由此可明确要确定全体 运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据， 则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以 190cm 以上的人数为突破口，通过频率直方 图可知 190cm 以上所占的频率为 ，而 190cm 以上只有 2 人，从而得到全体 人数，然后再根据频率直方图得到 的人数，减去甲队的人数即为 解：由频率直方图可知： 成绩在以 190cm 以上的运动员的频率为 所以全体运动馆总人数 （人） 成绩位于 中运动员的频率为 ，人数为 由茎叶图可知：甲队成绩在 的运动员有 3 名 （人） （2）思路：通过频率直方图可知 180cm 以上运动员总数为： （人），结合茎叶图可知乙在 180cm 以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公 式 ，分别求出“至少有 1 人成绩为‘优秀’”和“两人成绩均‘优秀’” 的概率，然后再代入计算即可 解：由频率直方图可得：180cm 以上运动员总数为： X 0.005 10 0.05   160,170 b 0.005 10 0.05  2 400.05a     160,170 0.03 10 0.3  40 0.3 12   160,170 12 3 9b     0.020 0.005 10 40 10         | P ABP B A P A  0.020 0.005 10 40 10    由茎叶图可得，甲乙队 180cm 以上人数恰好 10 人，且优秀的人数为 6 人 乙在这部分数据不缺失 设事件 为“至少有 1 人成绩优秀”，事件 为“两人成绩均优秀” （3）思路：由（2）及茎叶图可得：在优秀的 6 名运动员中，甲占了 4 名，乙占了 2 名，依 题意可知 的取值为 ，且 符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算 解：由（2）可得：甲有 4 名优秀队员，乙有 2 名优秀队员 可取的值为 的分布列为： 例 4：现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味 性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. （1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变量 的分布列与数学期望 .  A B     2 4 2 10 131 1 15 CP A P A C        2 6 2 10 1 3 CP AB C        1 15 5| = =3 13 13 P ABP B A P A   X 0,1,2 X X 0,1,2   0 2 4 2 2 6 10 15 C CP X C      1 1 4 2 2 6 81 15 C CP X C     2 0 4 2 2 6 6 22 =15 5 C CP X C   X X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 1 8 2 40 1 215 15 5 3EX        X Y    E （1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为 ，4 个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即 可。 解：依题意可得：参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为 设事件 为“有 个人参加甲游戏” （2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件 ，又因为 互斥，所以 根据加法公式可得： ，进而可计算出概率 解：设事件 为“甲游戏人数大于乙游戏人数” （3）思路： 表示两个游戏人数的差，所以 可取的值为 。 时对应 的情况为 ， 时对应的情况为 ， 时对应的情况为 ，从而可计算出 对应的概率，得到分布列 解： 可取的值为 1 2 1 6 3P   2 4 2 6 3P   1 2 1 6 3P   2 4 2 6 3P   iA i   4 4 1 2 3 3 i i i iP A C               2 2 2 2 4 1 2 8 3 3 27P A C             3 4A A 3 4,A A    3 4P P A P A  B 3 4B A A           3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 1 2 1 1 3 3 3 9P B P A A P A P A C C                       X Y    0,2,4 0  2A 2  1 3,A A 4  0 4,A A  0,2,4     2 2 2 2 4 1 2 80 3 3 27P P A C                     3 3 1 3 1 3 4 4 1 2 1 2 402 3 3 3 3 81P P A P A C C                               4 4 0 4 0 4 4 4 2 1 174 3 3 81P P A P A C C                 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 例 5：某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 分钟 （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望，方差 解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯， 即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算 解：设事件 为“在第 个路口遇到红灯”，则 ， 设事件 为“第三个路口首次遇到红灯”即 （2）思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留 2 分钟，一共四个路口，所以要停留的时 间 可取的值为 ，依题意可知 的取值对应的遇到红灯次数 为 ，且该 模型属于独立重复试验模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为 对应 取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可 得到答案，但过程比较复杂（尤其是方差），考虑到 符合二项分布，其期望与方差可通过 公式迅速得到，且 与 之间存在联系： 。所以先利用二项分布求出 的期望与方 差，再利用运算公式得到 的期望方差即可 解： 可取的值为 ，设遇到红灯的次数为 ，则 对应的值为 8 40 17 1480 2 427 81 81 81E        1 3 2  iA i   1 3iP A      21 3i iP A P A   A 1 2 3A A A A            1 2 3 1 2 3 2 2 1 4 3 3 3 27P A P A A A P A P A P A        0,2,4,6,8   0,1,2,3,4     2     0,2,4,6,8   0,1,2,3,4 14, 3B          4 0 4 2 160 0 3 81P P C               3 1 4 1 2 322 1 3 3 81P P C                 2 2 2 4 1 2 244 2 3 3 81P P C                    3 3 4 1 2 86 3 3 3 81P P C                的分布列为： 小炼有话说：本题的亮点在于求 的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个 有特殊分布的随机变量 ，通过两随机变量的联系（线性关系）和 的期望方差来得到所求。 例 6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为:应聘者从 道备选题中一次性随机 抽取 道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知 道备选题中应聘者甲有 道题能 正确完成， 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互 不影响 （1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ （1）思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定 能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从 6 道题目中抽取 3 道，抽到甲会的 4 道题的数量 ，可知 符合超几何分布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率 相同，所以乙正确完成面试题数 符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公 式即可得到分布列和方差 解：（1）设 为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得： ， 可取的值为     4 4 4 1 18 4 3 81P P C            0 2 4 6 8 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 14, 3B       1 44 3 3E np       1 2 81 4 3 3 9D np p       2    82 2 3E E E        2 322 2 3D D D        6 3 6 4 2 2 3 X X Y X Y  6,3,4X H X 1,2,3 的分布列为： 的分布列为： （2）思路：由（1）可知 ，说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙 发挥的稳定性，即再计算 ，比较它们的大小即可 解： 甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大 小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取 值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定），了解 它们的含义有助于解决此类问题 （2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算：   1 2 4 2 3 6 11 5 C CP X C      2 1 4 2 3 6 32 5 C CP X C      3 0 4 2 3 6 13 5 C CP X C    X X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 1 3 11 2 3 25 5 5EX        23, 3Y B       0 3 0 3 2 1 10 3 3 27P Y C                1 2 1 3 2 1 61 3 3 27P Y C               2 1 2 3 2 1 122 3 3 27P Y C               3 0 3 3 2 1 83 3 3 27P Y C             Y Y 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 1 2 4 80 1 2 3 227 9 9 27EY          EX EY ,DX DY      2 2 21 3 1 21 2 2 2 3 25 5 5 5DX             2 1 21 3 3 3 3DY np p      DX DY   ① 二项分布：若 ，则 ② 超几何分布：若 ，则 例 7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超 过 2 小时收费 100，超过 2 小时的部分按每小时 100 收取（不足一小时按一小时计算）．现 甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别 为 ，租用 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别为 ，两人租用的时间都不超过 4 小时． （1）求甲、乙两人所付费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望． 解：（1）设事件 为“甲，乙租用时间均不超过 2 小时” 事件 为“甲，乙租用时间均在 2 小时至 3 小时之间” 事件 为“甲，乙租用时间均在 3 小时至 4 小时之间” 故所求事件的概率 （2） 的取值可以为 则 故 的分布列为：  ,X B n p  1DX np p   , ,X H N M n     2 1 nM N M N nDX N N    1 1,3 2 1 1,3 2   A   1 1 1 3 2 6P A    B   1 1 1 2 3 6P B    C   1 1 1 1 11 13 2 2 3 36P C                        13 36P P A P B P C     200,300,400,500,600 1 1 1( 200) 2 3 6P      1 1 1 1 13( 300) 3 3 2 2 36P        1 1 1 1 1 1 1 1 11( 400) 12 3 2 3 3 3 2 2 36P            （ ） （1- ） 1 1 1 1 1 1 5( 500) 1 12 2 3 2 3 3 36P           （ ）（ ） 1 1 1 1 1( 600) 1 12 3 2 3 36P         （ ）（ ）   200 300 400 500 600 例 8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球自由下落，在下落的 过程中，将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到障碍物时， 向左，右两边下落的概率分别是 （1）分别求出小球落入 袋和 袋中的概率 （2）在容器入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 袋中的小球个数， 求 的分布列和数学期望 （1）思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍 物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到 袋中， 其余的情况均落入 袋，所以以 袋为突破口即可求出概率 解：设事件 为“小球落入 袋”，事件 为“小球落入 袋”，可知 依题意可得： （2）思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由（1）可得： 在每次试验中，落入 袋发生的概率为 ，所以 服从二项分布，即 ，运用 二项分布概率计算公式即可得到答案 解： 可取的值为 ，可知 P 1 6 13 36 11 36 5 36 1 36 1 13 11 5 1200 300 400 500 600 3506 36 36 36 36E            A B 1 2,3 3 A B  B  A B A A A B B B A   3 31 2 1 8 1 3 3 27 27 3P A                   21 3P B P A    B 2 3  24, 3B       0,1,2,3,4 24, 3B        4 0 4 1 10 3 81P C          3 1 4 2 1 81 3 3 81P C            2 2 2 4 2 1 242 3 3 81P C               3 3 4 2 1 323 3 3 81P C               4 4 4 2 164 3 81P C       的分布列为： 例 9“已知正方形 的边长为 ， 分别是边 的 中点． （1）在正方形 内部随机取一点 ，求满足 的概率； （2）从 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 ． （1）思路：首先明确本题应该利用几何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件个 数 为 无 限 多 个 ）。 为 “ 正 方 形 内 部 的 点 ”，所 以 ，设事件 为“ ”，则 点位于以 为圆心， 为半径的圆内，所以 为正方形与圆的公共部 分 面 积 ， 计 算 可 得 ： ，从而算出 解：设事件 为“ ” （ 2 ） 思 路 ： 八 个 点 中 任 取 两 点 ， 由 正 方 形 性 质 可 知 两 点 距 离 可 取 的 值 为 ，概率的计算可用古典概型完成。 为“八个点中任取两点”，则 ，当 时，两点为边上相邻两点，共 8 组；当 时，该两点与中 点相关有 4 组；当 时，除了正方形四条边，还有 ，所以由 6 组；当 时，该两点为顶点与对边中点，共 8 组；当 时，只能是正方形对角线 ， 有 2 组，根据每种情况的个数即可计算出概率，完成分布列   0 1 2 3 4 P 1 81 8 81 24 81 32 81 16 81 2 84 3 3E    ABCD 2 E F G H、 、 、 AB BC CD DA、 、 、 ABCD P | | 2PH  A B C D E F G H、 、 、 、 、 、 、   E    22 4S    A | | 2PH  P H 2  S A   1 2AHE DHG EHGS A S S S       扇形  P A A | | 2PH        1 22 4 8 S AP A S        1, 2,2, 5,2 2    2 8 28n C   1  2  2  ,EG HF 5  2 2  ,AC BD G F E HA B C D P 解： 可取的值为 的分布列为： 例 10：一种电脑屏幕保护画面，只有符号 和 随机地反复出现，每秒钟变化一次， 每次变化只出现 和 之一，其中出现 的概率为 ，出现 的概率为 ，若第 次出现 ，则记 ；出现 ，则记 ，令 ． （1）当 时，求 的分布列及数学期望． （2）当 时，求 且 的概率． （1）思路：依题意可知 表示试验进行了三次，可能的情况为 3 ，1 2 ，2 1 ，3 。且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应 的取值为 ， 分别计算出概率即可列出分布列 解： 的取值为 的分布列为：  1, 2,2, 5,2 2   2 8 8 81 28P C      2 8 4 42 28P C      2 8 6 62 28P C      2 8 8 85 28P C      2 8 2 22 2 28P C      1 2 2 5 2 2 P 2 7 1 7 3 14 2 7 1 14 2 1 3 2 1 5 2 2 2 51 2 2 5 2 27 7 14 7 14 7E              " "O " "X " "O " "X " "O p " "X q k " "O 1ka  " "X 1ka   1 2n nS a a a    3 1,4 2p q  3S 1 2,3 3p q  8 2S   0 1,2,3,4iS i  3S " "X " "O " "X " "O " "X " "O 3S 3, 1,1,3  3S 3, 1,1,3    3 3 3 1 13 4 64P S q            2 2 2 3 3 1 3 91 3 4 4 64P S C q p                  2 1 2 3 3 1 3 271 3 4 4 64P S C qp              3 3 3 3 273 4 64P S p        3S 3S 3 1 1 3 （2）思路：由 可知在 8 次试验中出现 5 次 ，3 次 。而 可知在前四次中，出现 的次数要大于出现 的次数，可根据前四次出现 的个数 进行分类讨论，并根据 安排 和 出现的顺序 解：设 为“前四次试验中出现 个 ，且 ， 三、历年好题精选 1、已知 箱装有编号为 的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）， 箱装有编号为 的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从 A 箱中任取一 个小球，乙从 B 箱中任取一个小球，用 分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.[来源:学科网] （1）求概率 ； （2）设随机变量 ，求 的分布列及数学期望. 2、春节期间，某商场决定从 3 种服装，2 种家电，3 种日用品中，选出 3 种商品进行促销活 动 （1）试求出选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率 （2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元，规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若 P 1 64 9 64 27 64 27 64    3 1 9 27 27 33 1 1 364 64 64 64 2E S            8 2S  " "O " "X  0 1,2,3,4iS i  " "O " "X " "X  0 1,2,3,4iS i  " "O " "X iA i X 8 2S   0 1,2,3,4iS i    4 3 4 3 3 0 4 1 2 1 3243 3 3 6561P A p C q p                             2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 1 2 2 1 1443 63 3 3 3 3 6561P A p C p q C q p                                             1 1 3 1 1 3 2 4 4P A pqpq C q p ppqq C q p    3 31 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 644 43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6561                                                        1 2 3 240 80 6561 2187P P A P A P A      A 1,2,3,4,5 B 2,4 ,X Y  P X Y , , X X Y Y X Y     m 中两次奖，则共获得数额为 元的奖金，若中 3 次奖，则共获得数额为 元的奖金，假 设顾客每次抽奖中奖的概率都是 ，请问：商场将奖金数额 最高定为多少元，才能使促 销方案对商场有利 3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿 者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在 175cm 以上（包 括 175cm）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”， 切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” （1）求 12 名男志愿者的中位数 （2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”，“非高个 子”中共抽取 5 人，再从这 5 个人中选 2 人，那么至少有 一个是“高个子”的概率是多少？ （3）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的 人数，试写出 X 的分布列并求出期望 4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行： ① 从 A 出发到达点 B 或 C 或 D，到达点 B,C,D 之一就停止 ② 每次只向右或向下按路线运行 ③ 在每个路口向下的概率为 ④ 到达 P 时只向下，到达 Q 点只向右 （1）求海宝从点 A 经过 M 到点 B 的概率和从 A 经过 N 到点 C 的概率 （2）记海宝到 B,C,D 的事件分别记为 ，求随机变量 的分布列及期望 5、如图，一个小球从 处投入，通过管道自上而下落至 或 或 ，已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的， 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入到小球落到 ， 则分别设为一、二、三等奖 （1）已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为 ， 记随机变量 为获得 等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及期 望 3m 6m 1 3 m 1 3 1, 2, 3X X X   X M A B C , ,A B C 50%,70%,90%  k  （2）若由 3 人参加促销活动，记随机变量 为获得一等奖或二等奖的人数，求 6、某地区一个季节下雨天的概率是 0.3，气象台预报天气的准确率为 0.8，某场生产的产品 当天怕雨，若下雨而不作处理，每天会损失 3000 元，若对当天产品作防雨处理，可使产品 不受损失，费用是每天 500 元 （1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失 的概率分布，并求其平均值 （2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以 表示每天的损失，写出 的概率分布，计算 的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择 7、正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，从正四棱柱的 12 条棱中任取两条，设 为随 机变量，当两条棱相交时，记 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两 条棱异面时，记 （1）求概率 （2）求 的分布列，并求其数学期望 8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予 以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再 由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能 通过各初审专家评审的概率均为 ，复审的稿件能通过评审的概率为 （1）求投到该杂志的一篇稿件被录用的概率 （2）记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望 9、（2016，湖南师大附中月考）师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从 小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔 10 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 20 名驾驶员进行 询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段： 统计后得到如下图的频率分布直方 图． （1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？ 并求这 20 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值； （2）若从车速在 的车辆中做任意抽取 3 辆，求   2P       1 3  0   3   0P    E 0.5 0.3 X X /km h            70,75 , 75,80 , 80,85 , 85,90 , 90,95 , 95,100  80,90 车速在 和 内都有车辆的概率； （3）若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，求车速在 的车辆数的数学期 望． 10、已知暗箱中开始有 3 个红球，2 个白球（所有的球除颜色外其它均相同），现每次从暗 箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的 5 个球（共 6 个球）一起放回箱中 （1）求第二次取出红球的概率 （2）求第三次取出白球的概率 （3）设取出白球得 5 分，取出红球得 8 分，求连续取球 3 次得分 的分布列和数学期望 11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 200 元的顾客，将获得一次摸奖机 会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红色球，1 个黄色球，1 个蓝色球和 1 个黑色球，顾客不放回的每次摸出 1 个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励 10 元，摸到黄色球或蓝色球奖励 5 元，摸到黑色球无奖励 （1）求一名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率 （2）记 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望 12、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在 9.5 分 及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的 过程相互独立，并规定： ① 两轮测试均通过的定为一级工程师 ② 仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师 ③ 第一轮测试没通过的不予定级 已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为 ；通过第二轮测试的概率 均为 （1）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率 （2）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率 （3）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量 ，求 的分布列 和数学期望 13、（2015，广东）已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 ____  80,85  85,90  90,100  90,95 X X X 1 2 2, ,3 3 3 1 2 X X X  ,B n p 30, 20EX DX  p  14、（2015，安徽）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随 机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件 正品时所需要的检测费用（单位：元），求 的分布列和均值 15、（2015，福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡 将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正 确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正 确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 ，求 的分布列和数学期望． 16、（2015，天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参 加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选 手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. （1）设 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 发生的概率； （2）设 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列和数学期望. 17、（2015，山东）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于 百位数字，则称 为“三位递增数”（如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参 加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽 取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能 被 10 整除，得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分. （1）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； （2）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 18、（2014，四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出 现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次 音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分)．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列． X X X X A A X X n n n X EX 1 2 （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反 而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 19、（2016，唐山一中）设不等式 确定的平面区域为 ， 确定的平 面区域为 . （1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域 内任取 3 个整点，求这些整点中恰 有 2 个整点在区域 内的概率； （2）在区域 内任取 3 个点，记这 3 个点在区域 内的个数为 ，求 的分布列和数学 期望. 20、（2016，天一大联考）某猜数字游戏规则如下：主持人给出 8 个数字，其中有一个是幸 运数字，甲，乙，丙三人依次来猜这个幸运数字，有人猜中或者三人都未猜中游戏结束。甲 先猜一个数，如果甲猜中，则甲获得 10 元奖金，如果甲没有猜中，则主持人去掉四个非幸 运数字（包括甲猜的）；乙从剩下的四个数中猜一个，如果乙猜中，则甲，乙均获得 5 元奖 金，如果乙没有猜中，则主持人再去掉两个非幸运数字（包括乙猜的）；丙从剩下的两个数 中猜一个，如果丙猜中，则甲，乙，丙均获得 2 元奖金。如果丙没有猜中，则三个人均没有 奖金 （1）求甲至少获得 5 元奖金的概率 （2）记乙获得的奖金为 元，求 的分布列及数学期望 21、（2016，广东省四校第二次联考）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校 高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预 赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表． 分数（分数段） 频数（人数） 频率 [60，70） 9 [70，80） 0.38 [80，90） 16 0.32 [90，100） 合 计 1 （1）求出上表中的 的值； （2）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出 2 2 4x y  U | | | | 1x y  V U V U V X X X X x y z s p , , , ,x y z s p 场顺序．已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格． ① 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； ② 记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为 ，求 的分布列和数学期望． 22、（2016，唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择 一种， 方案一：每满 200 元减 50 元： 方案二：每满 200 元可抽奖一次．具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所 得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） （1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 习题答案： 1 、 解 析 ： （ 1 ） 设 事 件 为 “ 取 出 号 球 ”，设 事 件 为 “ 取 出 号 球 ”，则 （2） 的取值为 X X iA i jB j   1 1 1 5 2 10i jP A B             3 2 4 2 5 2 5 4 2 5P X Y P A B P A B P A B P A B        2,3,4,5      1 2 2 2 12 5P P A B P A B        3 2 13 10P P A B               4 2 1 4 2 4 3 4 4 4 14 2P P A B P A B P A B P A B P A B             5 2 5 4 15 5P P A B P A B     的分布列为： 2、解析：(1)设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A，从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中，选出 3 种商品，一共有 种不同的选法，选出的 3 种商品中，没有家电的选 法有 种． 所以，选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 （2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ，其所有可能的取值为 3、解析：（1）由茎叶图可得：男志愿者身高数据为： 所以中位数为： （2）由茎叶图可得：“高个子”12 人，“非高个子”18 人 所以这 5 个人中，有 2 个高个子，3 个“非高个子” 设事件 为：“至少有一个是‘高个子’” （3）由茎叶图可得高个子中能担任礼仪小姐的有 4 人 则 可取的值为   2 3 4 5 P 1 5 1 10 1 2 1 5 1 1 1 1 372 3 4 55 10 2 5 10E          3 8C 3 6C   3 6 3 8 91 14 CP A C   X 0, ,3 ,6m m m   31 80 1 3 27P X           2 1 3 1 1 41 3 3 9P X m C           2 2 3 1 1 23 1 3 3 9P X m C                 31 16 3 27P X m       8 4 2 1 40 3 627 9 9 27 3EX m m m m          4 100 753 m m    159,168,169,170,175,176,178,181,182,184,187,191 176 178 1772 cm  A     2 3 2 5 71 1 10 CP A P A C      X 0,1,2,3 的分布列为： 4、解析：（1）依题意可得每个路口向下的概率为 ，向右的概率为 设事件 为“点 A 经过 M 到点 B” 设事件 为“从 A 经过 N 到点 C” （2） 的分布列为： 5、解析：（1） 可取的值为   3 8 3 12 140 55 CP X C     2 1 8 4 3 12 281 55 C CP X C     1 2 8 4 3 12 122 55 C CP X C     3 4 3 12 13 55 CP X C   X X 0 1 2 3 P 14 55 28 55 12 55 1 55 14 28 12 10 1 2 3 155 55 55 55EX          1 3 2 3 A   2 1 2 1 1 2 4 3 3 3 81P A C        B   1 1 2 2 1 2 1 2 16 3 3 3 3 81P B C C         3 2 2 3 1 1 2 1 9 11 3 3 3 3 81 9P X C                  2 2 2 4 1 2 24 82 3 3 81 27P X C                3 2 2 3 2 2 1 2 48 163 3 3 3 3 81 27P X C               X X 1 2 3 P 1 9 8 27 16 27 1 8 16 671 2 39 27 27 27EX         50%,70%,90% 的分布列为： （2）由（1）可知：获得一等奖或二等奖的概率为 ，且 6、解析：（1） 可取的值为 ，依题意可得： （2） 可取的值为 的分布列为：   4 31 1 350% 2 2 16P                 3 21 1 370% 2 2 8P                 2 2 41 1 1 790% +2 2 2 16P                       50% 70% 90% P 3 16 3 8 7 16 3 3 750% 70% 90% 75%16 8 16E        3 3 9 16 8 16  93,16B        2 2 3 9 9 17012 116 16 4096P C                0,3000    0 0.7, 3000 0.3P P     0.7 0 3000 0.3 900E       0,500,3000  0 0.7 0.8 0.56P       500 0.3 0.8 0.7 0.2 0.38P         3000 0.2 0.3 0.06P        0 500 3000 P 0.56 0.38 0.06 0 0.56 500 0.38 3000 0.06 370E        ，所以按天气预报作防雨处理是正确的选择 7、解：（1） （2） 可取的值为 的分布列为： 8、解：（1）设事件 为“一篇稿件被录用” （2） 可取的值为 ，可知 的分布列为： E E    2 3 2 12 8 40 11 CP C     0,1, 2, 3,2,3   2 3 2 12 8 40 11 CP C      2 12 8 41 33P C      2 12 2 12 33P C      2 12 4 23 33P C      2 12 4 22 33P C      43 11P      0 1 2 3 2 3 P 4 11 4 33 1 33 2 33 2 33 4 11 4 4 1 2 2 4 44 2 2 30 1 2 3 2 311 33 33 33 33 11 33E                A   2 1 2 1 1 1 3 2 2 2 2 10 5P A C                 X 0,1,2,3,4 24, 5X B       4 0 4 3 810 5 625P X C          3 1 4 3 2 2161 5 5 625P X C               2 2 2 4 3 2 2162 5 5 625P X C               3 3 4 3 2 963 5 5 625P X C            4 4 4 2 164 5 625P X C       X X 0 1 2 3 4 9、解析：（1）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样．这 40 辆小型汽 车车速众数的估计值为 87.5，中位数的估计值为 87.5 （2）车速在 的车辆有 辆，其中速度在 和 内 的车辆分别有 4 辆和 6 辆 设事件 为“ 内有 辆车”，事件 为“ 内有 辆车”，事件 为“车速在 和 内都有车辆” （3）车速在 的车辆共有 7 辆，车速在 和 的车辆分别有 5 辆和 2 辆，若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，设车速在 的车辆数为 ，则 的可能取值为 1、2、3． ， ． 故分布列为 1 2 3 ∴车速在 的车辆数的数学期望为 ． 10、解析：（1）设事件 为“第二次取出红球” 可得 （2）设事件 为“第三次取出白球”，则包含白白白，白红白，红白白，红红白 （3） 可取的值为 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 24, 5X B      2 84 5 5EX     80,90  0.2 0.3 20 10    80,85  85,90 iA  80,85 i jB  85,90 j A  80,85  85,90       2 1 1 2 4 6 4 6 2 1 1 2 3 3 10 10 4 5 C C C CP A P A B P A B C C       90,100  90,95  95,100  90,100  90,95 X X 1 2 2 1 5 2 5 2 3 3 7 7 1 4( 1) , ( 2)7 7 C C C CP x P xC C      2 0 5 2 3 7 2( 3) 7 C CP x C   X P 1 7 4 7 2 7  90,95 1 4 2( ) 1 2 37 7 7E X       A   2 3 3 3 5 3 5 5 5 5 5 5 5P A       B   2 2 5 2 5 5 2 3 2 5 3 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5P B                       3 3 5 2 2 5 5 5 5 5 5 5       X 15,18,21,24 的分布列为： 11、解：（1）设事件 为“一名顾客摸球 3 次停止摸奖” 则 （2） 的取值为 的分布列为： 12、解：（1）设事件 为“甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师” 所以 （2）设甲，乙，丙被定为一级工程师的事件分别为 ，事件 表示所求事件   2 2 5 2 5 5 2815 5 5 5 5 5 5 125P X             2 3 2 5 2 2 5 3 3 2 2 5 2118 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125P X                        3 3 5 2 2 3 3 5 3 2 3 5 2421 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125P X                        3 3 5 3 5 5 5224 5 5 5 5 5 5 125P X          X X 15 18 21 24 P 28 125 21 125 24 125 52 125 28 21 24 52 10215 18 21 24125 125 125 125 5EX          A   3 2 1 1 4 3 2 4P A     X 0,5,10,15,20   10 4P X     2 1 15 4 3 6P X       2 1 1 1 1 110 4 3 2 4 3 6P X          2 1 1 1 2 1 115 4 3 2 4 3 2 6P X                   120 1 0 5 10 15 4P X P X P X P X P X           X X 0 5 10 15 20 P 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 1 1 1 15 10 15 20 106 6 6 4EX          A   1 1 2 1 113 2 3 2 18P A          1 2 3, ,B B B C  1 1 1 1 3 2 6P B     2 2 1 1 3 2 3P B     3 2 1 1 3 2 3P B           1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P B B B P B B B P B B B    （3） 可取的值为 的分布列为： 13、答案： 解 析 ： 因 为 ， 所 以 ， 从 而 ，可得 14、解析：（1）设事件 为“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品” （2） 的可能取值为 的分布列为： 5 1 1 1 2 1 1 1 2 1 6 3 3 6 3 3 6 3 3 6          X 0,1,2,3    1 2 3 100 27P X P B B B           1 2 3 1 2 3 1 2 3 41 9P X P B B B P B B B P B B B            1 2 3 1 2 3 1 2 3 12 6P X P B B B P B B B P B B B        1 2 3 13 54P X P B B B   X X 0 1 2 3 P 10 27 4 9 1 6 1 54 10 4 1 1 50 1 2 327 9 6 54 6EX          1 3  ,X B n p  30, 1 20EX np DX np p     21 3 DX pEX    1 3p  A   1 1 2 3 2 5 3 10 A AP A A    X 200,300,400   2 2 2 5 1200 10 AP X A     3 1 1 2 3 2 3 2 3 5 3300 10 A C C AP X A          6400 1 300 200 10P X P X P X       X 1 3 6200 300 400 35010 10 10EX        15、解析：（1）设事件 为“当天小王的该银行卡被锁定” （2）依题意得， 所有可能的取值是 1，2，3 的分布列为： 16、解析：（1） （2） 所有可能的取值是 1，2，3，4，可知 符合超几何分布 所以随机变量 的分布列为 所以随机变量 的数学期望 17、解：（1） （2） 所有可能的取值是 的分布列为： X 0 -1 1 P 18、解析：（1） 所有可能的取值是 A   5 4 3 1 6 5 4 2P A     X      1 5 1 1 5 4 21 , 2 , 36 6 5 6 6 5 3P X P X P X           X 1 1 2 51 2 36 6 3 2EX          2 2 2 2 2 3 3 3 4 8 6 35 C C C CP A C   X X   4 5 3 4 8 ( 1,2,3,4) k kC CP X k kC     X X 1 2 3 4 P 1 14 3 7 3 7 1 14 X   1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2E X          125,135,145,235,245,345 X 1,0,1 3 2 1 1 2 8 4 4 4 4 3 3 3 9 9 9 2 1 11( 0) , ( 1) , ( 1)3 14 42 C C C C CP X P X P XC C C            X 2 3 1 14 11 42 2 1 11 40 ( 1) 13 14 42 21EX         X 10,20,100, 200 的分布列为： （2）设“第 盘没有出现音乐”为事件 所以 设事件 为“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐” （3）由（1）知， 这表明，获得的分数的均值为负值 所以多次游戏之后分数减少的可能性更大 19、解析：（1）依题意可得 中整点为： 共 13 个， 中整点为 ，设事件 为“整点中恰有 2 个整点在区域 内” （ 2 ） 平 面 区 域 的 面 积 为 ， 平 面 区 域 的 面 积 为 可取的值为 可知 X 10 20 100 －200 P 3 8 3 8 1 8 1 8   1 2 1 3 1 1 310 12 2 8P X C                2 1 2 3 1 1 320 12 2 8P X C                3 3 3 1 1100 2 8P X C         3 0 3 1 1200 2 8P X C        X i  1,2,3iA i         1 2 3 1200 8P A P A P A P X      A      1 2 3 5111 1 512P A P A P A A A       3 3 1 1 510 20 100 2008 8 8 8 4EX            U            0,0 , 0, 1 , 0, 2 , 1,0 , 2,0 , 1, 1      V      0,0 , 0, 1 , 1,0  A V   2 1 5 8 3 13 40 143 C CP A C   U   22 4S U     V   1 2 2 22S V     X 0,1,2,3 13, 2X B          33 0 3 3 2 110 1 2 8P X C              22 1 3 3 3 2 11 11 12 2 8P X C               的分布列为： 20、解析：（1）设事件 为“甲至少获得 5 元奖金” （2）依题意可知 可取的值为 的分布列为： 21、解析：（1）由题意知，由 上的数据，所以 ，同理可得： （2）① 由（1）可得，参加决赛的选手共 人 设事件 为“甲不在第一位、乙不在第六位” ② 随机变量 的可能取值为 所以 的分布列为：    2 2 3 3 3 2 11 12 12 2 8P X C                    3 3 3 3 1 13 2 8P X C         X X 0 1 2 3 P  3 3 2 1 8     2 3 3 2 1 8      3 3 2 1 8    3 1 8 3 2EX   A   1 7 1 11 8 8 4 32P A     X 0,2,5   1 7 3 1 290 8 8 4 2 64P X         7 3 1 212 8 4 2 64P X        7 1 75 8 4 32P X     X X 0 2 5 P 29 64 21 64 7 32 29 21 7 70 2 564 64 32 4EX         80,90 16 500.32n p   9 0.1850x   19, 6, 0.12y z s   6 A   5 1 1 4 5 4 4 4 6 6 7 10 A C C AP A A      X 0,1,2   3 4 3 6 10 5 CP X C      1 2 2 4 3 6 31 5 C CP X C     2 1 2 4 3 6 12 5 C CP X C   X 22、解析：（1）设事件 为“顾客获得半价”，则 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为： （2）若选择方案一，则付款金额为 若选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为 所以方案二更为划算 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 1 3 10 1 2 15 5 5EX        A   3 2 1 3 4 4 4 32P A     229 1831 32 1024P       320 50 270  X X 160,224,256,320   3160 32P X     3 2 3 3 2 1 1 2 1 13224 4 4 4 4 4 4 4 4 4 32P X              3 2 3 1 2 3 1 2 1 13256 4 4 4 4 4 4 4 4 4 32P X              1 2 3 3320 4 4 4 32P X      3 13 13 3160 224 256 320 24032 32 32 32EX         