2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅰ卷）（参考答案） 4页

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12ZxxkCom 答案 C B C B A B C A B C D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 1 14.2 15. 16. ‎ 三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且． ‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，若数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：（1）由已知得，解得，所以…………………………2分 ‎ 当时，， （1）…………………………………………3分 ‎ ，当时， （2）………………………5分 ‎ 由（1），（2）得…………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以……………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………10分 ‎ ……………………………………………………………………………………………………11分 ‎…………………………………………………………………………………………12分 ‎【点评】：本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前项和与的关系等基础知识．同时考查裂项相消法求数列的前n项和的探究方法及整体思想，运算求解能力等．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 正方体的棱长为1，是边的中点，点在正方体内部或正方体的面上，且满足：面。‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；‎ ‎（Ⅱ）设直线与动点的轨迹所在平面所成的角记为，求．‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：解：（Ⅰ）如图，在正方体内作出截面EFGHIJ，（或画出平面图形）…………4分 它的形状是一个边长为正六边形…………………………5分 可以计算出它的面积为……………………………………6分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）法一：如图，连交于点，连，‎ 所求面//面， 所求角=与面所成的角，‎ 面面，线在面的投影为，‎ 即为所求的角…………………………………………11分 在中，由余弦定理知 所以，………………………………………………12分 法二：以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，‎ 则…………………………………………………………8分 可求出平面的法向量为，又………………………………10分 所以，……………………………………………………………………………………12分 ‎【点评】：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了迎接2019年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎（2）已知本次质检数学测试的成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该省有10万考生，试估计数学成绩在的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）‎ ‎（3）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 参考数据：若，则， ，.‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：‎ ‎（1）填表如下：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.24‎ ‎0.42‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………2分 ‎（2）依题意，， ‎ 故， ‎ 故，故， 故所求人数为(人). ……………………………………………6分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎（3）依题意，任取1人，成绩在的概率为，，‎ ，，，， ，…………………………………10分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ [:]‎ [:]‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………11分 故.………………………………………………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为，且椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点，且，则当取得最小值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：‎ ‎（1）联立解得，故. 又，，解得，，故椭圆的标准方程为.…………………….….………………………………4分 ‎（2）设，，故.当直线垂直于轴时，‎ ‎，，且，此时.………6分 当直线不垂直于轴时，设直线，联立 整理得，所以，，………8分 故 ‎.综上所述，的最小值为，此时直线的方程为.‎ ‎……………………………………………………………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个不同的零点 ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是的两个零点，证明：‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：(Ⅰ)函数的定义域为， …… 1分 ① 当时，易得，则在上单调递减，则至多有一个零点，不符合题意，舍去。 ……………………………………………………… ……………………………………. 2分 ② 当时，令得，则列表如下：‎ x a ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以 ‎ 只需 ………………………………………………………………………………………………… 4分 设 ‎ 因为则在上单调递增。‎ 又因为所以时;时。‎ 所以 综上时函数有两个零点 …………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)可知有两个不同的零点，所以，且当时是增函数 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ 不妨设则设 ………………………………8分 则 ……… 10分 时，所以单调递增 …………………………………………………………11分 又所以,所以 ‎ 因为，所以 因为所以 因为，所以在上单调递减 ，所以 所以 ………………………………………………………………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若，是曲线上两点，求的值．‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，‎ 即，由，，可得曲线的极坐标方程为，因为曲线经过点，所以，‎ 解得（负值舍去），所以曲线的极坐标方程为．…………………………5分 ‎（2）因为，在曲线上，所以，，‎ 所以．‎ ‎…………………………………………………………………………………………………10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若关于x的不等式在上无解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：（1）依题意，，‎ 当时，原式化为，即，解得；‎ 当时，原式化为，即，解得；‎ 当时，原式化为，即，无解.‎ 综上所述，所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 ‎（2）由题意可知，时，恒成立．‎ 当时，，得；‎ 当时，，得.综上所述，实数m的取值范围为．…………………………………………………………………10分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎