高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-5 平面向量应用举例 7页

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．(2013·烟台模拟)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为(　　)‎ A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎[答案]　B ‎[解析]　由(－)·(＋－2)＝0，‎ 可知·(＋)＝0，‎ 设BC的中点为D，则＋＝2，‎ 故·＝0，所以⊥.‎ 又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．(2013·福建文)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A.　　 　B．‎2‎　　 　C．5　　　　D．10‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．‎ 由题意知AC，BD为四边形对角线，‎ 而·＝1×(－4)＋2×2＝0‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎∴S四边形ABCD＝×||×||‎ ‎＝×× ‎＝××＝5.‎ ‎3．若向量＝(2,2)、＝(－2,3)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为(　　)‎ A．(0,5) B．(4，－1)‎ C．2 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，‎ ‎∴|F1＋F2|＝5.‎ ‎4．速度|v1|＝‎10 m/s，|v2|＝‎12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是(　　)‎ A．‎2 m/s B．‎10 m/s C．‎12 m/s D．‎2‎m/s ‎[答案]　D ‎[解析]　|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2‎ ‎＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.‎ ‎∴|v|＝2(m/s)．‎ ‎5．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)‎ A．2 B．2 ‎ C．2 D．6‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，‎ ‎∴|F3|＝|－F1－F2|＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ ‎6．已知向量a表示“向东航行‎1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示(　　)‎ A．向东北方向航行‎2 km B．向北偏东30°方向航行‎2 km C．向北偏东60°方向航行‎2 km D．向东北方向航行(1＋)km ‎[答案]　B ‎[解析]　a与b的夹角为90°，则a·b＝0，‎ 则|a＋b|＝＝ ‎＝＝＝2，‎ a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1.‎ 设a与a＋b的夹角为θ，‎ 则cosθ＝＝＝，‎ ‎∴θ＝60°，即a＋b表示向北偏东30°方向航行‎2 km.‎ 二、填空题 ‎7．某人从点O向正东走‎30 m到达点A，再向正北走‎30‎m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．‎ ‎[答案]　60　60°‎ ‎[解析]　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，‎ 则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.‎ ‎8．(浙江高考)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．‎ ‎[答案]　[，π]‎ ‎[解析]　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：‎ S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，‎ 所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．‎ ‎9．(广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为____________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋‎2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，‎ 所以|F1＋F2|＝.‎ 三、解答题 ‎10．如图所示，已知▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．‎ ‎[解析]　设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，‎ 则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.‎ ‎∴a·b＝|a||b|cosθ＝.‎ 又∵＝a＋b，＝a－b，‎ ‎∴||＝＝ ‎＝＝，‎ ‎||＝＝ ‎＝＝.‎ ‎∴AC＝，DB＝.‎ ‎11．已知：▱ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．‎ ‎[证明]　设＝a，＝b，‎ 由于四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴＝＋＝a＋b，‎ ＝－＝b－a.‎ ‎∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.‎ ‎∴|a＋b|2＝|b－a|2.‎ ‎∴|a|2＋‎2a·b＋|b|2＝|b|2－‎2a·b＋|a|2.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD.‎ ‎∴四边形ABCD是矩形．‎ ‎12．今有一小船位于d＝‎60 m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝‎80 m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为‎5 m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝)‎ ‎[解析]　如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向.‎ 则最小划速|v划|＝|v水|·sinθ，‎ sinθ＝＝＝，‎ ‎∴θ＝37°.‎ ‎∴最小划速应为v划＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．‎ 当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.‎