2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第20练 10页

第 20 练　直线与圆[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度： 求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度.‎ 考点一　直线的方程 方法技巧　(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.‎ ‎(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.‎ ‎(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.‎ ‎1.已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.‎ ‎2.已知A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[－2，0)∪[3，＋∞) B.(－∞，－1]∪(0，6]‎ C.[－2，－1]∪[3，6] D.[－2，0)∪(0，6]‎ 答案　C 解析　由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，‎ ‎∴≤0，‎ 解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.‎ ‎3.过点P(2，3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________.‎ 答案　12‎ 解析　 依题意，设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).‎ ‎∵点P(2，3)在直线l上，‎ ‎∴＋＝1，则ab＝3a＋2b≥2，‎ 故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号.‎ 因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值为12.‎ ‎4.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________.‎ 答案　3 解析　依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，‎ 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，‎ 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，‎ 根据平行线间的距离公式，得＝，即|m＋7|＝|m＋5|，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ 考点二　圆的方程 方法技巧　(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.‎ ‎(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程.‎ ‎5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)‎ A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ 答案　B 解析　设圆心坐标为(a，－a)，‎ 则＝，即|a|＝|a－2|，‎ 解得a＝1，‎ 故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎6.圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)‎ A.(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y－1)2＝25‎ 答案　A 解析　y＝的导数y′＝－，令－＝－2，‎ 得x＝1(舍负)，‎ 平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝(x＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为＝.‎ 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎7.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______________.‎ 答案　2＋y2＝ 解析　由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知，圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).‎ 设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，‎ 则有解得 所以圆的标准方程为2＋y2＝.‎ ‎8.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为____________.‎ 答案　x2＋2＝ 解析　因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，‎ 可设C(0，b)，‎ 设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.‎ 依题意，得解得 所以圆C的方程为x2＋2＝.‎ 考点三　点、直线、圆的位置关系 方法技巧　(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，‎ 将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.‎ ‎(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.‎ ‎9.过点P(－3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)‎ A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　点P(－3，1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，因为P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由＝1，得a＝－.‎ ‎10.圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)‎ A.(x－1)2＋(y－)2＝2‎ B.(x－1)2＋(y－2)2＝2‎ C.(x＋1)2＋(y＋)2＝4‎ D.(x－1)2＋(y－)2＝4‎ 答案　A 解析　由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.‎ ‎11.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.‎ 答案　5－4‎ 解析　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.‎ ‎12.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.‎ 答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ 解析　由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).‎ 又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a).‎ 由题意知与的夹角为120°，‎ 得cos 120°＝＝＝－，‎ 解得a＝.‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ ‎1.直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________.‎ 答案　∪ 解析　设直线的斜率为k，则k＝tan α＝－cos θ.‎ 因为－1≤cos θ≤1，所以－≤－cos θ≤.‎ 所以－≤tan α≤.‎ ‎①当0≤tan α≤时，0≤α≤；‎ ‎②当－≤tan α＜0时，≤α＜π.‎ 故此直线的倾斜角α的取值范围是∪.‎ ‎2.已知过点(2，4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________.‎ 答案　x－2＝0或3x－4y＋10＝0‎ 解析　当l斜率不存在时，符合题意；‎ 当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，‎ C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.‎ 由题意可得2＋2＝10，‎ 解得k＝，此时l：3x－4y＋10＝0.‎ 综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.‎ ‎3.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.‎ 答案　 解析　如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M 的半径，长度为1，|PQ|＝＝，‎ 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.‎ 所以|PM|的最小值为2.‎ 所以|PQ|＝≥＝.‎ 解题秘籍　(1)直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.‎ ‎(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.‎ ‎(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系.‎ ‎1.已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.‎ ‎∴命题p是命题q的充分不必要条件.‎ ‎2.两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)‎ A.(5，＋∞) B.(0，5]‎ C.(，＋∞) D.(0，]‎ 答案　D 解析　当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，‎ ‎∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，].故选D.‎ ‎3.已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)‎ A.－ B.1‎ C.2 D. 答案　C 解析　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1，0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.‎ ‎4.若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为(　　)‎ A.1 B.－3‎ C.1或－3 D.2‎ 答案　C 解析　∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝，‎ 又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.‎ ‎∴圆心C到直线的距离d＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴m＝1或m＝－3.‎ ‎5.已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴△ABC外接圆的圆心为，‎ ‎∴圆心到原点的距离d＝ ＝.‎ ‎6.已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)‎ A.10 B.9 C.10 D.9 答案　C 解析　易知最长弦为圆的直径10，‎ 又最短弦所在直线与最长弦垂直，‎ 且|PC|＝，‎ ‎∴最短弦的长为2＝2＝2，‎ 故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.‎ ‎7.已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为(　　)‎ A.(2，4)∪(6，8) B.(2.4]∪[6，8)‎ C.(2，4) D.(6，8)‎ 答案　A 解析　把x2＋y2－4x－6y＋11＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圆心坐标为(2，3)，半径为，‎ 则<<＋，‎ 解得2