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- 2021-06-10 发布
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2.3
双曲线的简单几何性质
---
直线与双曲线的位置关系
椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
∆<0
∆=0
∆>0
(
1
)联立方程组
(
2
)消去一个未知数
(
3
)
复习
:
相离
相切
相交
直线与双曲线位置关系:
X
Y
O
初步感知
分类
:
相离;相切;相交。
根据交点个数判定
X
Y
O
X
Y
O
相离
:0
个交点
相交
:
一个交点
相交
:
两个交点
相切
:
一个交点
图象法
:
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐近线平行
相交(一个交点)
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
代数法
:
判断直线与双曲线位置关系的操作流程图
(b
2
-a
2
k
2
)x
2
-2kma
2
x+a
2
(m
2
+b
2
)=0
1.
二次项系数为
0
时,
L
与双曲线的渐近线平行或重合。
重合:
无交点
;
平行:有一个交点。
2.
二次项系数不为
0
时
,
上式为一元二次方程
,
Δ>0
直线与双曲线相交(两个交点)
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的具体步骤
代数法
:
②
相切一点
: △=0
③
相 离
: △
<
0
①
相交两点
: △
>
0
同侧: >
0
异侧
:
<
0
一点
:
直线与渐近线平行
典型例题
:
特别注意
:
一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支
(一)直线与双曲线的位置关系
例
1
如果直线
y=kx-1
与双曲线
x
2
-y
2
=4
没有公共点
,求
k
的取值范围。
即此方程无解。
引申:
(
1
)
如果直线
y=kx-1
与双曲线
x
2
-y
2
=4
有
两个公共
点,
求
k
的取值范围。
直线与双曲线位置关系
(
从“数”角度研究
)
问
: k≠±1
有何几何意义?
(
2
)
如果直线
y=kx-1
与双曲线
x
2
-y
2
=4
的右支有两个公共点,求
k
的取值范围。
此时等价于(
1
)式方程有两个不等的正根,则
左支
两支都有
引申:
(
3
)
如果直线
y=kx-1
与双曲线
x
2
-y
2
=4
只有一个公
共点,求
k
的值。
即此方程只有一解
直线与双曲线只有一个公共点有两种情况:
①
直线平行渐近线
②
直线与双曲线相切
注意:极易疏忽
!
1.
过点
P(1,1)
与双曲线
只有
共有
_______
条
.
变题
:
将点
P(1,1)
改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).
答案又是怎样的
?
4
1.
两条
;2.
三条
;3.
两条
;4.
零条
.
交点的
一个
直线
X
Y
O
(
1
,
1
)
。
练习
:
(一)直线与双曲线的位置关系
2.
双曲线
x
2
-y
2
=1
的左焦点为
F,
点
P
为左支下半支上任意一点
(
异于顶点
),
则直线
PF
的斜率的变化范围是
_________
练习
:
(一)直线与双曲线的位置关系
3.
过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的
取值范围是
练习
:
(一)直线与双曲线的位置关系
例
2.
以
P
(
1
,
8
)
为中点作双曲线为
y
2
-4x
2
=4
的一条弦
AB
,求直线
AB
的方程。
典型例题
:
解法一:
(
1
) 当过
P
点的直线
AB
和
x
轴垂直时,直线被双曲线截得的弦的中点不是
P
点。
(
2
) 当过
P
点的直线
AB
和
x
轴不垂直时,设其斜率为
k
。则直线
AB
的方程为
y-8=k
(
x-1
)
(二)双曲线的弦中点问题
典型例题
:
(二)双曲线的弦中点问题
典型例题
:
(二)双曲线的弦中点问题
例
3
设两动点
A
、
B
分别在双曲线
的两条渐近线上滑动,且
|AB|
=
2
,求线段
AB
的中点
M
的轨迹方程
.
o
x
y
B
A
M
典型例题
:
(二)双曲线的弦中点问题
分析:只需证明线段
AB
、
CD
的中点重合即可。
证明
: (1)
若
L
有斜率,设
L
的方程为
:y=kx+b
典型例题
:
(二)双曲线的弦中点问题
证明
: (1)
若
L
有斜率,设
L
的方程为
:y=kx+b
典型例题
:
(二)双曲线的弦中点问题
练习题
:
(二)双曲线的弦中点问题
经检验
:
此直线与双曲线不相交
,
不合题意
.
因此中点弦不存在
.
典型例题
:
解读
79
页例题
20
(三)双曲线的对称问题
①
典型例题
:
(三)双曲线的对称问题
②
典型例题
:
(三)双曲线的对称问题
解:将
y=ax+1
代入
3x
2
-y
2
=1
又设方程的两根为
x
1
,x
2
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
得
(3-a
2
)x
2
-2ax-2=0,
它有两个实根,必须△
>0,
∵
原点
O
(
0
,
0
)在以
AB
为直径的圆上,
例
7
、直线
y-ax-1=0
和曲线
3x
2
-y
2
=1
相交,交点为
A
、
B
,当
a
为何值时,以
AB
为直径的圆经过坐标原点。
典型例题
:
同步导学
34
页
12
题
垂直与对称问题
解:将
y=ax+1
代入
3x
2
-y
2
=1
又设方程的两根为
x
1
,x
2
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
得
(3-a
2
)x
2
-2ax-2=0,
它有两个实根,必须△
>0,
∵
原点
O
(
0
,
0
)在以
AB
为直径的圆上,
∴OA⊥OB
,即
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
即
x
1
x
2
+(ax
1
+1)(ax
2
+1)=0,
∴(a
2
+1) x
1
x
2
+a(x
1
+x
2
)+1=0,
解得
a=±1.
(三)双曲线的垂直和对称问题
已知直线
y=ax+1
与双曲线
3x
2
-y
2
=1
相交于
A
、
B
两点
.
是否存在这样的实数
a,
使
A
、
B
关于
y=2x
对称?
若存在,求
a;
若不存在,说明理由
.
练习题
:
(三)双曲线的对称问题
典型例题
:
(四)双曲线的范围问题
典型例题
:
(四)双曲线的范围问题
典型例题
:
(四)双曲线的范围问题
例
9
过双曲线
的右焦点
F
作倾斜角为
60
°
的直线
l
,若直线
l
与双曲线右支有且只有一个交点,求双曲线离心率的取值范围
.
o
F
x
y
l
e
∈
[2
,+∞)
典型例题
:
(四)双曲线的范围问题
练习
:
参考解读
78
页
19
题
(四)双曲线的范围问题
练习
:
再谈离心率
(四)双曲线的范围问题
#
、设双曲线
C
: 与直线
相交于两个不同的点
A
、
B
。
(
1
)求双曲线
C
的离心率
e
的取值范围。
(
2
)设直线
l
与
y
轴的交点为
P
,且 求
a
的值。
练习
:
解读
118
页
17
题
(四)双曲线的范围问题
1 .
直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法;
2.
中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标,
利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算,
使问题获解,但须注意检验直线与双曲线是否相交。
3.
涉及双曲线的参数范围问题,求解的办法是利用问
题的存在性,如直线与双曲线相交时;或是运用判别
式大于零列不等式求解。
小结:
拓展延伸