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  • 2021-06-10 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版(理)12-2直接证明与间接证明学案

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‎§12.2 直接证明与间接证明 考纲展示► ‎ ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.‎ ‎2.了解反证法的思考过程和特点.‎ 考点1 分析法 分析法 ‎(1)定义:从要证明的________出发,逐步寻求使它成立的________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做分析法.‎ ‎(2)框图表示:→→ ‎→…→.‎ 答案:(1)结论 充分条件 ‎(1)[教材习题改编]命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了________.‎ 答案:综合法 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件到结论,所以该命题的证明过程应用了综合法.‎ ‎(2)[教材习题改编]用分析法证明不等式+<2(n>0)时,最后推得的显然成立的最简不等式是________.‎ 答案:0<4‎ 解析:要证+<2,即证2n+4+2<4(n+2),即证a,且B=60°,所以A≠150°),所以C=90°,即△ABC是直角三角形.‎ 证明的两种常见方法:综合法;分析法.‎ ‎(1)设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),证明a>b应选用的方法是________.‎ 答案:综合法 解析:∵当x<0时,b=ex,∴ 0b.故应选用综合法.‎ ‎(2)证明不等式+<+最合适的方法是________.‎ 答案:分析法 解析:要证明不等式+<+,只需证明不等式(+)2<(+)2,逐步推出结论成立的充分条件.故应选用分析法.‎ ‎[典题2] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)ab+bc+ac≤;‎ ‎(2)++≥1.‎ ‎[证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥‎2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥‎2a,+c≥2b,+a≥‎2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ ‎[点石成金] 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.‎ 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:‎ ‎(1)直线PA∥平面DEF;‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,‎ 所以DE∥PA.‎ 又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,‎ 所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,‎ 所以DE∥PA,DE=PA=3,‎ EF=BC=4.‎ 又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,‎ 所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.‎ 又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC,‎ 又DE⊂平面BDE,‎ 所以平面BDE⊥平面ABC.‎ 考点3 反证法 反证法 假设原命题________(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出________,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.‎ 答案:不成立 矛盾 ‎[教材习题改编]用反证法证明“,,不可能成等差数列”时,第一步应假设________.‎ 答案:,,成等差数列 解析:根据反证法的特点,第一步应假设“,,成等差数列”.‎ 证明方法的两个易错点:反证法的假设.‎ 用反证法证明“如果a>b,那么>”,假设内容应是________.‎ 答案:假设结论不成立,将结论>否定,即≤ .‎ ‎[典题3] 设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎(1)[解] 设{an}的前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;‎ 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①‎ qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②‎ ‎①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,‎ ‎∴Sn=,‎ ‎∴Sn= ‎(2)[证明] 假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),‎ 即a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,‎ 即aq2k+‎2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.‎ ‎∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.‎ ‎∵q≠0,∴q2-2q+1=0,‎ ‎∴q=1,这与已知矛盾.‎ ‎∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.‎ ‎[点石成金] 反证法证明问题的三步骤 ‎(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立;(否定结论)‎ ‎(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)‎ ‎(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)‎ 已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.‎ 证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,‎ 则有a+b+c<3,‎ 而a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立,‎ 故a,b,c至少有一个不小于1.‎ ‎[方法技巧] 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路,再运用综合法证明;或两种方法交叉使用.‎ ‎[易错防范] 1.用分析法证明时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等,逐步分析,直至一个明显成立的结论出现为止.‎ ‎2.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设的命题进行推理,如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1.[2016·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎,丙说:“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎,则甲的卡片上的数字是________.‎ 答案:1和3‎ 解析:由丙所言可能有两种情况.一种是丙持有“1和2”,结合乙所言可知乙持有“2和3”,从而甲持有“1和3”,符合甲所言情况;另一种是丙持有“1和3”,结合乙所言可知乙持有“2和3”,从而甲持有“1和2”,不符合甲所言情况.故甲持有“1和3”.‎ ‎2.[2014·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q ‎-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.‎ ‎(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;‎ ‎(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.‎ 证明:若an-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)由已知得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.‎ 由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,‎ 即b2-b+=b,解得b=1或b=3.‎ 因为b>1,所以b=3.‎ ‎(2)假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,‎ 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 所以有即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.‎ ‎[易错警示] 利用反证法进行证明时,一定要对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立.‎ 三 证明唯一性命题 ‎[典例3] 已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长 为1的正方形,又SB=SD=,SA=1.‎ ‎(1)求证:SA⊥平面ABCD;‎ ‎(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)[证明] 由已知,得SA2+AD2=SD2,‎ ‎∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.‎ 又AB∩AD=A,‎ ‎∴SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)[解] 假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD.‎ ‎∵BC∥AD,BC⊄平面SAD,‎ ‎∴BC∥平面SAD.而BC∩BF=B,‎ ‎∴平面FBC∥平面SAD.‎ 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,‎ ‎∴假设不成立.‎ 故不存在这样的点F,使得BF∥平面SAD.‎ ‎[方法规律] 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,可用反证法来证,反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.‎

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