【数学】2018届一轮复习人教A版（理）12-2直接证明与间接证明学案 10页

‎§12.2　直接证明与间接证明 考纲展示►　‎ ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．‎ ‎2．了解反证法的思考过程和特点．‎ 考点1　分析法 分析法 ‎(1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．‎ ‎(2)框图表示：→→ ‎→…→.‎ 答案：(1)结论　充分条件 ‎(1)[教材习题改编]命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了________．‎ 答案：综合法 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件到结论，所以该命题的证明过程应用了综合法．‎ ‎(2)[教材习题改编]用分析法证明不等式＋<2(n>0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．‎ 答案：0<4‎ 解析：要证＋<2，即证2n＋4＋2<4(n＋2)，即证a，且B＝60°，所以A≠150°)，所以C＝90°，即△ABC是直角三角形.‎ 证明的两种常见方法：综合法；分析法．‎ ‎(1)设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，证明a>b应选用的方法是________．‎ 答案：综合法 解析：∵当x<0时，b＝ex，∴ 0b.故应选用综合法．‎ ‎(2)证明不等式＋<＋最合适的方法是________．‎ 答案：分析法 解析：要证明不等式＋<＋，只需证明不等式(＋)2<(＋)2，逐步推出结论成立的充分条件．故应选用分析法．‎ ‎[典题2]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ ‎[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ ‎[点石成金]　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.‎ 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：‎ ‎(1)直线PA∥平面DEF；‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，‎ 所以DE∥PA.‎ 又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，‎ 所以DE∥PA，DE＝PA＝3，‎ EF＝BC＝4.‎ 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，‎ 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.‎ 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，‎ 又DE⊂平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面ABC.‎ 考点3　反证法 反证法 假设原命题________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ 答案：不成立　矛盾 ‎[教材习题改编]用反证法证明“，，不可能成等差数列”时，第一步应假设________．‎ 答案：，，成等差数列 解析：根据反证法的特点，第一步应假设“，，成等差数列”.‎ 证明方法的两个易错点：反证法的假设．‎ 用反证法证明“如果a>b，那么>”，假设内容应是________．‎ 答案：假设结论不成立，将结论>否定，即≤ .‎ ‎[典题3]　设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎(1)[解]　设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴Sn＝ ‎(2)[证明]　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ 即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ 即aq2k＋‎2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ ‎[点石成金]　反证法证明问题的三步骤 ‎(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)‎ ‎(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)‎ ‎(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)‎ 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.‎ 证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，‎ 则有a＋b＋c<3，‎ 而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，‎ 故a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎[方法技巧]　分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．‎ ‎[易错防范]　1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论出现为止．‎ ‎2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ 答案：1和3‎ 解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．‎ ‎2．[2014·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q ‎－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．‎ ‎(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；‎ ‎(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.‎ 证明：若an－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．‎ 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎ ‎[易错警示]　利用反证法进行证明时，一定要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．‎ 三　证明唯一性命题 ‎[典例3]　已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长 为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)[证明]　由已知，得SA2＋AD2＝SD2，‎ ‎∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.‎ 又AB∩AD＝A，‎ ‎∴SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)[解]　假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.‎ ‎∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，‎ ‎∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，‎ ‎∴平面FBC∥平面SAD.‎ 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，‎ ‎∴假设不成立．‎ 故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.‎ ‎[方法规律]　当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．‎