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- 2021-06-10 发布
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1
单元质检卷一 集合、常用逻辑用语及不等式(A)
(时间:45 分钟 满分:100 分)
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)
1.(2019 四川成都二模,1)设全集 U=R,集合 A={x|-1-1}
2.已知不等式 ax2-5x+b>0 的解集为 x x<-1
3或 x>1
2 ,则不等式 bx2-5x+a>0 的解集为( )
A.{x| - 1
3 < x < 1
2}
B.{x|x < - 1
3或x > 1
2}
C.{x|-32}
3.已知 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:∀x∈A,2x∈B,则( )
A.p:∃x0∈A,2x0∈B
B.p:∃x0∉A,2x0∈B
C.p:∃x0∈A,2x0∉B
D.p:∀x∉A,2x∉B
4.(2019 湖南株洲质检二)已知命题 p:∀x>0,ex>x+1,命题 q:∃x∈(0,+∞),ln x≥x,则下列命题正确
的是 ( )
2
A.p∧q B.(p)∧q
C.p∧(q) D.(p)∧(q)
5.(2019 浙江,5)设 a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2019 江西南昌二模)设正实数 x,y 满足 x>2
3,y>2,不等式 9x2
y - 2 + y2
3x - 2≥m 恒成立,则 m 的最大值
为( )
A.2 2 B.4 2
C.8 D.16
二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)
7.(2019 山东济南历下区检测)若 20 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+4=0 上,其中
mn>0,则 1
m + 1 + 2
n的最小值为 .
三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)
9.(14 分)已知正数 x,y 满足 x+y=1.
(1)求 xy 的最大值;
3
(2)求1
x + 2
y的最小值.
10.(15 分)已知集合 A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0},B={x|x2-5x+4≤0}.
(1)若 A∩B=⌀,求 a 的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求 a 的取值范围.
4
11.(15 分)已知平面区域 D 由以 P(1,2),R(3,5),Q(-3,4)为顶点的三角形内部和边界组成.
(1)写出表示区域 D 的不等式组;
(2)设点(x,y)在区域 D 内变动,求目标函数 z=2x+y 的最小值;
(3)若在区域 D 内有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=mx+y(m<0)取得最小值,求 m 的值.
参考答案
单元质检卷一 集合、常用
逻辑用语及不等式(A)
1.A ∵∁UB={x|-20,且1
2,-1
3是方程 ax2-5x+b=0 的两根,
5
∴ { - 1
3 + 1
2 = 5
a,
- 1
3 × 1
2 = b
a,
解得{a = 30,
b = -5,
∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即 x2+x-6<0,解得-30 时,f'(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,
∴ex>x+1,p 真;
令 g(x)=lnx-x,g'(x)=1
x-1=1 - x
x ,x∈(0,1),g'(x)>0;x∈(1,+∞),g'(x)<0,
∴g(x)max=g(1)=-1<0,所以 g(x)<0,即 lnx0,b>0 时,a+b≥2 ab,若 a+b≤4,则 2 ab ≤ a+b≤4,所以 ab≤4,充分性成立;当
a=1,b=4 时,满足 ab≤4,但此时 a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分
不必要条件.故选 A.
6.D 设 y-2=a,3x-2=b(a>0,b>0),
9x2
y - 2 + y2
3x - 2 = (b + 2)2
a + (a + 2)2
b ≥ 8b
a + 8a
b =8 b
a + a
b ≥16,
当且仅当 a=b=2,即 x=4
3,y=4 时取等号.故选 D.
7. t 1
50,所以 m>0,n>0,
所以 1
m + 1 + 2
n= 1
m + 1 + 2
n
m + 1
3 + n
6
=2
3 + n
6(m + 1) + 2(m + 1)
3n ≥ 2
3+2 n
6(m + 1)·2(m + 1)
3n = 4
3,
当且仅当 n
6(m + 1) = 2(m + 1)
3n ,即 m=1
2,n=3 时取等号,
所以 1
m + 1 + 2
n的最小值为4
3.
9.解(1)已知 x,y 均为正数,所以 xy≤ x + y
2
2=1
4,当且仅当 x=y=1
2时,等号成立.
(2)1
x + 2
y = x + y
x + 2(x + y)
y =3+y
x + 2x
y ≥ 3+2 y
x·2x
y =3+2 2,
当且仅当y
x = 2x
y ,即 x= 2-1,y=2- 2时,等号成立;
故1
x + 2
y的最小值为 3+2 2.
10.解 A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0}={x|a-2≤x≤a},B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.
(1)∵A∩B=⌀,a-2>4 或 a<1,
7
即 a>6 或 a<1.
∴a 的取值范围是(-∞,1)∪(6,+∞);
(2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴A⫋B,
则{a - 2 ≥ 1,
a ≤ 4, 解得 3≤a≤4.
∴a 的取值范围是[3,4].
11.解(1)首先求三直线 PQ、QR、RP 的方程.
易得直线 PQ 的方程为 x+2y-5=0;直线 QR 的方程为 x-6y+27=0;
直线 RP 的方程为 3x-2y+1=0.
注意到△PQR 内任一点(x,y)应在直线 RP、PQ 的上方,而在 QR 的下方,故应有
{x + 2y - 5 ≥ 0,
3x - 2y + 1 ≤ 0,
x - 6y + 27 ≥ 0.
(2)由已知得直线 y=-2x+z,z 取最小值时,此直线的纵截距最小.作直线 l:2x+y=0,将直线 l 沿
区域 D 平行移动,过点 Q 时 z 有最小值,
所以 zmin=-2.
(3)直线 z=mx+y(m<0)的斜率为-m,结合可行域可知,直线 z=mx+y(m<0)与直线 PR 重合时,
线段 PR 上任意一点都可使 z=mx+y(m<0)取得最小值,又 kPR=3
2,因此,-m=3
2,即 m=-3
2.
8
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