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- 2021-06-10 发布
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第3章 3.1.2
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.对于空间中任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面向量
答案: A
2.当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b的关系是( )
A.共面 B.不共面
C.共线 D.无法确定
解析: 由加法法则知:a+b与a-b可以是菱形的对角线.
答案: A
3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O, =x++,则x的值为( )
A.3 B.0
C. D.1
解析: ∵=x++,且M、A、B、C四点共面,∴x++=1,x=.故选C.
答案: C
4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ、μ∈R且λ2+μ2≠0),则( )
A.a∥e1 B.a∥e2
C.a与e1,e2共面 D.以上三种情况均有可能
解析: 当λ=0,μ≠0时,a=μe2,则a∥e2;
当λ≠0,μ=0时,a=λe1,则a∥e1;
当λ≠0,μ≠0时,a与e1,e2共面.
答案: D
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O是空间任一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=________.
解析: ∵A、B、C、D共面,∴=+λB+μ
=+λ(O-)+μ(O-)
=(1-λ-μ) +λO+μ
=(λ+μ-1) -λ-μ
=2x+3y+4z,
∴2x+3y+4z=(λ+μ-1)+(-λ)+(-μ)
=-1.
答案: -1
6.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为________.
解析: ∵A,B,C三点共线,∴存在唯一实数k使=k,
即O-=k(-O),
∴(k-1) +OB-k=0,
又λ+m+n=0,
令λ=k-1,m=1,n=-k,
则λ+m+n=0.
答案: 0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,M、N分别为BC、PD的中点,求满足M=x+y+z的实数x,y,z的值.
解析: =++
=++
=-+(-)
=-+,
∴x=-1,y=0,z=.
8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1中点,N是BD中点,判断与是否共线?
解析: ∵M,N分别是AD1,BD的中点,四边形ABCD为平行四边形,连结AC,则N为AC的中点.
∴=A-A=A-=(A-)=
∴与共线.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,
且=,点G在AH上,且=m.若G,B,P,D四点共面,求m的值.
解析: 连结BD,BG,
∵=-且=,
∴=-.
∵=+,
∴=+-=-++.
∵=,
∵==(-++)
=-++ .
又∵=-,
∴=-++.
∵=m,
∴=m=-+ +.
∴=-A+=-+,
∴=++.
又∵B,G,P,D四点共面,
∴1-=0,
∴m=.