- 375.20 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
湛江市 2021 届高中毕业班调研测试题
数学
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A={-2,-1,0,1,2,3,4},B={x|2x-1<3),则 A∩B=
A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{-2,-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
2.已知 i 是虚数单位,a 为实数,且 3 i 1 i2 i
a
,则 a=
A.2 B.1 C.-2 D.-1
3.已知向量 (1,2)a ,向量 (2, 2)b , a kb 与 a b 垂直,则 k=
A.2 B. 10
7 C. 1
2 D. 7
10
4.若双曲线
2
2
2 1x ya
(a>0)的一条渐近线方程为 1
2y x ,则其离心率为
A. 3
2 B.2 C. 5
2 D. 3
5.命题“ 0x ,lg|2x-1|>0”的否定是
A. 0x ,lg|2x-1|≤0 B. 0x ,lg|2x-1|≤0
C. 0x ,lg|2x-1|≤0 D. 0x ,lg|2x-1|<0
6.党的十九大报告中指出:从 2020 年到 2035 年,在全面建成小康社会的基础上,再奋斗 15 年,
基本实现社会主义现代化.若到 2035 年底我国人口数量增长至 14.4 亿,由 2013 年到 2019 年的统
计数据可得国内生产总值(GDP)y(单位:万亿元)关于年份代号 x 的回归方程为 6.60 50.36y x
(x=1,2,3,4,5,6,7),由回归方程预测我国在 2035 年底人均国内生产总值(单位:万元)
约为
A.14.04 B.202.16 C.13.58 D.14.50
7.鳖臑(biē nào)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥 A-BCD 是
一个鳖臑,其中 AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且 AB=6,BC=3,DC=2,则三棱锥 A-BCD 的
外接球的体积是
A. 49
3
B. 343
2
C.49π D. 343
6
8.已知函数 3 21( ) 3 93f x x x x ,给出四个函数①|f(x)|,②f(-x),③f(|x|),④-f(-x),
又给出四个函数的大致图象,则正确的匹配方案是
A.甲-②,乙-③,丙-④,丁-① B.甲-②,乙-④,丙-①,丁-③
C.甲-④,乙-②,丙-①,丁-③ D.甲-①,乙-④,丙-③,丁-②
二、选择题:在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.
9.因防疫的需要,多数大学开学后启用封闭式管理.某大学开学后也启用封闭式管理,该校有在
校学生 9000 人,其中男生 4000 人,女生 5000 人,为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和
服务的满意度,随机调查了 40 名男生和 50 名女生,每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出
了满意或不满意的评价,经统计得到如下列联表:
满意 不满意
男 20 20
女 40 10
附表:
P(K2≥k) 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3 .841 5.024 6.635 10.828
附:
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
以下说法正确的有
A.满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法
B.该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为 0.6
C.有 99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
D.没有 99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
10.已知 a=log3π,b=logπ3, 1log 3c ,则
A.ab<a+b<b+c B.ac<b+c<bc C.ac<bc<b+c D.b+c<ab<a+b
11.已知函数,f(x)=2sinx-acosx 的图象的一条对称轴为
6x ,则
A.点 ( ,0)3
是函数,f(x)的一个对称中心
B.函数 f(x)在区间 ( , )2
上无最值
C.函数 f(x)的最大值一定是 4
D.函数 f(x)在区间 5( , )6 6
上单调递增
12.已知数列{an}满足:0<a1<1,an+1-an=ln(4-an).则下列说法正确的是
A.数列{an}先增后减 B.数列{an}为单调递增数列
C.an<3 D. 2020
5
2a
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:
13.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,则不等式,f(3x-1)>f
(2)的解集是________.
14.二项式 61( )x x
的二项展开式中的常数项是________.
15.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BC 和 C1D1 的中点,经过点 A,E,F
的平面把正方体 ABCD-A1B1C1D1 截成两部分,则截面与 BCC1B1 的交线段长为________.
16.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,与抛物线 C
的准线交于点 D,若 F 是 AD 的中点,则|FB|=________.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.从①a=3,② 3 5
2ABCS ,③3sinB=2sinA 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.若
问题中的三角形存在,求出 b 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 21c ,3ccosB=3a+2b,
________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答记分.
18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,an+1-an>0,a2=3,且 a1,a3,12+a7 成等比数列.
(1)求 an 和 Sn;
(2)设
1
1
n
n n
b S S
,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: 1 12 nT .
19.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,侧面 BCC1B1 为菱形,
且平面 BCC1B1⊥平面 ABC,∠CBB1=60°,D 为棱 AA1 的中点.
(1)证明:BC1⊥平面 DCB1;
(2)求二面角 B1-DC-C1 的余弦值.
20.为研究一种新药的耐受性,要对白鼠进行连续给药后观察是否出现 F 症状的试验,该试验的
设计为:对参加试验的每只白鼠每天给药一次,连续给药四天为一个给药周期,试验共进行三个周
期.假设每只白鼠给药后当天出现 F 症状的概率均为 1
3
,且每次给药后是否出现 F 症状与上次给
药无关.
(1)从试验开始,若某只白鼠连续出现 2 次 F 症状即对其终止试验,求一只白鼠至少能参加一个
给药周期的概率;
(2)若在一个给药周期中某只白鼠至少出现 3 次 F 症状,则在这个给药周期后,对其终止试验,
设一只白鼠参加的给药周期数为 X,求 X 的分布列和数学期望.
21.已知椭圆
2 2
14 3
x y 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 y=kx 交椭圆于 P,Q 两点,M 是椭圆
上不同于 P,Q 的任意一点,直线 MP 和直线 MQ 的斜率分别为 k1,k2.
(1)证明:k1·k2 为定值;
(2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,且 2 22AF F B ,求|AB|.
22.已知 a>0,函数 21( ) ln ( 1)2f x x x x a x .
(1)若 f(x)为减函数,求实数 a 的取值范围;
(2)当 x>1 时,求证:
2e( ) e2
a
af x .(e=2.718…)
参考答案
1.C 解析:因为 2x-1<3 x<2,所以 A∩B={-2,-1,0,1},故选 C.
2.B 解析:由 3-ai=(2+i)(1-i)=2-2i+i-i2=3-i,得 a=1,故选 B.
3.D 解析:因为 2
5a , 2
8b , 2a b ,又 2 2
( ) ( ) ( 1)a kb a b a kb k a b
5 8 2( 1) 7 10 0k k k ,所以 7
10k ,故选 D.
4.C 解析:因为渐近线方程为 1
2y x ,所以 1
2
b
a
.因为 b=1,所以 a=2.又 c2=a2+b2=5,
所以 5c ,故离心率 5
2e ,故选 C.
5.C
6.A 解析:到 2035 年底对应的年份代号为 23,由回归方程 6.60 50.36y x .36 得,我国国内
生产总值约为 6.60×23+50.36=202.16(万亿元),又 202.16 41.0414.4
,所以到 2035 年底我国人均
国内生产总值约为 14.04 万元,故选 A.
7.D 解析:易得三棱锥 A-BCD 的外接球的直径为 AD,则 2 2 26 3 2 7AD ,故三棱锥 A-BCD
的外接球的半径 7
2R ,所以 34 7 343
3 3 6A BCDV
.
8.B 解析:由 f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),得函数 f(x)有极大值点-1,极小值点 3,图
象如图所示:
故选 B.
9.AC 解析;因为男女比例为 4000︰5000,故 A 正确.满意的频率为 20 40 2 0.66790 3
,所以
该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为 0.667,所以 B 错误.
由列联表
2
2 90 (20 10 20 40) 9 6.63540 50 60 30K
,故有 99%的把握认为学生对学校的管理和服务
满意与否与性别有关系,所以 C 正确,D 错误.
10.CD 解析:因为 0<logπ3<1<log3π 0<b<1<a,又 1log 03c ,所以 ac<bc<0,
1log 3 log 03b c ,所以 C 正确,B 错误.因为 ab=log3π×logπ3=1,a+b=log3π+logπ3>1,
所以 D 正确,A 错误.
11.ACD 解析:由题意,得 2( ) 2sin cos 4 sin( )f x x a x a x ,θ为辅助角,因为对称轴为
6x ,所以 3( ) 16 2f a ,即 2 34 | 1 |2a a ,解得 2 3a .所以 ( ) 4sin( )3f x x ;
故 ( ) 03f ,所以 A 正确,又当 23 2x k (k∈Z),即当 5 26x k (k∈Z)时,函数 f
( x ) 取 得 最 大 值 4 , 所 以 B 错 误 , C 正 确 . 2 22 3 2k x k ( k ∈ Z )
52 26 6k x k (k∈Z),所以 D 正确,故选 ACD.
12.BCD 解析:由 an+1-an=ln(4-an)得 an+1=an+ln(4-an).
设函数 f(x)=x+ln(4-x)(0<x<4),由 2 3'( ) 1 4 4
xf x x x
,
可得 f(x)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减.
由 f(x)<f(3)=3 可得 an<3.
所以数列{an}为单调递增数列.
又 0<a1<1,所以 a2=a1+ln(4-a1)>ln4>1,
a3=a2+ln(4-a2)>ln4+ln(4-ln4)>1+ln3>2 ,
4 3 3
5ln(4 ) 2 ln(4 2) 2 ln 2 2a a a ,
所以 2020 4
5
2a a ,故选 BCD.
13. 1( ,1)3
解析;由题意得-2<3x-1<2,解得 1 13 x .
14.15 解析:因为 61( )x x
的展开式的通项是
336 2
6 6
1C ( ) ( 1) ( ) C ( 1)
r
r r r r r rx xx
,当 33 01
r 时,
r=2,所以展开式中的常数项是 2 2
6C ( 1) 15 .
15. 10
3
解析:如图,过点 F 作 FH∥AE 交 A1D1 于 H,易知 D1H=1,所以点 H 为 A1D1 的 4 等
分点,连接 AH,过点 E 作 EP∥AH 交 CC1 于点 P,所以 1
1
AA CP
A H CE
,解得 8
3CP ,
故截面与 BCC1B1 交线段长 2 2 2 28 102 ( )3 3PE CE CP .
16. 4
3
解析:如图,过点 A,B,F 分别向准线引垂线,交准线于点 M,N,E,
由 FE=2,得 AM=4,AF=4,DF=4,故∠EFD=60°,
又 FB=BN,所以 BD=2BN,故 3BF=4 4
3BF .
17.解:解法 1:由正弦定理,得 3sinCcosB=3sin[π-(B+C)]+2sinB,
整理得 3sinBcosC+2sinB=0.因为 sinB≠0,所以 2cos 3C .
解法 2:由 3ccosB=3a+2b,得 3accosB=3a2+2ab,
由余弦定理,得 3(a2+c2-b2)=6a2+4ab,整理得 3(-a2+c2-b2)=4ab,
即 3abcosC+2ab=0.所以 2cos 3C .
选①a=3.由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos 2 221 9 6 ( )3b b ,
所以 b2+4b-12=0,解得 b=2 或 b=-6(舍去),所以问题中的三角形存在.
选② 3 5
2ABCS . 1 1 5 3 5sin2 2 3 2ABCS ab C ab ,故 ab=9,
由余弦定理可得 c2+a2+b2-2abcosC 2 2 421 3a b ab ,又 a2+b2≥2ab,
所以 2 2 4 1021 6.33 3a b ab ab ab ,与 ab=9 矛盾,所以问题中的三角形不存在.
选③3sinB=2sinA.由正弦定理得,3sinB=2sinA 3b=2a,
由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC 22121 4 b ,所以 b=2 或 b=-2(舍去),
所以问题中的三角形存在.
18.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,
由 an+1-an>0,得 d>0,
则 2
2
3 1 7
3,
(12 ),
a
a a a
所以 1
2
1 1 1
3,
( 2 ) (12 6 ).
a d
a d a a d
解得 a1=1,d=2,
所以 an=2n-1, 2( 1) 22n
n nS n n .
(2)因为
1
1 1 1 1
( 1) 1n
n n
b S S n n n n
.
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 2 2 3 3 4 1 1nT n n n
.
因为 11 1nT n
单调递增.所以 1
1
2nT T ,
综上, 1 12 T .
19.(1)证明:设 BC 的中点为 E,BC1 与 B1C 的交点为 O,连接 AE,EO,OD,如图所示.
由 E 为 BC 的中点可得 AE⊥BC,又平面 BCC1B1⊥平面 ABC,平面 BCC1B1∩平面 ABC=BC,故
AE⊥平面 BCC1B1.
又 O 为 BC1 的中点.所以 1
1
2EO CC∥ .又 1
1
2AD CC∥ ,所以 AD EO∥ ,
故 AD EO∥ ,所以 DO⊥平面 BCC1B1,
故 DO⊥BC1,又四边形 BCC1B1 为菱形,所以 BC1⊥B1C,
所以 BC1⊥平面 DCB1.
(2)解:由(1)可知 OD,OB,OB1 两两相互垂直,以 O 为坐标原点,以 OD 的方向为 z 轴正
方向,分别以 OB,OB1 为 x 轴和 y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.
则 ( 3,0,0)B , 1( 3,0,0)C , (0,0, 3)D ,C(0,-1,0),
设 1 1 1( , , )n x y z 为平面 DCC1 的一个法向量,
则
1
0,
0,
n CD
n CC
即 1 1
1 1
3 0,
3 0,
y z
x y
可取 (1, 3, 1)n ,
由(1)可知, OB
为平面 DCB1 的一个法向量,
所以 3 5cos , 5| || | 1 3 1 3
n OBn OB
n OB
.
所以二面角 B1-DC-C1 的余弦值为 5
5
.
20.解:(1)设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件 M,则 M 的对立事件为一个给药周期
也没有参加完.
设 一 次 给 药 出 现 F 症 状 为 事 件 A , 则 一 个 给 药 周 期 也 没 有 参 加 完 的 概 率 为
2 21 2 1 5( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 27P P AA P AAA ,
所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为 5 22( ) 1 1 27 27P M P .
(2)设事件 B 为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现 3 次 F 症状”,
则 3 3 4
4
1 1 1 1( ) C ( ) (1 ) ( )3 3 3 9P B ,
则随机变量 X 的取值为 1,2,3.
3 3 4
4
1 1 1 1( 1) C ( ) (1 ) ( )3 3 3 9P X ,
8 1 8( 2) [1 ( )] ( ) 9 9 81P X P B P B .
8 8 64( 3) [1 ( )] [1 ( )] 9 9 81P X P B P B .
所以 X 的分布列为
X l 2 3
P 1
9
8
81
64
81
所以随机变量 X 的数学期望为 1 8 64 217( ) 1 2 39 81 81 81E X .
21.(1)证明:设 P(m,n),M(x,y),则 Q(-m,-n),
则 1
y nk x m
, 2
y nk x m
,
则
2 2
1 2 2 2
y n y n y nk k x m x m x m
,又
2 2
14 3
x y ,
2 2
14 3
m n ,
故
2 2 2 2
04 3
x m y n ,所以
2 2
1 2 2 2
3
4
y nk k x m
为定值.
(2)解:设直线 l 的方程为 x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 2 2
1,
1,4 3
x ty
x y
消去 x,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,
则有 1 2 2
6
3 4
ty y t
, 1 2 2
9
3 4y y t
.又 2 22AF F B ,所以-y1=2y2,
故
2 2
2
2 2
6 ,3 4
92 ,3 4
ty t
y t
解得 2 4
5t ,
所以 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
6 9 27| | (1 )[( ) 4 ] (1 )[( ) 4 ]3 4 3 4 8
tAB t y y y y t t t
.
22.(1)解:由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx-x+a,
由 f(x)为减函数可知 f'(x)≤0 恒成立.
设 g(x)=lnx-x+a, 1'( ) 1g x x
,
令 g'(x)=0 得 x=1,当 x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,即 f'(x)单调递增;
当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,即 f'(x)单调递减.
故 f'(x)≤f'(1)=-1+a≤0,因此 0<a≤1.
(2)证明:由(1)知,当 0<a≤1 时,f(x)为减函数,所以 3( ) (1) 2f x f a ,
又 0<a≤1, 3 1
2 2a .
设
2e e2
a
ay ,ea=t,则
2
2
ty t ,t∈(1,e].
又
2
2
ty t 在区间(1,e]上单调递增,所以 1 112 2y ,
故
23 1 e( ) (1) e2 2 2
a
af x f a ,所以当 0<a≤1 时,
2e( ) e2
a
af x .
当 a>1 时,由(1)知,当 x∈(1,+∞)时,f'(x)单调递减,且 f'(1)=a-1>0.
f'(ea)=2a-ea,令 h(x)=2x-ex,h'(x)=2-ex,
当 x>1 时,h'(x)<0,h(x)单调递减,故 h(a)=2a-ea<h(1)=2-e<0,
又 ea>1,f'(x)在(1,+∞)上单调递减,
故存在 x0∈(1,ea),使得 f'(x0)=0,即 f'(x0)=lnx0-x0+a=0,即 a=x0-lnx0,
因此有 f(x)在(1,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
故 2
0 0 0 0 0
1( ) ( ) ln ( 1)2f x f x x x x a x ,
将 a=x0-lnx0 代入,得 2
0 0 0
1( ) 2f x x x .
因为函数 21( ) 2F x x x 在(1,+∞)上单调递增,
所以
2
0
e( ) (e ) e2
a
a aF x F ,即
2
0
e( ) e2
a
af x ,
故
2
0
e( ) ( ) e2
a
af x f x 成立.