数学理卷·2018届湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高三上学期期中联考（2017 12页

醴陵市2018届高三第一次联考数学试题 (理科）‎ 注意事项：1．考试时量：120分钟；总分：150分 ‎2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎3．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={1，2，3，4}，，则A∩B=（　　）‎ A．{1，2} B．{1，2，4} C．{2，4} D．{2，3，4}‎ ‎2.设复数z满足=i，则|z|=（　　）‎ A．1 B. C． D．2 ‎ ‎3.等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（　　）‎ A．﹣18 B．9 C．18 D．36‎ ‎4．在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（　　）‎ A． B． C. D. ‎ ‎5．为了得到函数图象，可将函数y=sin3x+cos3x图象（　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎6.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎(第6题) （第7题）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f(x)＝x2，f(x)＝，f(x)＝ex，f(x)＝sinx，则可以输出的函数是(　)‎ A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ex D．f(x)＝sinx ‎8.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9、函数y=ax2+bx与（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：‎ ‎①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（　　）‎ A．①③ B．③④ C．①② D．②③④‎ ‎12.设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在a，b]上的值域也是a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）‎ ‎13.若向量，，满足，则x=　　．‎ ‎14.若的二项展开式中，含项的系数为7，则实数a=　　．‎ ‎15. 已知函数，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为　　．‎ ‎16.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．‎ ‎ (1)数列的通项公式为=____________；‎ ‎ (2)=___________．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17、（本题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，c=．‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．‎ ‎18、（本题满分12分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点. ‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面，并且二面角的大小为，求的值.‎ ‎19（本题满分12分）.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．‎ ‎（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；‎ ‎（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 使用微信时间（单位：小时）‎ 频数 频率 ‎（0，0.5]‎ ‎ 3‎ ‎ 0.05‎ ‎（0.5，1]‎ ‎ x ‎ p ‎（1，1.5]‎ ‎ 9‎ ‎ 0.15‎ ‎（1.5，2]‎ ‎ 15‎ ‎ 0.25‎ ‎（2，2.5]‎ ‎ 18‎ ‎ 0.30‎ ‎（2.5，3]‎ ‎ y ‎ q 合计 ‎ 60‎ ‎1.00‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，点P(0，−1)是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：的直径．是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆C2于A，B两点，交椭圆C1于另一点D．‎ x O y B ‎1‎ P D A ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）求△ABD面积取最大值时直线的方程．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21.（本小题满分12分）设函数．‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），‎ 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.‎ ‎（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|‎ ‎（I）解不等式f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤‎ 醴陵市2018届高三第一次联考理科数学参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B B C D B D C A D ‎　　　　　第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）‎ ‎13.１　　　14.１　　　15. （1，2）　16.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17、（本题满分12分）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，‎ 则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，‎ 所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，……….3分 由正弦定理，a=b，则=1；……….5分 ‎（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，‎ 所以S=absinC=a2sinC=，则，①………8.分 由余弦定理得， =，②……….10分 由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，‎ 又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，解得C=…12分．‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 答案及解析：（1）证明略；……….4分 ‎（2）连结，因为平面，‎ 所以，所以平面 又是的中点，故此时为的中点，‎ 以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.……….6分 设则，‎ 向量为平面的一个法向量……….8分 设平面的一个法向量，‎ 则且，‎ 即，‎ 取，则，则………10分 解得 故……………………………12分 ‎19（本题满分12分）.‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，有 ‎，‎ 解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，‎ 补全频率分布图有右图所示．……….5分 ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，……….7分 P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，……….11分 ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P Eξ==．……….12分 ‎20.（本题满分12分）‎x O y B ‎1‎ P D A 解：（Ⅰ）由题意得 所以椭圆C的方程为．……...4分 ‎（Ⅱ）设D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为 y=kx−1．‎ 又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离d=，‎ 所以|AB|=2=2．..……..6分 又l1^l2，故直线l2的方程为x+ky+k=0．‎ 由消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0‎ 故x0=−．..……..8分 所以|PD|=．..……..9分 设△ABD的面积为S，则S=|AB|×|PD|=，..……..10分 所以S=£=，‎ 当且仅当k=±时取等号 所以所求直线l1的方程为y=±x−1..……..12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知得，‎ 因在上为减函数，故在上恒成立。……1分 所以当时。‎ 又，…….2分 故当时，即时，.‎ 所以，于是，故的最小值为. ……...4分 ‎（2）命题“若存在,，使成立”等价于 ‎“当时，””. ……….5分 由（1），当时，，.‎ 问题等价于：“当时，有”. ..……..6分 ① 当，由（1），在为减函数，‎ 则，故. ……….7分 ② 当时，由于在上的值域为 ‎（i），即，在恒成立，故在上为增函数，‎ 于是，，矛盾。……….8分 ‎（ii），即，由的单调性和值域知，‎ 存在唯一，使，且满足：‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 所以，，………...10分 所以，，与矛盾。‎ 综上得………...12分 ‎(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 答案及解析：‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为，……………………2分 曲线的普通方程为. ……………………4分 ‎（2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.‎ 因此 ‎……………………6分 ‎.‎ 所以当时，有最大值28，……………………8分 因此的最大值为. ……………………10分 法二：设点坐标为，则，由题意可知.‎ 因此 ‎……………………6分 ‎.‎ 所以当时，有最大值28，……………………8分 因此的最大值为. ……………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：，‎ 由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．‎ 所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；……………………5分 ‎（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，‎ 由于0＜y＜1，‎ 则=（）y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，‎ 则有．……………………10分