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- 2021-06-10 发布
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2016-2017学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)下列命题中的假命题是( )
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0
2.(5分)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
3.(5分)“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(5分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,则n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(5分)已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
6.(5分)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32
7.(5分)双曲线﹣=1的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.2 B. C.3 D.6
8.(5分)在区间[0,1]上任取两个实数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为( )
A. B. C. D.
9.(5分)程序框图如图所示,当时,输出的k的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
10.(5分)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足•=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1)
12.(5分)在三棱锥P﹣ABC中,D为底面ABC的边AB上一点,M为底面ABC内一点,且满足,,则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上,则此抛物线的标准方程是 .
14.(5分)某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为 .
15.(5分)在空间直角坐标系O﹣xyz中,平面OAB的一个法向量为=(2,﹣2,1),已知点P(﹣1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 .
16.(5分)已知函数f(x)=4|a|x﹣2a+1.若命题:“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,则实数a的取值范围为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知集合A={y|y=x2﹣x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
18.(12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
19.(12分)从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线,其垂线段中点的轨迹为E.
(Ⅰ)求轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=k(x﹣2)(k>0)与轨迹E交于A,B两点,且点F(2,0),若|AF|=2|BF|,求弦AB的长.
20.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(﹣1,0)、F2
(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.
21.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1⊥平面ABC,D,E分别是CC1,AB的中点.
(1)求证:CE∥平面A1BD;
(2)若H为A1B上的动点,当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时,求平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.
22.(12分)已知点F(1,0),直线l:x=﹣1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知,,求λ1+λ2的值.
2016-2017学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题中的假命题是( )
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断.
【解答】解:A、x=1成立;B、x=成立;D、由指数函数的值域来判断.对于C选项x=﹣1时,(﹣1)3=﹣1<0,不正确.
故选C
【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.
2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】利用互斥事件的概念求解.
【解答】解:“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故A错误;
“两次都中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故B错误;
“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故C错误;
“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”,不能同时发生,故D正确.
故选:D.
【点评】
本题考查互斥事件的判断,是基础题,解题时要熟练掌握互斥事件的概念.
3.“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可.
【解答】解:若方程+=1表示双曲线,
则k(1﹣k)<0,
即k(k﹣1)>0,解得k>1或k<0,
即“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,
故选:A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据双曲线的定义和方程是解决本题的关键.
4.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,则n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果.
【解答】解:∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,
其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.
从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,
∴由题意知:,解得n=2.
故选:A.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
5.已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先把椭圆方程转换成标准方程,进而根据焦距求得m.
【解答】解:将椭圆的方程转化为标准形式为,
显然m﹣2>10﹣m,即m>6,
,解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了.
6.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差,然后结合变量之间的方差关系进行求解即可.
【解答】解:∵样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,
∴=8,即DX=64,
数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的方差为D(2X﹣1)=4DX=4×64,
则对应的标准差为==16,
故选:C.
【点评】
本题主要考查方差和标准差的计算,根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键.
7.双曲线﹣=1的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.2 B. C.3 D.6
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得圆的圆心和半径r,双曲线的渐近线方程,运用直线和圆相切的条件:d=r,计算即可得到所求值.
【解答】解:圆(x﹣3)2+y2=r2的圆心为(3,0),半径为r,
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,
由直线和圆相切的条件:d=r,
可得r==2.
故选:A.
【点评】本题考查直线和圆相切的条件:d=r,同时考查双曲线的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.
8.在区间[0,1]上任取两个实数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】函数f(x)=x2+ax+b2无零点的条件,得到a,b满足的条件,利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论.
【解答】解:∵a,b是区间[0,1]上的两个数,
∴a,b对应区域面积为1×1=1
若函数f(x)=x2+ax+b2无零点,
则△=a2﹣4b2<0,对应的区域为直线a﹣2b=0的上方,
面积为1﹣=,
则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为.
故选:B.
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据二次函数无零点的条件求出a,b满足的条件是解决本题的关键.
9.程序框图如图所示,当时,输出的k的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能,用裂项法可求S的值,进而解不等式可求k的值.
【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值,
由于:S=+++…=(1﹣)+()+…+(﹣)=1﹣=,
所以:由≥,解得:k≥12,
所以:当时,输出的k的值为12.
故选:B.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键,属于基础题.
10.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪
B)=( )
A. B. C. D.
【考点】互斥事件的概率加法公式.
【分析】P(A∪B)=P(A)+P(B)﹣P(AB),由此能求出结果.
【解答】解:∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,
记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,
∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
P(A∪B)=P(A)+P(B)﹣P(AB)==.
故选:C.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
11.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足•=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1)
【考点】椭圆的应用.
【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,∴c<b,c2<b2=a2﹣c2.由此能够推导出椭圆离心率的取值范围.
【解答】解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c,
∵•=0,
∴M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部,
∴该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2﹣c2.
∴e2=<,∴0<e<.
故选:C.
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答.
12.在三棱锥P﹣ABC中,D为底面ABC的边AB上一点,M为底面ABC内一点,且满足,,则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为( )
A. B. C. D.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意画出图形,结合向量等式可得AD=,DM=,且∠ABC=∠ADM,进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案.
【解答】解:如图,
设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S,高为h,
∵,,
∴AD=,DM=,且∠ABC=∠ADM,
∴=.
∴=.
故选:D.
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法,考查平面向量在求解立体几何问题中的应用,是中档题.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上,则此抛物线的标准方程是 y2=16x或x2=﹣8y .
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标,然后根据抛物线的标准形式可得答案.
【解答】解:当焦点在x轴上时,根据y=0,x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为(4,0)
∴抛物线的标准方程为y2=16x
当焦点在y轴上时,根据x=0,x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为(0,﹣2)
∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y
故答案为:y2=16x或x2=﹣8y
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.
14.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为 =1.10x+4.60 .
【考点】线性回归方程.
【分析】根据表中数据先求出平均数,再由公式求出a,b的值,即可写出回归直线方程.
【解答】解:由题意,计算=×(2+3+5+6)=4,
=×(7+8+9+12)=9,
b==1.10,
且回归直线过样本中心点(,),
∴a=9﹣1.10×4=4.60,
故所求的回归直线方程为: =1.10x+4.60.
故答案为: =1.10x+4.60.
【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题,是基础题目.
15.在空间直角坐标系O﹣xyz中,平面OAB的一个法向量为=(2,﹣2,1),已知点P(﹣1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 2 .
【考点】点、线、面间的距离计算;空间两点间的距离公式.
【分析】直接利用空间点到平面的距离公式求解即可.
【解答】解:平面OAB的一个法向量为=(2,﹣2,1),已知点P(﹣1,3,2),
则点P到平面OAB的距离d===2.
故答案为:2.
【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法,公式的应用,是基础题.
16.已知函数f(x)=4|a|x﹣2a+1.若命题:“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,则实数a的取值范围为 .
【考点】特称命题;命题的真假判断与应用.
【分析】由于f(x)是单调函数,在(0,1)上存在零点,应有f(0)f(1)<0,解不等式求出数a的取值范围.
【解答】解:由:“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,得:
f(0)•f(1)<0⇒(1﹣2a)(4|a|﹣2a+1)<0
或
⇒.
故答案为:
【点评】本题考查函数的单调性、单调区间,及函数存在零点的条件.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2016秋•惠州期末)已知集合A={y|y=x2﹣x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
【考点】充分条件.
【分析】先求二次函数在区间[,2]上的值域,从而解出集合A,在解出集合B,根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件即可得到关于m的不等式,从而解不等式即得实数m的取值范围.
【解答】解:y=;
该函数在[]上单调递增,x=2时,y=2;
∴,B={x|x≥1﹣m2};
∵x∈A是x∈B的充分条件;
∴;
解得m,或m;
∴实数m的取值范围为.
【点评】考查二次函数在闭区间上的值域的求法,描述法表示集合,以及充分条件的概念,解一元二次不等式.
18.(12分)(2016秋•惠州期末)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
【考点】频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)根据频率和为1列出方程即可求出a的值;
(Ⅱ)利用表中数据计算数学成绩在[50,90)内的人数,再求在[50,90)之外的人数.
【解答】解:(Ⅰ)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得,
10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,
解得a=0.005,
所以图中a的值为0.005;
(Ⅱ)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05×1=5(人);
数学成绩在[60,70)的人数为:100×0.4×=20(人);
数学成绩在[70,80)的人数为:100×0.3×=40(人);
数学成绩在[80,90)的人数为:100×0.2×=25(人);
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10(人).
【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题,也考查了识图、用图的能力,是基础题目.
19.(12分)(2016秋•惠州期末)从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线,其垂线段中点的轨迹为E.
(Ⅰ)求轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=k(x﹣2)(k>0)与轨迹E交于A,B两点,且点F(2,0),若|AF|=2|BF|,求弦AB的长.
【考点】轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)先设出垂线段的中点为M(x,y),P(x0,y0)是抛物线上的点,把它们坐标之间的关系找出来,代入抛物线的方程即可;
(Ⅱ)根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义即条件,求出A,B的中点横坐标,即可求出弦AB的长.
【解答】解:(Ⅰ)设垂线段的中点M(x,y),P(x0,y0)是抛物线上的点,D(x0,0),
因为M是PD的中点,所以x0=x,y=y0,
有x0=x,y0=2y,
因为点P在抛物线上,所以y02=32x,即4y2=32x,
所以y2=8x,所求点M轨迹方程为:y2=8x.
(Ⅱ)抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=﹣2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∵|AF|=2|BF|,∴x1+1=2(x2+1),∴x1=2x2+1
∵|y1|=2|y2|,∴x1=4x2,∴x1=2,x2=,
∴|AB|=x1+x2+p=+4=.
【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法,考查学生分析解决问题的能力,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键,属于中档题.
20.(12分)(2016秋•惠州期末)已知椭圆的两焦点为F1(﹣1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的应用.
【分析】(1)根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,求出a,结合焦点坐标求出c,从而可求b,即可得出椭圆方程;
(2)直线方程与椭圆方程联立,可得P的坐标,利用三角形的面积公式,可求△PF1F2的面积.
【解答】解:(1)依题意得|F1F2|=2,
又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=4=2a,
∴a=2,
∵c=1,
∴b2=3.
∴所求椭圆的方程为+=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)设P点坐标为(x,y),
∵∠F2F1P=120°,
∴PF1所在直线的方程为y=(x+1)•tan 120°,
即y=﹣(x+1).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解方程组
并注意到x<0,y>0,可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
∴S△PF1F2=|F1F2|•=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,确定P的坐标是关键.
21.(12分)(2013•广州一模)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1⊥平面ABC,D,E分别是CC1,AB的中点.
(1)求证:CE∥平面A1BD;
(2)若H为A1B上的动点,当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时,求平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.
【考点】
用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.
【分析】(1)通过补形,延长延长A1D交AC的延长线于点F,连接BF,从而可证明CE∥BF,然后由线面平行的判定定理得证;
(2)由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE,CE为定值,要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为,则点H到E点的距离应最小,由此得到H的位置,进一步求出EH的长度,则在直角三角EHB中可得到BH的长度,利用已知条件证出BF⊥平面A1AB,从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角,在直角三角形EHB中求其余弦值.
本题也可以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量解决.
【解答】法一、
(1)证明:如图,
延长A1D交AC的延长线于点F,连接BF.
∵CD∥AA1,且CD=AA1,
∴C为AF的中点.
∵E为AB的中点,
∴CE∥BF.
∵BF⊂平面A1BD,CE⊄平面A1BD,
∴CE∥平面A1BD.
(2)解:∵AA1⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,
∴AA1⊥CE.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,E是AB的中点,
∴CE⊥AB,.
∵AB⊂平面A1AB,AA1⊂平面A1AB,AB∩AA1=A,
∴CE⊥平面A1AB.
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角.
∵,
在Rt△CEH中,tan,
∴当EH最短时,tan∠EHC的值最大,则∠EHC最大.
∴当EH⊥A1B时,∠EHC最大.此时,tan=.
∴.
∵CE∥BF,CE⊥平面A1AB,
∴BF⊥平面A1AB.
∵AB⊂平面A1AB,A1B⊂平面A1AB,
∴BF⊥AB,BF⊥A1B.
∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角).
在Rt△EHB中, =,cos∠ABA1=.
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值为.
法二、
(1)证明:如图,
取A1B的中点F,连接DF、EF.
∵E为AB的中点,
∴EF∥AA1,且.
∵CD∥AA1,且CD=AA1,
∴EF∥CD,EF=CD.
∴四边形EFDC是平行四边形.
∴CE∥DF.
∵DF⊂平面A1BD,CE⊄平面A1BD,
∴CE∥平面A1BD.
(2)解:∵AA1⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,
∴AA1⊥CE.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,E是AB的中点,
∴CE⊥AB,.
∵AB⊂平面A1AB,AA1⊂平面A1AB,AB∩AA1=A,
∴CE⊥平面A1AB.
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角.
∵,
在Rt△CEH中,tan,
∴当EH最短时,tan∠EHC的值最大,则∠EHC最大.
∴当EH⊥A1B时,∠EHC最大.此时,tan=.
∴.
在Rt△EHB中,.
∵Rt△EHB~Rt△A1AB,
∴,即.
∴AA1=4.
以A为原点,与AC垂直的直线为x轴,AC所在的直线为y轴,AA1所在的直线为z轴,
建立空间直角坐标系A﹣xyz.
则A(0,0,0),A1(0,0,4),B,D(0,2,2).
∴=(0,0,4),=, =(0,2,﹣2).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
由, ,
得,令y=1,则.
∴平面A1BD的一个法向量为n=.
∵AA1⊥平面ABC,∴ =(0,0,4)是平面ABC的一个法向量.
∴cos=.
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值为.
【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法.是中档题.
22.(12分)(2007•福建)已知点F(1,0),直线l:x=﹣1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知,,求λ1+λ2的值.
【考点】平面向量数量积的运算;轨迹方程;抛物线的定义;抛物线的简单性质.
【分析】解法一:(1)我们可设出点P的坐标(x,y),由直线l:x=﹣1,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,则Q(﹣1,y),则我们根据
,构造出一个关于x,y的方程,化简后,即可得到所求曲线的方程;
(2)由过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,我们可以设出直线的点斜式方程,联立直线方程后,利用设而不求的思想,结合一元二次方程根与系数关系,易求λ1+λ2的值.
解法二:(1)由得,进而可得.根据抛物线的定义,我们易得动点的轨迹为抛物线,再由直线l(即准线)方程为:x=﹣1,易得抛物线方程;
(2)由已知,,得λ1•λ2<0.根据抛物线的定义,可们可以将由已知,,转化为,进而求出λ1+λ2的值.
【解答】解:法一:(Ⅰ)设点P(x,y),则Q(﹣1,y),
由得:
(x+1,0)•(2,﹣y)=(x﹣1,y)•(﹣2,y),
化简得C:y2=4x.
(Ⅱ)设直线AB的方程为:x=my+1(m≠0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),又,
联立方程组,
消去x得:y2﹣4my﹣4=0,
∴△=(﹣4m)2+16>0,
故
由,得:
,,
整理得:,,
∴===0.
法二:(Ⅰ)由得:
,
∴,
∴,∴.
所以点P的轨迹C是抛物线,
由题意,轨迹C的方程为:y2=4x.
(Ⅱ)由已知,,
得λ1•λ2<0.则:
.①
过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,则有:
.②
由①②得:,
即λ1+λ2=0.
【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.