2014版高中数学人教版a版选修4-5教学课件：第一讲 二 2 绝对值不等式的解法 30页

2 ．绝对值不等式的解法 1 ． | ax ＋ b |≤ c ， | ax ＋ b |≥ c ( c >0) 型不等式的解法 只需将 ax ＋ b 看成一个整体，即化成 | x |≤ a ， | x |≥ a ( a >0) 型 不等式求解． | ax ＋ b |≤ c ( c >0) 型不等式的解法：先化为 ， 再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式 | ax ＋ b |≥ c ( c >0) 的解法：先化为 或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集． － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c ax ＋ b ≤ － c 2 ． | x － a | ＋ | x － b |≥ c 和 | x － a | ＋ | x － b |≤ c 型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键． 几何意义 ②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键． ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像 ( 有时需要考查函数的增减性 ) 是解题关键． 零点 [ 例 1] 　解下列不等式： (1)|5 x － 2|≥8 ； (2)2≤| x － 2|≤4. [ 思路点拨 ] 　利用 | x |> a 及 | x |< a ( a >0) 型不等式的解法求解． | ax ＋ b |≥ c 和 | ax ＋ b |≤ c 型不等式的解法： ①当 c >0 时， | ax ＋ b |≥ c ⇔ ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c ， | ax ＋ b |≤ c ⇔－ c ≤ ax ＋ b ≤ c . ②当 c ＝ 0 时， | ax ＋ b |≥ c 的解集为 R ， | ax ＋ b |< c 的解集为 ∅ . ③当 c <0 时， | ax ＋ b |≥ c 的解集为 R ， | ax ＋ b |≤ c 的解集为 ∅ . 1 ．解下列不等式： (1)|3 － 2 x |<9 ； (2)| x － x 2 － 2|> x 2 － 3 x － 4 ； (3)| x 2 － 3 x － 4|> x ＋ 1 解： (1) ∵ |3 － 2 x |<9 ，∴ |2 x － 3|<9. ∴－ 9<2 x － 3<9. 即－ 6<2 x <12. ∴－ 3< x <6. ∴原不等式的解集为 { x | － 3< x <6} ． (3) 不等式可转化为 x 2 － 3 x － 4> x ＋ 1 或 x 2 － 3 x － 4< － x － 1 ， ∴ x 2 － 4 x － 5>0 或 x 2 － 2 x － 3<0. 解得 x >5 或 x < － 1 或－ 1< x <3 ， ∴不等式的解集是 (5 ，＋ ∞ ) ∪ ( － ∞ ，－ 1) ∪ ( － 1,3) ． 　　 [ 例 2] 　 解不等式 | x － 3| － | x ＋ 1|<1. [ 思路点拨 ] 　解该不等式，可采用三种方法： (1) 利用绝对值的几何意义； (2) 利用各绝对值的零点分段讨论； (3) 构造函数，利用函数图像分析求解． | x － a | ＋ | x － b |≥ c 、 | x － a | ＋ | x － b |≤ c ( c >0) 型不等式 的三种解法：分区间 ( 分类 ) 讨论法、图像法和几何法． 分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和 图像法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2 ．解不等式 | x － 2| － | x ＋ 7|≤3. 解： 令 x ＋ 7 ＝ 0 ， x － 2 ＝ 0 得 x ＝－ 7 ， x ＝ 2. ①当 x < － 7 时， 不等式变为－ x ＋ 2 ＋ x ＋ 7≤3 ， ∴ 9≤3. ∴ 解集为空集． ②当－ 7≤ x ≤2 时， 不等式变为－ x ＋ 2 － x － 7≤3 ， 即 x ≥ － 4. ∴－ 4≤ x ≤2. ③当 x >2 时， 不等式变为 x － 2 － x － 7≤3 ， 即－ 9≤3 恒成立，∴ x >2. ∴原不等式的解集为 [ － 4 ，＋ ∞ ] ． 3 ．解不等式 |2 x － 1| ＋ |3 x ＋ 2|≥8. [ 例 3] 　已知不等式 | x ＋ 2| － | x ＋ 3|> m . (1) 若不等式有解； (2) 若不等式解集为 R ； (3) 若不等式解集为∅，分别求出 m 的范围． [ 思路点拨 ] 　解答本题可以先根据绝对值 | x － a | 的意义或绝对值不等式的性质求出 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最大值和最小值，再分别写出三种情况下 m 的范围． [ 解 ] 　法一： 因 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的几何意义为数轴上任意一点 P ( x ) 与两定点 A ( － 2) ， B ( － 3) 距离的差． 即 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| ＝ | PA | － | PB |. 由图像知 (| PA | － | PB |) max ＝ 1 ， (| PA | － | PB |) min ＝－ 1. 即－ 1≤| x ＋ 2| － | x ＋ 3|≤1. (1) 若不等式有解， m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最大值小即可，即 m <1 ， m 的范围为 ( － ∞ ， 1) ； (2) 若不等式的解集为 R ，即不等式恒成立， m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最小值还小，即 m ＜－ 1 ， m 的范围为 ( － ∞ ，－ 1) ； (3) 若不等式的解集为∅， m 只要不小于 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最大值即可，即 m ≥1 ， m 的范围为 [1 ，＋ ∞ ) 法二： 由 | x ＋ 2| － | x ＋ 3|≤|( x ＋ 2) － ( x ＋ 3)| ＝ 1 ， | x ＋ 3| － | x ＋ 2|≤|( x ＋ 3) － ( x ＋ 2)| ＝ 1 ， 可得－ 1≤| x ＋ 2| － | x ＋ 3|≤1. (1) 若不等式有解，则 m ∈ ( － ∞ ， 1) ． (2) 若不等式解集为 R ，则 m ∈ ( － ∞ ，－ 1) ． (3) 若不等式解集为∅，则 m ∈ [1 ，＋ ∞ ) ． 问题 (1) 是存在性问题，只要求存在满足条件的 x 即可；不等式解集为 R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题 f ( x )< a 恒成立⇔ f ( x ) max < a ， f ( x )> a 恒成立⇔ f ( x ) min > a . 4 ．把本例中的 “ >” 改成 “ <” ，即 | x ＋ 2| － | x ＋ 3|< m 时，分别 求出 m 的范围． 解： 由例题知－ 1≤| x ＋ 2| － | x ＋ 3|≤1 ，所以 (1) 若不等式有解， m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最小值大即可，即 m ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) ； (2) 若不等式的解集为 R ，即不等式恒成立， m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最大值大即可，即 m ∈ (1 ，＋ ∞ ) (3) 若不等式的解集为∅， m 只要不大于 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最小值即可，即 m ∈ ( － ∞ ，－ 1] 5 ．把本例中的 “ － ” 改成 “ ＋ ” ，即 | x ＋ 2| ＋ | x ＋ 3|> m 时，分 别求出 m 的范围． 解： | x ＋ 2| ＋ | x ＋ 3|≥|( x ＋ 2) － ( x ＋ 3)| ＝ 1 ， 即 | x ＋ 2| ＋ | x ＋ 3|≥1. (1) 若不等式有解， m 为任何实数均可， 即 m ∈ R ； (2) 若不等式解集为 R ，即 m ∈ ( － ∞ ， 1) (3) 若不等式解集为∅，这样的 m 不存在，即 m ∈ ∅ .