数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版） 23页

‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在直角坐标系中，点P坐标是（﹣3，3），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，点P的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）‎ A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 ‎4．为了解1500名学生对学校食堂伙食的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（　　）‎ A．50 B．40 C．20 D．30‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．5‎ ‎6．函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎7．下列各数中最小的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．111111（2）‎ ‎8．“毒奶粉”事件引起了社会对食品安全的高度重视，各级政府加强了对食品安全的检查力度．某市工商质检局抽派甲、乙两个食品质量检查组到管辖区域内的商店进行食品质量检查．如图表示甲、乙两个检查组每天检查到的食品品种数的茎叶图，则甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的中位数的和是（　　）‎ A．56 B．57 C．58 D．59‎ ‎9．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）‎ A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005‎ ‎10．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎11．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）ex在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为　　人．‎ ‎14．在棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到正方体各个面的距离都不小于1的概率为　　．‎ ‎15．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：‎ 由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a．据此预测当气温为﹣4°C时，用电量为　　（单位：度）．‎ 气温（x℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ ‎16．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎（Ⅰ）至多有2人排队的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．‎ ‎18．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：‎ 甲 ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ 乙 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；‎ ‎（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．‎ ‎19．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；‎ ‎（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．‎ ‎20．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）用分层抽样的方法从成绩是80分以上的学生中抽取了6人进行试卷分析，再从这6个人中选2人作学习经验介绍发言，求选出的2人中至少有1人在[90，100]的概率．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2．‎ ‎（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】简化模型，只考虑第999次出现的结果，有两种结果，第999次出现正面朝上只有一种结果，即可求 ‎【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为 故选D ‎【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎2．在直角坐标系中，点P坐标是（﹣3，3），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，点P的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】极坐标刻画点的位置．‎ ‎【分析】根据极坐标与直角坐标互化的公式，求出点P的极坐标．‎ ‎【解答】解：∵点P坐标是（﹣3，3），∴ρ==3，‎ tanθ=﹣1，θ∈[0，π），∴θ=‎ ‎∴点P的极坐标为（3，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直角坐标与极坐标互化的问题，利用极坐标与直角坐标互化公式计算即可．‎ ‎　‎ ‎3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）‎ A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 ‎【考点】随机事件．‎ ‎【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，‎ 故选D ‎【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．‎ ‎　‎ ‎4．为了解1500名学生对学校食堂伙食的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（　　）‎ A．50 B．40 C．20 D．30‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】系统抽样时将整个的编号分段要确定分段的间隔，当总体个数除以样本容量是整数时，则间隔确定，当不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）使剩下的总体中个体的个数能被样本容量整除．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，‎ 总体中个体数是1500，样本容量是30，‎ 根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔K==50，‎ 故选A．‎ ‎【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】结合判断框的流程，写出几次循环的结果，当判断框中的条件是3时，符和题意．‎ ‎【解答】解：当判断框中的条件是a≤3时，‎ ‎∵第一次循环结果为b=2，a=2，‎ 第二次循环结果为b=4，a=3，‎ d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查写出几次循环的结果，判断出经几次循环输出的结果是16，得到判断框中的条件．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（2）的等式解之．‎ ‎【解答】解：由关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，两边求导得f'（x）=2x+3f'（2）+，令x=2得f'（2）=4+3f'（2）+，解得f'（2）=；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取2求值．‎ ‎　‎ ‎7．下列各数中最小的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．111111（2）‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．‎ ‎【解答】解：85（9）=8×9+5=77，‎ ‎210（6）=2×62+1×6=78，‎ ‎1000（4）=1×43=64，‎ ‎111111（2）=1×26﹣1=63，‎ 故最小的数是111111（2）‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．‎ ‎　‎ ‎8．“毒奶粉”事件引起了社会对食品安全的高度重视，各级政府加强了对食品安全的检查力度．某市工商质检局抽派甲、乙两个食品质量检查组到管辖区域内的商店进行食品质量检查．如图表示甲、乙两个检查组每天检查到的食品品种数的茎叶图，则甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的中位数的和是（　　）‎ A．56 B．57 C．58 D．59‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】利用中位数的定义结合从对称性分析茎叶图可得找出甲和乙得分的中位数，再求它们的和即可．‎ ‎【解答】解：从对称性分析茎叶图可得：‎ 甲食品品种数中间一个数据为：32，则甲的中位数是32，‎ 乙食品品种数中间一个数据为：25，乙的中位数是25，‎ 故中位数之和是57．‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查利用茎叶图求中位数的方法，一组数据的中位数指按照大小顺序排列，位次处于最中间的一个数，若最中间有两个数，则取这两个数的平均值作为中位数．‎ ‎　‎ ‎9．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）‎ A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005‎ ‎【考点】概率的基本性质．‎ ‎【分析】本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，根据所给的抽到一等品的概率做出抽不到一等品的概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，‎ ‎∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，‎ ‎ P（A）=0.65，‎ ‎∴抽到不是一等品的概率是1﹣0.65=0.35‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查对立事件的概率，本题解题的关键是看清楚题目中所给的两个干扰元素，不要用抽到二等品的概率和抽到三等品的概率相加．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，‎ ‎∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ ‎∵x∈[﹣3，2]，‎ ‎∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减 ‎∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19‎ ‎∴f（x）max﹣f（x）min=20，‎ ‎∴t≥20‎ ‎∴实数t的最小值是20，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）ex在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．‎ ‎【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．‎ ‎【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，‎ 由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，‎ 所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．‎ 所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．‎ 对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，‎ 对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，‎ 对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，‎ 对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．‎ ‎　‎ ‎12．已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，‎ ‎∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），‎ 则=，‎ 令g（a）=，则g′（a）=，‎ 则函数g（a）为增函数，‎ ‎∴∈（0，）．‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为　12　人．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为=12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．在棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到正方体各个面的距离都不小于1的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据点P与正方体各表面的距离都大于1，则所在的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．‎ ‎【解答】解：符合条件的点P落在棱长为1的正方体内，‎ 根据几何概型的概率计算公式得P==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．‎ ‎　‎ ‎15．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：‎ 由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a．据此预测当气温为﹣4°C时，用电量为　68　（单位：度）．‎ 气温（x℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心（，），代入求出a，结合线性回归方程进行预测即可．‎ ‎【解答】解： =（18+13+10﹣1）=10，‎ ‎=（24+34+38+64）=40，‎ 则﹣20+a=40，‎ 即a=60，‎ 则回归直线方程=﹣2x+60．‎ 当气温为﹣4°C时，用电量为=﹣2×（﹣4）+60=68，‎ 故答案为：68‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报y的值，求出样本中心是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是　y=2x﹣1　．‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，‎ ‎∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．‎ ‎∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．‎ 将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8‎ 得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．‎ ‎∴f（x）=x2，f'（x）=2x ‎∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．‎ ‎∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），‎ 即y=2x﹣1．‎ 答案y=2x﹣1‎ ‎【点评】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2015春•濮阳期末）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎（Ⅰ）至多有2人排队的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）“至多2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”，“2人排队”三个事件的和事件，三个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出至多2人排队的概率．‎ ‎（Ⅱ）“至少2人排队”与“少于2人排队”是对立事件；“少于2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”二个事件的和事件，二个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出“少于2人排队”的概率；再利用对立事件的概率公式求出）“至少2人排队”的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B．2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥．‎ P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56；‎ ‎（Ⅱ）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，‎ 则P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式．考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014春•阿勒泰市校级期末）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：‎ 甲 ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ 乙 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；‎ ‎（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）根据所给的数据，利用平均数和标准差的计算公式，分别求解，即可得到答案；‎ ‎（2）比较甲和乙的标准差的大小，根据标准差越小，其稳定性越好，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题中所给数据，则甲的平均数为=（8+9+7+9+7+6+10+10+8+6）=8，‎ 乙的平均数为=（10+9+8+6+8+7+9+7+8+8）=8，‎ 甲的标准差为s甲==，‎ 乙的标准差为s乙==，‎ 故甲的平均数为8，标准差为，乙的平均数为8，标准差为；‎ ‎（2）∵=，且s甲＞s乙，‎ ‎∴乙的成绩较为稳定，‎ 故选择乙参加射箭比赛．‎ ‎【点评】本题考查平均数、方差与标准差、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•东安区校级月考）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；‎ ‎（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用，可得直角坐标方程．直线L的参数方程消去参数t即可得出直线L的普通方程．‎ ‎（2）把直线L的参数方程代入方程：x2+y2=2x化为：3t2+（4）t+4m2﹣8m=0，由△＞0，利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，‎ 可得直角坐标方程：x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．‎ 直线L的参数方程是（t为参数）．‎ 消去参数t可得x﹣﹣m=0．‎ ‎（2）把直线L的参数方程是t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：‎ ‎3t2+（4）t+4m2﹣8m=0，‎ ‎△=（4）2﹣12（4m2﹣8m）＞0，解得1﹣＜m＜1+．‎ ‎∴t1t2=‎ ‎∵|PA|•|PB|=1=t1t2，‎ ‎∴=1，‎ 解得m=1±．满足△＞0．‎ ‎∴实数m=1±．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017春•东安区校级月考）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]‎ 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）用分层抽样的方法从成绩是80分以上的学生中抽取了6人进行试卷分析，再从这6个人中选2人作学习经验介绍发言，求选出的2人中至少有1人在[90，100]的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；‎ ‎（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可；‎ ‎（3）[80，90），[90，100]的人数是15，3．所以从成绩是80分以上（包括80分）的学生中抽取的6 人中[80，90）有5人，[90，100]中有1人，进而可求至少1人在他们在[90，100]的概率．‎ ‎【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，‎ 故第四组的频率：‎ f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.03，‎ 直方图如右所示．‎ ‎（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：‎ ‎（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75‎ 所以，抽样学生成绩的合格率是75%，‎ 利用组中值估算抽样学生的平均分为：‎ ‎45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6‎ ‎=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，‎ 估计这次考试的平均分是71分．‎ ‎（3）[80，90），[90，100]的人数是15，3．‎ 所以从成绩是80分以上（包括80分）的学生中抽取的6人中[80，90）有5人，[90，100]中有1人，‎ 从这6人中选2人共有15种选法，至少有1人在[90，100]的选法有5种，‎ 所以，至少1人在他们在[90，100]的概率为=．‎ ‎【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014秋•临川区校级期末）已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2．‎ ‎（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出g'（x）=3kx2﹣1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；‎ ‎（2）由已知k≤，令h（x）=，判断函数的单调性，以及函数的最值，即可求出k的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…（1分）‎ ‎①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）‎ ‎②当k＞0时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜＜2，解得＜k＜…（4分）‎ 综上k的取值范围是＜k＜．…‎ ‎（2）由已知k≤，‎ 令h（x）=，则h′（x）=＞0，‎ ‎∴h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，‎ ‎∴h（x）min=h（1）=﹣e ‎∴k≤﹣e，‎ ‎∴k的最大值为﹣e．．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；‎ 对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；‎ 对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用 的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，‎ 即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，‎ ‎∴函数f（x）在R上为增函数．‎ ‎（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，‎ 则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]‎ ‎=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]‎ ‎=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．‎ ‎①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，‎ ‎∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，‎ 从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，‎ ‎∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．‎ ‎②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，‎ 又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．‎ 综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．‎ ‎（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，‎ 为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，‎ 得．‎ 当b=2时，由g（x）＞0，得，‎ 从而；‎ 令，得＞2，当时，‎ 由g（x）＜0，得，得．‎ 所以ln2的近似值为0.693．‎ ‎【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．‎ ‎2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．‎ ‎3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．‎