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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届广东省东莞市南开实验学校高二下学期期初数学试卷(理科) (解析版)

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‎2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二(下)期初数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.已知复数z=1﹣i(i是虚数单位),则+等于(  )‎ A.2+2i B.2 C.2﹣i D.2i ‎2.设函数f(x)在x处导数存在,则=(  )‎ A.﹣2f′(2) B.2f′(2) C.﹣f′(2) D. f′(2)‎ ‎3.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=,a7+a8+a9=π,则cosa5的值为(  )‎ A. B.﹣ C.﹣ D.‎ ‎4.已知p:|x﹣3|<1,q:x2+x﹣6>0,则p是q的(  )‎ A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为(  )‎ A.26 B.24 C.20 D.19‎ ‎6.若直线ax+2by﹣2=0(a≥b>0),始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长,则+的最小值为(  )‎ A.1 B.3+2 C.4 D.6‎ ‎7.若实数x,y满足不等式,且x+y的最大值为9,则实数m=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎8.如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数y=的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在锐角三角形ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是(  )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎12.已知函数f(x)=1+x﹣+﹣+…+,g(x)=1﹣x+﹣++…﹣,设函数F(x)=f(x+3)•g(x﹣4),且函数的所有零点均在[a,b]‎ ‎(a,b∈Z)内,则b﹣a的最小值为(  )‎ A.6 B.8 C.9 D.10‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题;每小题5分,共20分.‎ ‎13.命题“∀x>0,都有sinx≥﹣1”的否定:  .‎ ‎14.设点P在曲线y=ex上,点Q在直线y=x上,则|PQ|的最小值为  .‎ ‎15.下列说法:‎ ‎①函数f(x)=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间(1,2);‎ ‎②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a∈(0,1);‎ ‎③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点;‎ ‎④函数的最小值是1.‎ 正确的有  .(请将你认为正确的说法的序号都写上)‎ ‎16.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分别为AB、BC的中点.点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动(如图所示),若=λ+μ,其中λ,μ∈R.则2λ﹣μ的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共计70分.‎ ‎17.已知命题p:x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根,不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解,若命题p是真命题,命题q是假命题,求a的取值范围.‎ ‎18.已知数列{an}满足al=﹣2,an+1=2an+4.‎ ‎(I)证明数列{an+4}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎19.如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥‎ 底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.‎ ‎(Ⅰ)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,右顶点为A,直线BC过原点O,且点B在x轴上方,直线AB与AC分别交直线l:x=a+1于点E、F.‎ ‎(1)若点,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若点B为动点,设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2.‎ ‎①试探究:k1•k2是否为定值?若为定值,请求出;若不为定值,请说明理由;‎ ‎②求△AEF的面积的最小值.‎ ‎21.设k∈R,函数f(x)=lnx﹣kx.‎ ‎(1)若k=2,求曲线y=f(x)在P(1,﹣2)处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)无零点,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证:lnx1+lnx2>2.‎ ‎22.在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(t为参数,a>‎ ‎0)以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二(下)期初数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.已知复数z=1﹣i(i是虚数单位),则+等于(  )‎ A.2+2i B.2 C.2﹣i D.2i ‎【考点】复数代数形式的混合运算.‎ ‎【分析】由复数z=1﹣i(i是虚数单位),得,然后由复数代数形式的除法运算化简+,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由复数z=1﹣i(i是虚数单位),得,‎ 则+==1+i+i﹣1=2i.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.设函数f(x)在x处导数存在,则=(  )‎ A.﹣2f′(2) B.2f′(2) C.﹣f′(2) D. f′(2)‎ ‎【考点】极限及其运算.‎ ‎【分析】利用导数的定义即可得出.‎ ‎【解答】解: =•=﹣f′(2).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=,a7+a8+a9=π,则cosa5的值为(  )‎ A. B.﹣ C.﹣ D.‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】利用等差的性质,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等差,从而可得a4+a5+a6的值,根据等差中项可得a5的值 ‎【解答】解:由题意,{an}为等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等差,‎ ‎∴a4+a5+a6=,‎ 那么3a5=,‎ a5=,‎ cosa5=cos=‎ 故选D ‎ ‎ ‎4.已知p:|x﹣3|<1,q:x2+x﹣6>0,则p是q的(  )‎ A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【解答】解:由|x﹣3|<1得2<x<4,即p:2<x<4‎ 由x2+x﹣6>0,得x>2或x<﹣3,即q:x>2或x<﹣3‎ 则p是q的充分不必要条件,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为(  )‎ A.26 B.24 C.20 D.19‎ ‎【考点】进行简单的合情推理.‎ ‎【分析】要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量,关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量.‎ ‎【解答】解:依题意,首先找出A到B的路线,‎ ‎①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量,从结点A向中间的结点传出12个信息量,在该结点处分流为6个和5个,此时信息量为11;再传到结点B最大传递分别是4个和3个,此时信息量为3+4=7个.‎ ‎②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量,在中间结点分流为6个和8个,但此时总信息量为12(因为总共只有12个信息量);再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个,另一条路线到最大只能传输6个结点B,所以此时信息量为6+6=12个.‎ ‎③综合以上结果,单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个. ‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.若直线ax+2by﹣2=0(a≥b>0),始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长,则+的最小值为(  )‎ A.1 B.3+2 C.4 D.6‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】利用直线与圆的位置关系求出a,b的关系,就所求表达式,通过函数的单调性,求解最值即可.‎ ‎【解答】解:因为直线ax+2by﹣2=0(a≥b>0),始终平分圆x2+y2‎ ‎﹣4x﹣2y﹣8=0的周长,‎ 所以直线直线ax+2by﹣2=0过圆的圆心(2,1),‎ 则2a+2b﹣2=0,即a+b=1;‎ 则+==3.‎ 令t=,(0<t≤1),则f(t)=t+在(0,1]上单调递减,fmin(t)=f(1)=1+2+3=6,‎ 故+的最小值为6.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.若实数x,y满足不等式,且x+y的最大值为9,则实数m=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时,从而得到m值即可.‎ ‎【解答】解:先根据约束条件画出可行域,‎ 设z=x+y,‎ 将最大值转化为y轴上的截距,‎ 当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A(4,5)时,z最大,‎ 将m等价为斜率的倒数,‎ 数形结合,将点A的坐标代入x﹣my+1=0得 m=1,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】先取BC的中点D,连接D1F1,F1D,将BD1平移到F1D,则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可.‎ ‎【解答】解:取BC的中点D,连接D1F1,F1D ‎∴D1B∥DF1‎ ‎∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2,则AD=,AF1=,DF1=‎ 在△DF1A中,cos∠DF1A=,‎ 故选A ‎ ‎ ‎9.函数y=的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法,即可判断 ‎【解答】解:∵y=为偶函数,‎ ‎∴图象关于y轴对称,排除A,C,‎ 当x=时,y=<0,排除D,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎10.设F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴,PF2=,PF2=,从而得到=,由此能求出椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:∵线段PF1的中点在y轴上 设P的横坐标为x,F1(﹣c,0),‎ ‎∴﹣c+x=0,∴x=c;‎ ‎∴P与F2的横坐标相等,∴PF2⊥x轴,‎ ‎∵∠PF1F2=30°,‎ ‎∴PF2=,‎ ‎∵PF1+PF2=2a,∴PF2=,‎ tan∠PF1F2===,‎ ‎∴=,∴e==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.在锐角三角形ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是(  )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数.‎ ‎【分析】由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ①,tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②,化简tanA+tanB+tanC,利用基本不等式求得它的最小值.‎ ‎【解答】解:在锐角三角形ABC 中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.‎ ‎∵a=2bsinC,∴sinA=2sinBsinC,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,‎ 化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ①.‎ ‎∵tanA=﹣tan(B+C)=>0,∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②,且tanB•tanC﹣1>0.‎ 则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC=•tanBtanC,令tanB•tanC﹣1=m,则m>0,‎ 故tanA+tanB+tanC=•(m+1)=•(m+1)=•(m+1)==4+2m+≥4+2=8,‎ 当且仅当2m=,即m=1时,取等号,此时,tanB•tanC=2,‎ 故tanA+tanB+tanC的最小值是8,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=1+x﹣+﹣+…+,g(x)=1﹣x+﹣++…﹣,设函数F(x)=f(x+3)•g(x﹣4),且函数的所有零点均在[a,b](a,b∈Z)内,则b﹣a的最小值为(  )‎ A.6 B.8 C.9 D.10‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】求导数,确定f(x)是R上的增函数,函数f(x)在[﹣1,0]上有一个零点,同理可得函数g(x)在[0,1]上有一个零点;即可得出结论.‎ ‎【解答】解:f′(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014;‎ x>﹣1时,f′(x)>0,f′(﹣1)=2015>0,x<﹣1时,f′(x)>0,‎ 因此f(x)是R上的增函数,‎ ‎∵f(0)=1>0,f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣﹣)+…+(﹣﹣)<0‎ ‎∴函数f(x)在[﹣1,0]上有一个零点;‎ ‎∴函数f(x+3)在[﹣4,﹣3]上有一个零点,‎ 同理,g′(x)=﹣1+x﹣x2+…﹣x2014;‎ x>﹣1时,g′(x)<0,g′(﹣1)=﹣2015<0,x<﹣1时,g′(x)<0,‎ 因此g(x)是R上的减函数,‎ ‎∵g(0)=﹣1<0,g(1)=(1﹣1)+(﹣)+…+(﹣‎ ‎)>0‎ ‎∴函数g(x)在[0,1]上有一个零点;‎ ‎∴函数g(x﹣4)在[4,5]上有一个零点,‎ ‎∵函数F(x)=f(x+3)•g(x﹣4)的零点均在区间[a,b],(a,b∈Z)内,‎ ‎∴amax=﹣4,bmin=5,‎ ‎∴(b﹣a)min=5﹣(﹣4)=9.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题;每小题5分,共20分.‎ ‎13.命题“∀x>0,都有sinx≥﹣1”的否定: ∃x>0,使得sinx<﹣1 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】先否定题设,再否定结论.‎ ‎【解答】解:∵“∀x>0”的否定是“∃x>0”,“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx<﹣1”,‎ ‎∴“∀x>0,都有sinx≥﹣1”的否定是“∃x>0,使得sinx<﹣1”.‎ 故答案为:∃x>0,使得sinx<﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.设点P在曲线y=ex上,点Q在直线y=x上,则|PQ|的最小值为  .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离.‎ ‎【分析】设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切,则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值,由导数和切线的关系,再由平行线的距离公式可得最小值.‎ ‎【解答】解:设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切,‎ 则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值,‎ 设直线y=x+b与曲线y=ex的切点为(m,em),‎ 则由切点还在直线y=x+b可得em=m+b,‎ 由切线斜率等于切点的导数值可得em=1,‎ 联立解得m=0,b=1,‎ 由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.下列说法:‎ ‎①函数f(x)=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间(1,2);‎ ‎②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a∈(0,1);‎ ‎③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点;‎ ‎④函数的最小值是1.‎ 正确的有 ①④ .(请将你认为正确的说法的序号都写上)‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;函数零点的判定定理.‎ ‎【分析】根据函数零点判定定理,判断①是否正确;‎ 根据不等式恒成立的条件,判断②是否正确;‎ 利用三角函数线与角的弧度数的大小,判断③是否正确;‎ 用换元法求得三角函数的最小值,来判断④是否正确.‎ ‎【解答】解:对①,f(1)=﹣3,f(2)=ln2>0,∵f(﹣1)×f(2)<0,且f(x)在(1,2)上是增函数,∴函数在(1,2)内只有一个零点.故①正确;‎ 对②关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<1.故②不正确;‎ 对③根据正弦线|sinx|≤|x|当且仅当x=0取“=”,∴只有一个交点,故③不正确;‎ 对④设t=sinx+cosx=sin(x+),∴t∈[1,],y=+t=(t+1)2﹣1,∴函数的最小值是1.故④正确.‎ 故答案是①④‎ ‎ ‎ ‎16.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥‎ AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分别为AB、BC的中点.点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动(如图所示),若=λ+μ,其中λ,μ∈R.则2λ﹣μ的取值范围是 [﹣1,1] .‎ ‎【考点】向量在几何中的应用.‎ ‎【分析】建立如图所示的坐标系,则A(0,0),E(1,0),D(0,1),F(1.5,0.5),P(cosα,sinα)(0°≤α≤90°),λ,μ用参数进行表示,利用辅助角公式化简,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:建立如图所示的坐标系,则A(0,0),E(1,0),D(0,1),F(1.5,0.5),P(cosα,sinα)(0°≤α≤90°),‎ ‎∵=λ+μ,‎ ‎∴(cosα,sinα)=λ(﹣1,1)+μ(1.5,0.5),‎ ‎∴cosα=﹣λ+1.5μ,sinα=λ+0.5μ,‎ ‎∴λ=(3sinα﹣cosα),μ=(cosα+sinα),‎ ‎∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin(α﹣45°)‎ ‎∵0°≤α≤90°,‎ ‎∴﹣45°≤α﹣45°≤45°,‎ ‎∴﹣≤sin(α﹣45°)≤,‎ ‎∴﹣1≤sin(α﹣45°)≤1‎ ‎∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1,1].‎ 故答案为:[﹣1,1].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共计70分.‎ ‎17.已知命题p:x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根,不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解,若命题p是真命题,命题q是假命题,求a的取值范围.‎ ‎【考点】四种命题的真假关系;一元二次不等式的应用.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定,由命题p:x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根,不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立,我们易求出P是真命题时,a的取值范围;由命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解,我们也易求出q为假命题时的a的取值范围,再由命题p是真命题,命题q是假命题,求出两个范围的公共部分,即得答案.‎ ‎【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根 ‎∴‎ ‎∴|x1﹣x2|=‎ ‎=‎ ‎∴当m∈[﹣1,1]时,|x1﹣x2|max=3,‎ 由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立.‎ 可得:a2﹣5a﹣3≥3,∴a≥6或a≤﹣1,‎ ‎∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1,‎ 命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解.‎ ‎①当a>0时,显然有解.‎ ‎②当a=0时,2x﹣1>0有解 ‎③当a<0时,∵ax2+2x﹣1>0有解,‎ ‎∴△=4+4a>0,∴﹣1<a<0,‎ 从而命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解时a>﹣1.‎ 又命题q是假命题,‎ ‎∴a≤﹣1,‎ 故命题p是真命题且命题q是假命题时,‎ a的取值范围为a≤﹣1.‎ ‎ ‎ ‎18.已知数列{an}满足al=﹣2,an+1=2an+4.‎ ‎(I)证明数列{an+4}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(I)数列{an}满足al=﹣2,an+1=2an+4,an+1+4=2(an+4),即可得出.‎ ‎(II)由(I)可得:an+4=2n,可得an=2n﹣4,当n=1时,a1=﹣2;n≥2时,an≥0,可得n≥2时,Sn=﹣a1+a2+a3+…+an.‎ ‎【解答】(I)证明:∵数列{an}满足al=﹣2,an+1=2an+4,∴an+1+4=2(an+4),∴数列{an+4}是等比数列,公比与首项为2.‎ ‎(II)解:由(I)可得:an+4=2n,∴an=2n﹣4,∴当n=1时,a1=﹣2;n≥2时,an≥0,‎ ‎∴n≥2时,Sn=﹣a1+a2+a3+…+an=2+(22﹣4)+(23﹣4)+…+(2n﹣4)‎ ‎=﹣4(n﹣1)=2n+1﹣4n+2.n=1时也成立.‎ ‎∴Sn=2n+1﹣4n+2.n∈N*.‎ ‎ ‎ ‎19.如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.‎ ‎(Ⅰ)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出AM⊥CD,AM⊥AB,AM⊥AA1,由此能证明AM⊥平面AA1B1B ‎(Ⅱ)分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形为菱形,∠BAD=120°,连结AC,‎ ‎∴△ACD为等边三角形,‎ 又∵M为CD中点,∴AM⊥CD,‎ 由CD∥AB得,∴AM⊥AB,‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴AM⊥AA1,‎ 又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面AA1B1B 解:(Ⅱ)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,‎ ‎∴DM=1,,∠AMD=∠BAM=90°,‎ 又∵AA1⊥底面ABCD,‎ 分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,‎ 则A1(0,0,2)、B(2,0,0)、、,‎ ‎∴,,,‎ 设平面A1BD的一个法向量,‎ 则有,令x=1,则,‎ ‎∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值:‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,右顶点为A,直线BC过原点O,且点B在x轴上方,直线AB与AC分别交直线l:x=a+1于点E、F.‎ ‎(1)若点,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若点B为动点,设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2.‎ ‎①试探究:k1•k2是否为定值?若为定值,请求出;若不为定值,请说明理由;‎ ‎②求△AEF的面积的最小值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用.‎ ‎【分析】(1)根据题意的离心率及点B的坐标,建立方程,求出a的值,即可求△ABC的面积;‎ ‎(2)①k1•k2为定值,证明,由(1)得a2=2b2,即可得到结论;‎ ‎②设直线AB的方程为y=k1(x﹣a),直线AC的方程为y=k2(x﹣a),令x=a+1得,求出△AEF的面积,结合①的结论,利用基本不等式,可求△AEF的面积的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得 解得a2=2b2=8,‎ 则△ABC的面积S=;‎ ‎(2)①k1•k2为定值,下证之:‎ 证明:设B(x0,y0),则C(﹣x0,﹣y0),且,‎ 而 由(1)得a2=2b2,所以;‎ ‎②设直线AB的方程为y=k1(x﹣a),直线AC的方程为y=k2(x﹣a),‎ 令x=a+1得,yE=k1,yF=k2,则△AEF的面积,‎ 因为点B在x轴上方,所以k1<0,k2>0,‎ 由得(当且仅当k2=﹣k1时等号成立)‎ 所以,△AEF的面积的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎21.设k∈R,函数f(x)=lnx﹣kx.‎ ‎(1)若k=2,求曲线y=f(x)在P(1,﹣2)处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)无零点,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证:lnx1+lnx2>2.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】(1)求函数f(x)的导数,当k=2时f'(1)=﹣1,帖点斜式写出切线方程即可;‎ ‎(2)当k<0时,由f(1)•f(ek)<0可知函数有零点,不符合题意;当k=0时,函数f(x)=lnx有唯一零点x=1有唯一零点,不符合题意;当k>0时,由单调性可知函数有最大值,由函数的最大值小于零列出不等式,解之即可;‎ ‎(3)设f(x)的两个相异零点为x1,x2,设x1>x2>0,则lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0,两式作差可得,lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2)即lnx1+lnx2=k(x1+x2),由 可得lnx1+lnx2>2即k(x1+x2)>2, ,设上式转化为(t>1),构造函数,证g(t)>g(1)=0即可.‎ ‎【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),,‎ 当k=2时,f'(1)=1﹣2=﹣1,则切线方程为y﹣(﹣2)=﹣(x﹣1),即x+y+1=0;‎ ‎(2)①若k<0时,则f'(x)>0,f(x)是区间(0,+∞)上的增函数,‎ ‎∵f(1)=﹣k>0,f(ek)=k﹣kea=k(1﹣ek)<0,‎ ‎∴f(1)•f(ek)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)有唯一零点;‎ ‎②若k=0,f(x)=lnx有唯一零点x=1;‎ ‎③若k>0,令f'(x)=0,得,‎ 在区间上,f'(x)>0,函数f(x)是增函数;‎ 在区间上,f'(x)<0,函数f(x)是减函数;‎ 故在区间(0,+∞)上,f(x)的极大值为,‎ 由于f(x)无零点,须使,解得,‎ 故所求实数k的取值范围是;‎ ‎(3)证明:设f(x)的两个相异零点为x1,x2,设x1>x2>0,‎ ‎∵f(x1)=0,f(x2)=0,∴lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0,‎ ‎∴lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),lnx1+lnx2=k(x1+x2),‎ ‎∵,故lnx1+lnx2>2,故k(x1+x2)>2,‎ 即,即,‎ 设上式转化为(t>1),‎ 设,‎ ‎∴,‎ ‎∴g(t)在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴g(t)>g(1)=0,∴,‎ ‎∴lnx1+lnx2>2.‎ ‎ ‎ ‎22.在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(t为参数,a>0)以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出直线的普通方程,设P(2cost,2sint),则P到直线l的距离,即可求点P到直线l的距离的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,则对∀t∈R,有acost﹣2sint+4>0恒成立,即(其中 ‎)恒成立,即可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由,得,‎ 化成直角坐标方程,得,即直线l的方程为x﹣y+4=0.‎ 依题意,设P(2cost,2sint),则P到直线l的距离,‎ 当,即时,.‎ 故点P到直线l的距离的最小值为.‎ ‎(Ⅱ)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方,∴对∀t∈R,有acost﹣2sint+4>0恒成立,‎ 即(其中)恒成立,∴,又a>0,解得,‎ 故a的取值范围为.‎

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