数学卷·2018届广东省东莞市南开实验学校高二下学期期初数学试卷（理科） （解析版） 25页

‎2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+等于（　　）‎ A．2+2i B．2 C．2﹣i D．2i ‎2．设函数f（x）在x处导数存在，则=（　　）‎ A．﹣2f′（2） B．2f′（2） C．﹣f′（2） D． f′（2）‎ ‎3．已知{an}为等差数列，若a1+a2+a3=，a7+a8+a9=π，则cosa5的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎4．已知p：|x﹣3|＜1，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）‎ A．26 B．24 C．20 D．19‎ ‎6．若直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（　　）‎ A．1 B．3+2 C．4 D．6‎ ‎7．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎8．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数y=的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（　　）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎12．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣++…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数的所有零点均在[a，b]‎ ‎（a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．‎ ‎13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：　　．‎ ‎14．设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为　　．‎ ‎15．下列说法：‎ ‎①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；‎ ‎②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；‎ ‎③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；‎ ‎④函数的最小值是1．‎ 正确的有　　．（请将你认为正确的说法的序号都写上）‎ ‎16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共计70分．‎ ‎17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎18．已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．‎ ‎（I）证明数列{an+4}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．‎ ‎19．如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥‎ 底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．‎ ‎（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；‎ ‎（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．‎ ‎（1）若点，求△ABC的面积；‎ ‎（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．‎ ‎①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；‎ ‎②求△AEF的面积的最小值．‎ ‎21．设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx．‎ ‎（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．‎ ‎22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a＞‎ ‎0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+等于（　　）‎ A．2+2i B．2 C．2﹣i D．2i ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】由复数z=1﹣i（i是虚数单位），得，然后由复数代数形式的除法运算化简+，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由复数z=1﹣i（i是虚数单位），得，‎ 则+==1+i+i﹣1=2i．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．设函数f（x）在x处导数存在，则=（　　）‎ A．﹣2f′（2） B．2f′（2） C．﹣f′（2） D． f′（2）‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】利用导数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解： =•=﹣f′（2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知{an}为等差数列，若a1+a2+a3=，a7+a8+a9=π，则cosa5的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差的性质，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，从而可得a4+a5+a6的值，根据等差中项可得a5的值 ‎【解答】解：由题意，{an}为等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，‎ ‎∴a4+a5+a6=，‎ 那么3a5=，‎ a5=，‎ cosa5=cos=‎ 故选D ‎　‎ ‎4．已知p：|x﹣3|＜1，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：由|x﹣3|＜1得2＜x＜4，即p：2＜x＜4‎ 由x2+x﹣6＞0，得x＞2或x＜﹣3，即q：x＞2或x＜﹣3‎ 则p是q的充分不必要条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）‎ A．26 B．24 C．20 D．19‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．‎ ‎【解答】解：依题意，首先找出A到B的路线，‎ ‎①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个．‎ ‎②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．‎ ‎③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个． ‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．若直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（　　）‎ A．1 B．3+2 C．4 D．6‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】利用直线与圆的位置关系求出a，b的关系，就所求表达式，通过函数的单调性，求解最值即可．‎ ‎【解答】解：因为直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2‎ ‎﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，‎ 所以直线直线ax+2by﹣2=0过圆的圆心（2，1），‎ 则2a+2b﹣2=0，即a+b=1；‎ 则+==3．‎ 令t=，（0＜t≤1），则f（t）=t+在（0，1]上单调递减，fmin（t）=f（1）=1+2+3=6，‎ 故+的最小值为6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 设z=x+y，‎ 将最大值转化为y轴上的截距，‎ 当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，‎ 将m等价为斜率的倒数，‎ 数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得 m=1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D ‎∴D1B∥DF1‎ ‎∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=‎ 在△DF1A中，cos∠DF1A=，‎ 故选A ‎　‎ ‎9．函数y=的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法，即可判断 ‎【解答】解：∵y=为偶函数，‎ ‎∴图象关于y轴对称，排除A，C，‎ 当x=时，y=＜0，排除D，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．设F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上 设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），‎ ‎∴﹣c+x=0，∴x=c；‎ ‎∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，‎ ‎∵∠PF1F2=30°，‎ ‎∴PF2=，‎ ‎∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，‎ tan∠PF1F2===，‎ ‎∴=，∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（　　）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ①，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，化简tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值．‎ ‎【解答】解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．‎ ‎∵a=2bsinC，∴sinA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，‎ 化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ①．‎ ‎∵tanA=﹣tan（B+C）=＞0，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，且tanB•tanC﹣1＞0．‎ 则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC=•tanBtanC，令tanB•tanC﹣1=m，则m＞0，‎ 故tanA+tanB+tanC=•（m+1）=•（m+1）=•（m+1）==4+2m+≥4+2=8，‎ 当且仅当2m=，即m=1时，取等号，此时，tanB•tanC=2，‎ 故tanA+tanB+tanC的最小值是8，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣++…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数的所有零点均在[a，b]（a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点，同理可得函数g（x）在[0，1]上有一个零点；即可得出结论．‎ ‎【解答】解：f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014；‎ x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=2015＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，‎ 因此f（x）是R上的增函数，‎ ‎∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0‎ ‎∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；‎ ‎∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，‎ 同理，g′（x）=﹣1+x﹣x2+…﹣x2014；‎ x＞﹣1时，g′（x）＜0，g′（﹣1）=﹣2015＜0，x＜﹣1时，g′（x）＜0，‎ 因此g（x）是R上的减函数，‎ ‎∵g（0）=﹣1＜0，g（1）=（1﹣1）+（﹣）+…+（﹣‎ ‎）＞0‎ ‎∴函数g（x）在[0，1]上有一个零点；‎ ‎∴函数g（x﹣4）在[4，5]上有一个零点，‎ ‎∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点均在区间[a，b]，（a，b∈Z）内，‎ ‎∴amax=﹣4，bmin=5，‎ ‎∴（b﹣a）min=5﹣（﹣4）=9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．‎ ‎13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：　∃x＞0，使得sinx＜﹣1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】先否定题设，再否定结论．‎ ‎【解答】解：∵“∀x＞0”的否定是“∃x＞0”，“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx＜﹣1”，‎ ‎∴“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定是“∃x＞0，使得sinx＜﹣1”．‎ 故答案为：∃x＞0，使得sinx＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系，再由平行线的距离公式可得最小值．‎ ‎【解答】解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=ex相切，‎ 则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，‎ 设直线y=x+b与曲线y=ex的切点为（m，em），‎ 则由切点还在直线y=x+b可得em=m+b，‎ 由切线斜率等于切点的导数值可得em=1，‎ 联立解得m=0，b=1，‎ 由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．下列说法：‎ ‎①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；‎ ‎②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；‎ ‎③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；‎ ‎④函数的最小值是1．‎ 正确的有　①④　．（请将你认为正确的说法的序号都写上）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据函数零点判定定理，判断①是否正确；‎ 根据不等式恒成立的条件，判断②是否正确；‎ 利用三角函数线与角的弧度数的大小，判断③是否正确；‎ 用换元法求得三角函数的最小值，来判断④是否正确．‎ ‎【解答】解：对①，f（1）=﹣3，f（2）=ln2＞0，∵f（﹣1）×f（2）＜0，且f（x）在（1，2）上是增函数，∴函数在（1，2）内只有一个零点．故①正确；‎ 对②关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或⇒0≤a＜1．故②不正确；‎ 对③根据正弦线|sinx|≤|x|当且仅当x=0取“=”，∴只有一个交点，故③不正确；‎ 对④设t=sinx+cosx=sin（x+），∴t∈[1，]，y=+t=（t+1）2﹣1，∴函数的最小值是1．故④正确．‎ 故答案是①④‎ ‎　‎ ‎16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥‎ AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），‎ ‎∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，‎ ‎∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），‎ ‎∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）‎ ‎∵0°≤α≤90°，‎ ‎∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，‎ ‎∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，‎ ‎∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1‎ ‎∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．‎ 故答案为：[﹣1，1]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共计70分．‎ ‎17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根 ‎∴‎ ‎∴|x1﹣x2|=‎ ‎=‎ ‎∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，‎ 由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．‎ 可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，‎ ‎∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，‎ 命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．‎ ‎①当a＞0时，显然有解．‎ ‎②当a=0时，2x﹣1＞0有解 ‎③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，‎ ‎∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，‎ 从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．‎ 又命题q是假命题，‎ ‎∴a≤﹣1，‎ 故命题p是真命题且命题q是假命题时，‎ a的取值范围为a≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．‎ ‎（I）证明数列{an+4}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4，an+1+4=2（an+4），即可得出．‎ ‎（II）由（I）可得：an+4=2n，可得an=2n﹣4，当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，可得n≥2时，Sn=﹣a1+a2+a3+…+an．‎ ‎【解答】（I）证明：∵数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4，∴an+1+4=2（an+4），∴数列{an+4}是等比数列，公比与首项为2．‎ ‎（II）解：由（I）可得：an+4=2n，∴an=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，‎ ‎∴n≥2时，Sn=﹣a1+a2+a3+…+an=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）‎ ‎=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．‎ ‎∴Sn=2n+1﹣4n+2．n∈N*．‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．‎ ‎（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；‎ ‎（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1，由此能证明AM⊥平面AA1B1B ‎（Ⅱ）分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC，‎ ‎∴△ACD为等边三角形，‎ 又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，‎ 由CD∥AB得，∴AM⊥AB，‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，‎ 又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B 解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，‎ ‎∴DM=1，，∠AMD=∠BAM=90°，‎ 又∵AA1⊥底面ABCD，‎ 分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、、，‎ ‎∴，，，‎ 设平面A1BD的一个法向量，‎ 则有，令x=1，则，‎ ‎∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．‎ ‎（1）若点，求△ABC的面积；‎ ‎（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．‎ ‎①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；‎ ‎②求△AEF的面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面积；‎ ‎（2）①k1•k2为定值，证明，由（1）得a2=2b2，即可得到结论；‎ ‎②设直线AB的方程为y=k1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），令x=a+1得，求出△AEF的面积，结合①的结论，利用基本不等式，可求△AEF的面积的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得 解得a2=2b2=8，‎ 则△ABC的面积S=；‎ ‎（2）①k1•k2为定值，下证之：‎ 证明：设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），且，‎ 而 由（1）得a2=2b2，所以；‎ ‎②设直线AB的方程为y=k1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），‎ 令x=a+1得，yE=k1，yF=k2，则△AEF的面积，‎ 因为点B在x轴上方，所以k1＜0，k2＞0，‎ 由得（当且仅当k2=﹣k1时等号成立）‎ 所以，△AEF的面积的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx．‎ ‎（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求函数f（x）的导数，当k=2时f'（1）=﹣1，帖点斜式写出切线方程即可；‎ ‎（2）当k＜0时，由f（1）•f（ek）＜0可知函数有零点，不符合题意；当k=0时，函数f（x）=lnx有唯一零点x=1有唯一零点，不符合题意；当k＞0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；‎ ‎（3）设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，则lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2）即lnx1+lnx2=k（x1+x2），由 可得lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2， ，设上式转化为（t＞1），构造函数，证g（t）＞g（1）=0即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，‎ 当k=2时，f'（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0；‎ ‎（2）①若k＜0时，则f'（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，‎ ‎∵f（1）=﹣k＞0，f（ek）=k﹣kea=k（1﹣ek）＜0，‎ ‎∴f（1）•f（ek）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；‎ ‎②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；‎ ‎③若k＞0，令f'（x）=0，得，‎ 在区间上，f'（x）＞0，函数f（x）是增函数；‎ 在区间上，f'（x）＜0，函数f（x）是减函数；‎ 故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为，‎ 由于f（x）无零点，须使，解得，‎ 故所求实数k的取值范围是；‎ ‎（3）证明：设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，‎ ‎∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，‎ ‎∴lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），lnx1+lnx2=k（x1+x2），‎ ‎∵，故lnx1+lnx2＞2，故k（x1+x2）＞2，‎ 即，即，‎ 设上式转化为（t＞1），‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（t）＞g（1）=0，∴，‎ ‎∴lnx1+lnx2＞2．‎ ‎　‎ ‎22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P到直线l的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中 ‎）恒成立，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得，‎ 化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．‎ 依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，‎ 当，即时，．‎ 故点P到直线l的距离的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，‎ 即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，‎ 故a的取值范围为．‎