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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练27 平面向量的基本定理及坐标表示

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课时分层训练(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎(对应学生用书第251页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.下列各组向量中,可以作为基底的是(  )‎ A.e1=(0,0),e2=(1,-2)‎ B.e1=(-1,2),e2=(5,7)‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10)‎ D.e1=(2,-3),e2= B [两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B.]‎ ‎2.(2018·贵州适应性考试)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=(2,3),若a+λb与c共线,则实数λ=(  )‎ A.       B.- C. D.- B [由已知得a+λb=(2-λ,4+λ),因为向量a+λb与c共线,设a+λb=mc,所以解得故选B.]‎ ‎3.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  ) ‎ ‎【导学号:79140153】‎ A.-a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b B [设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ ‎∴∴∴c=a-b.]‎ ‎4.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为(  )‎ A.(7,4) B.(7,14)‎ C.(5,4) D.(5,14)‎ D [设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).‎ 由=3a,得解得 故点B的坐标为(5,14).]‎ ‎5.(2017·江西南昌十校二模)已知向量a=(1,-2),b=(x,3y-5),且a∥b,若x,y均为正数,则xy的最大值是(  )‎ A.2 B. C. D. C [∵a∥b,∴(3y-5)×1+2x=0,即2x+3y=5.‎ ‎∵x>0,y>0,‎ ‎∴5=2x+3y≥2,∴xy≤,当且仅当3y=2x时取等号.]‎ 二、填空题 ‎6.向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为________.‎ ‎(-3,4) [由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),∴b=(-6,8)=(-3,4).]‎ ‎7.已知向量a=(3cos α,2)与向量b=(3,4sin α)平行,则锐角α等于________. ‎ ‎【导学号:79140154】‎  [因为a=(3cos α,2),b=(3,4sin α),且a∥b,所以3cos α·4sin α-2×3=0,解得sin 2α=1.‎ 因为α∈,所以2α∈(0,π),‎ 所以2α=,即α=.]‎ ‎8.如图423,已知▱ABCD的边BC,CD上的中点分别是M,N,且=e1,=e2,若=xe2+ye1(x,y∈R),则x+y=________.‎ 图423‎  [设=a,=b,则=a,=-b.‎ 由题意得解得 ‎∴=e2-e1.‎ 故x=,y=-,‎ ‎∴x+y=.]‎ 三、解答题 ‎9.如图424,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试用a,b为基底表示向量,,.‎ 图424‎ ‎[解] =++=-b-a+b=b-a,‎ =+=-b+=b-a,‎ =+=-b-=a-b.‎ ‎10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.‎ ‎[解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),‎ 所以解得 ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),‎ 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.‎ B组 能力提升 ‎11.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为(  )‎ A. B.- C. D.- B [设P(x,y),则由=+λ,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),∴x=5λ+4,y=7λ+5.‎ 又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-.故选B.]‎ ‎12.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. D [法一:依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)·,且、不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是,选D.‎ 法二:∵=x+-x,∴-=x(-),即=x=-3x,∵O在线段CD(不含C、D两点)上,∴0<-3x<1,∴-<x<0.]‎ ‎13.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C 三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.‎ k≠1 [若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.‎ ‎∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),‎ =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),‎ ‎∴1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.]‎ ‎14.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;‎ ‎(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值. ‎ ‎【导学号:79140155】‎ ‎[解] (1)因为四边形OACB是平行四边形,‎ 所以=,即(a,0)=(2,2-b),‎ 解得 故a=2,b=2.‎ ‎(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),‎ 由A,B,C三点共线,得∥,‎ 所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以2(a+b)=ab≤,‎ 即(a+b)2-8(a+b)≥0,‎ 解得a+b≥8或a+b≤0.‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.‎ 当且仅当a=b=4时,“=”成立.‎

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