2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练27　平面向量的基本定理及坐标表示 7页

课时分层训练(二十七)　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎(对应学生用书第251页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝ B　[两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.]‎ ‎2．(2018·贵州适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)‎ A.　　　　　　 B．－ C. D．－ B　[由已知得a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a＋λb与c共线，设a＋λb＝mc，所以解得故选B.]‎ ‎3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　) ‎ ‎【导学号：79140153】‎ A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b B　[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴∴c＝a－b.]‎ ‎4．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)‎ A．(7,4) B．(7,14)‎ C．(5,4) D．(5,14)‎ D　[设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．‎ 由＝3a，得解得 故点B的坐标为(5,14)．]‎ ‎5．(2017·江西南昌十校二模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)‎ A．2 B． C． D． C　[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.‎ ‎∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号．]‎ 二、填空题 ‎6．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为________．‎ ‎(－3,4)　[由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．]‎ ‎7．已知向量a＝(3cos α，2)与向量b＝(3,4sin α)平行，则锐角α等于________. ‎ ‎【导学号：79140154】‎ 　[因为a＝(3cos α，2)，b＝(3,4sin α)，且a∥b，所以3cos α·4sin α－2×3＝0，解得sin 2α＝1.‎ 因为α∈，所以2α∈(0，π)，‎ 所以2α＝，即α＝.]‎ ‎8．如图423，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别是M，N，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1(x，y∈R)，则x＋y＝________.‎ 图423‎ 　[设＝a，＝b，则＝a，＝－b.‎ 由题意得解得 ‎∴＝e2－e1.‎ 故x＝，y＝－，‎ ‎∴x＋y＝.]‎ 三、解答题 ‎9．如图424，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ 图424‎ ‎[解]　＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ＝＋＝－b＋＝b－a，‎ ＝＋＝－b－＝a－b.‎ ‎10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ B组　能力提升 ‎11．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ B　[设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.‎ 又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.]‎ ‎12．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． D　[法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)·，且、不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，选D.‎ 法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C、D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－＜x＜0.]‎ ‎13．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C 三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．‎ k≠1　[若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]‎ ‎14．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.‎ ‎(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；‎ ‎(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值. ‎ ‎【导学号：79140155】‎ ‎[解]　(1)因为四边形OACB是平行四边形，‎ 所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，‎ 解得 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，‎ 由A，B，C三点共线，得∥，‎ 所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以2(a＋b)＝ab≤，‎ 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，‎ 解得a＋b≥8或a＋b≤0.‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.‎ 当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．‎