数学（理）卷·2018届江西省新余四中、鹰潭一中等重点中学盟校高三第一次联考（2018 10页

江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考 数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、 选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。）‎ ‎1．已知集合，则( )‎ ‎2.已知复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ ‎.. .. ‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内应填入(　　 )‎ ‎. .. . ‎ ‎4.如图该长为2、宽为1的长方形是某石拱桥的截面图，整个图形是轴对称图形，中间桥洞的轮廓为抛物线，抛物线和水平面之间为桥洞，现从该图形中任取一点，该点落在桥洞中的概率为（ ）‎ ‎．. ．． ‎ ‎5.下列命题是真命题的是 （ ）‎ ‎.已知随机变量，若，则；‎ ‎.在三角形中，是的充要条件； ‎ ‎.向量，则在的方向上的投影为；‎ ‎.命题“或为真命题”是命题“且为假命题”的充分不必要条件。‎ ‎6.已知平面区域 夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为(　 　)‎ ‎7.若将函数向右平移个单位，所得的函数图像关于原点对称，则角的终边可能过以下的哪个点 （ ）‎ ‎． . ． ． ‎ ‎8.若多项式展开式仅在第项的二项式系数最大，则多项式展开式中的系数为 （ ）‎ ‎．.．． ‎ ‎9.棱长为的正方体内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的，的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（　 ）‎ ‎． ． ． ．‎ ‎10．一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ 11. 已知函数，满足图像始终在图像的下方，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎12.如图，平面四边形中，与交于点，若，，则 ‎. . . . ‎ 一、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数 的图象必过定点__________________ .‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是__________________‎ ‎15. 平面几何中有如下结论：如图，设O是等腰直角底边的中点，，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为，则有.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设O是正三棱锥的中心，两两垂直，，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 则有_____________________ . ‎ ‎16.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A,B两点，且，则的面积的最小值为______________.‎ 三、解答题：(本大题6个小题，共70分)．‎ ‎17.已知数列的前项和。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和。‎ ‎18如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点． （Ⅰ）若，求的长；‎ ‎（Ⅱ）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．‎ ‎19. 最近，“百万英雄”，“冲顶大会”等一些闯关答题类游戏风靡全国，既能答题，又能学知识,还能挣奖金。若某闯关答题一轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰只能观战；若能坚持到4类题型全部回答正确，就能分得现金并获得一枚复活币。每一轮闯关答题顺序为：1.文史常识类；2.数理常识类；3.生活常识类；4.影视艺术常识类,现从全省高中生中调查了100位同学的答题情况统计如下表：‎ 题型及序号 ‎1.文史常识类 ‎2.数理常识类 ‎3.生活常识类 ‎4.影视艺术常识类 通过人数 ‎90‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎20‎ 淘汰人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（Ⅰ）现用样本的数据特征估算整体的数据特征，从全省高中生挑选4位同学，记为4位同学获得奖金的总人数，求的分布列和期望.‎ ‎（Ⅱ）若王同学某轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮游戏中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，若王同学在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型。请问：仍用样本的数据特征估算王同学的数据特征,那么王同学在获得复活币的下一轮答题游戏中能够最终获得奖金的概率是多少？‎ ‎[‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，且经过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，点，直线分别与轴交于两点，记和的面积分别为；那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.‎ ‎21.已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ)若的图像在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．‎ 选做题：(请在22，23题选做一题，共10分；若两题都做，以22题计分)‎ ‎22.平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程为：，椭圆. （Ⅰ)求直线与椭圆直角坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，点求.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ)解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记，,若，求的取值范围.‎ 江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考 数学（理科）试卷答案 一、 选择题 ‎1.（C） 2.（C） 3.（D） 4.（B） 5.（B） 6.（D） ‎ ‎7.（D） 8.（A） 9.（A） 10.（B） 11.（A） 12.（A） ‎ 二：填空题 （1，-1）＋＋＝3 ‎ 三：解答题:‎ ‎17.解：（Ⅰ）由题意知，当 ‎…………………6分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=，∴Tn=．…………………12分 ‎18证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB， 又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1 而AD⊂平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，‎ 所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1．…………………5分 ‎（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，‎ 过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，设 BD=t，‎ 则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2）， =（2，0，t），=（1，，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得， 平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ， ‎ ‎∴cosθ====‎ 由于t∈（0,2）,故cosθ∈（，]．‎ 即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．………………12分 19. ‎（Ⅰ）‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）…………………………………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）…………………4分 ‎（Ⅱ）设；‎ ‎；……………6分 ‎，同理；‎ ‎；………10分 ‎……………12分 ‎21.解：（Ⅰ）由，得．又，‎ 故在的切线方程为．带入，得…………2分 ‎．从而，，． …………3分 ‎①当时，，．故的单调增区间为；‎ ‎②当，即时，，．故的单调增区间为；‎ ‎③当，即时，由得，故的单调增区间为．‎ 综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为． …………6分 ‎（Ⅱ）设的切点横坐标为，，‎ 切线方程为……①‎ 设的切点横坐标为，，‎ 切线方程为……② …………7分 联立①②，得，消去得．‎ 考虑函数，． …………9分 令，得或．‎ 当或时，，函数在区间，上单调递减，当且时，，函数在区间，上单调递增．‎ ‎，．故当时，方程有解，‎ 从而，函数与存在公切线． …………12分 ‎22.（Ⅰ）直线，椭圆;………………5分 ‎（Ⅱ）直线代入椭圆 ‎……………10分 ‎23.（Ⅰ)‎ ‎……………5分 ‎（Ⅱ）,‎ ‎…………………10分